XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 36
Текст из файла (страница 36)
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ на входе в зазор между стенками Т теплообменника и выходе из зазора соответственно. Квазистацио. парное распределение температуры диска в зависимости от угла ф То -- ----;-------, представлено на рис. 5.18. О Р 2л р За один оборот диска каждый его участок единичной площади Рис.
6.18 теряет путем излучения количество теплоты йс(Т, — Те), так что мощность излучаемой ввергни при использованных выше числовых значениях равна д = Ьс кВт = — (Т, — Те) = 18,06 —. Если увеличивать скорость вращения т ' м4 диска, т.е. уменьшать значение т, то значения Те и Т, сближа- ггд ются, ав (5.17) — — 40 при т-+О. При атом Те-+Т и Т, — >Т, где Т вЂ” равновесная гпемперашура диска, удовлетворяющая уравнению теплового баланса' 2е,пе(Т14 — Т4)4/гг = 2епеТ4(2я — фг). Отсюда 2я/ф1 — 1 ) -1?4 е* и излучаемая мощность бч — 4? Ф1~ 4 2к г)= 2епеТ ~1 — — ) = 2епоТ1 2я/ (ф~ — 1)8.
При е = 0,8, е, = 5/6, Тг = 1000 К и фг = Зя/9 получим Т - 795 К и д-20,16 —,. кВт 2т Отметим, что при фг = ф1 — — величина д достигает 1+ Д). г ..т,' максимального значения д„, = " . Для использованных (1+ Ф'.)' ' выше числовых данных имеем ф1-- 1,046я = 188' и д„, кВт - 20,66 —. Если все поверхности излучателя имеют своиства м4 'Смс Зарубин В.С. (1966 г.) 229 5.4. Простейшие дкваничеекие модели абсолютно черного тела, т.е.
е = еь = 1, то е, = 1, фь — — к и дш кВт - 23,35 —,. Это максимально возможное значение мощности, рассеиваемой дисковым излучателем при температуре Т~ = = 1000 К теплообменника. 5.4. Простейшие динамические модели т — = Р(и,1) + Р*(и, иД. ди (5.20) Скорость изменения кинетической энергии К = тиз/2 рас- аК йь сматриваемой системы равна — = ти —. Поэтому после умнодь ь При построении математических моделей (ММ) технических объектов (см.
3 и 4) оказалось удобным оперировать понятиями потенииальнььх и потоковых величин. Этот подход в несколько обобщенном виде можно использовать и при построении нелинейных динамических математических льоделей. Рассмотрим его на примере простейшей механической системы с одной степенью свободы и состоящей из материальной точки массой т. Состояние этой системы в момент времени 8 характеризуют значения перемещения и(1) материальной точки и ее скорости и(1) = — „, причем скорость целесообразно принять в качеди(ь) стве потоковой величины, а действующие на эту точку силы— в качестве потенциальных (см. 3.2), что соответствует 1 варианту электромеханической аналогии (см. табл.
4.2). Пусть на материальную точку действуют две силы, проекции которых на положительное направление координатной оси Оп перемещения обозначим Р и Р*. Первая из сил не зависит от скорости и и может быть функцией лишь перемещения и времени, т.е. Р = Р(и,1), а для второй силы в общем случае имеем Р* = Р*(и,и,ь). Тогда, согласно второму закону Ньютона, за- пишем 230 о. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ жения (5.20) на и получим дК вЂ” = Ри+Р*и. й (5.21) и(св) = йв, и(сс) = йс. (5.22) Тогда для механической системы, на которую действуют толь- ко потенциальные силы, согласно принципу Гамильтона, вари- ация действия по Гамильтону о'[и] = Ци,и,с) й (5.23) со равна нулю [ХЧ], т.е. при выполнении вытекающего из (5.22) условия би(св) = би(сс) = 0 (5.24) справедливо равенство с, бо [и] = б й й = (бК вЂ” бП) й = (бК + Р би) й = О, (5.25) со со со поскольку в данном случае бП = -Рби.
Таким образом, скорость изменения кинетической энергии равна мощности действующих на материальную точку сил, что следует из закона сохранения энергии. Напомним, что если существует такая функция П(и,С), что Р(и,с) = — ' ,то П вЂ” потенциальная энергия данной дп(и,с) системы [ХЧ], а сила Р(и,с) — потенциальнаа. Сумма К+П = = И' является полной энергией, а разность К вЂ” П = Ь— кинетическим потенциалом этой системы. Пусть в фиксированные моменты времени св и сс заданы значения 231 бА. Простейшие динамические модели Можно показать', что среди всех возможных законов движения и = и(с), удовлетворяющих условиям (5.22), действительный 3 й закон движения не только является стационарной точкой функционала (5.23), но и сообщает ему минимальное значение.
54инимизация зтого функционала при условиях (5.22) — простейшая задача вариационного исчисления (ХЧ], а необходимое условие минимума (5.23) в виде уравнения Эйлера дй(и,и,с) дЦи,и,с) ссс ( ди ) ди соответствует для рассматриваемой простейшей механической системы уравнению Лагранжа второго рода. Обобщением соотношения (5.25) для рассматриваемой простейшей механической системы является принцип Галсильтона — Остроградского, выражаемый равенством (бК+Рби+Р'би) ас = О. (5.26) св Убедимся, что из (5.26) при выполнении (5.24) следует (5.20).
Так как бК = тиби и би = —, то, используя интегриро- сС(ба) ссс ванне по частям, находим сс с, Г бКсЫ =т ибис1С = т ис1(би) =тиби~ — т) би — с1с. со св со со с в Подставляя зто равенство в (5.25) и учитывая (5.24), получаем (-т — +Р+Р') биссе = О. ас св "Смо Моркеев А.П. 232 о. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Поскольку вариация йи произвольна, то это равенство в случае непрерывности подынтегрального выражения эквивалентно (5.20). Пусть потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е. П = П(и). Тогда Р =- — и оП Ив йП ди дП Ри = — — — = — —.
дий й После подстановки в (5.21) запишем дК дП дИ' — + — = — = Р'и. й й й (5.27) В этом случае скорость изменения полной энергии И' = К+ П равна мощности Р'и непотенциальной силы, действующей на рассматриваемую систему. В случае консервативной системы Р*: — О и 2 И' = К+ П = т — + П(и) = Н = сопв1. (5.28) 2 стем. Систему называют диссипагпивной (от латинского слова йвв1ра$1о — рассеяние), если в (5.27) Р'и < О при условии, что Р'и ф О. Из (5.27) следует, что за период времени, в течение которого мощность непотенциальной силы принимает отрицательные значения, полная энергия И' диссипативной системы уменьшается (рассеивается).
При этом механические формы энергии могут переходить в немеханические, в том числе в теплоту. Периодическое во времени движение механической системы возможно, если ее полная энергия остается неизменной (как, например, в случае консервативной системы). Движение диссипативной системы не может быть периодическим.
Строго говоря, полная энергия большинства реальных систем не остается постоянной. Поэтому динамические ММ консервативных систем лишь приближенно описывают поведение реальных си- 233 о.4. Простейшие динамические модели Если действующие на механическую систему силы не завият явно от времени, то ее называют автономной систелооб. Этот термин согласуется с понятием автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (ЧП1], описывающей движение рассматриваемой механической системы и состоящей из ОДУ вЂ”" = и и (5.20) в виде нс оЬ т — = Р(и) + Р*(и, и).
ой (5.29) Такая система ОДУ является нелинейной (в общем случае) динамической ММ данной механической системы. ной 3, жесткость с(и) которой зависит от перемещения и этого тела (рис. 5.19). Таким образом, пружина действует на тело силой Р(и) = -с(и)и, являющейся потен- циальной. Предположим, что сила Р' соРис. 5.19 противления движению тела пропорциоон пальца квадрату скорости и = — и направлена противоположно й направлению скорости, т.е. Р* (и) = — йи~ 98пи, и = сопа1 ) О. Тогда (5.20) примет вид сЬ г т — = — с(и)и — Йи 98пи. й Потенциальную энергию этой системы можно представить интегралом с переменным верхним пределом: и и П(и) = — Р(и) с1и = с(и)и пи, но ио Пример 5.8.
В качестве автономной механической системы рассмотрим твердое тело 1 массой т, движущееся при наличии сопротивления по горизонтальной поверхности и связанное с неподвижной опорой 2 пружи- г 8 1 234 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ где ив — некоторое значение перемещения, определяющее положение тела, потенциальную энергию в котором принимают за нуль отсчета. В данном случае за ив удобно принять перемещение тела, соответствующее свободному состоянию пружины. Отсчет перемещения и также удобно вести от этого положения, т.е.
принять ив = О. В этом случае для полной энергии системы получим г И' = К+ П = т — + / с(и)ийи 2,/ о и в соответствии с (5.27) — = Р'и = -ке евине = -ке )е! < О, (5.30) г г <Н т.е. рассматриваемая система является диссипативной. При этом система за счет уменьшения своей полной энергии совершает против силы сопротивления работу, частично или полностью переходящую в теплоту. Если силой сопротивления можно пренебречь, т.е. положить к = О, то в (5.30) — = О, что соответ- 4И' Ф ствует консервативной системе, а ее динамическая ММ может описывать периодические во времени движения твердого тела 4~ Введенные для механической системы понятия и полученные соотношения можно перенести на системы, в которых протекают процессы немеханической природы.
Напомним, что для системы, состоящей из электрических двухполюсьиков, потенциальной величиной является падение напряжения ЬУ на двухполюснике, а потоковой — сила тока 1 (см. 3.1). В гидравлической системе потенциальная величина — перепад Ьр давления, а потоковая — объемный расход Чж жидкости (см. 3.4). Пример 5.9. Используем нелинейные ММ индуктивной катушки с железным сердечником и конденсатора, емкость С(Я,) которого зависит от величины Я, накопленного электрического заряда (см. 5.1), для построения динамической 235 5.4.
Простейшие динамические модели ММ колебательного контура, включающего кроме этих двухполюсников резистор с 1' 2 постоянным сопротивлением В (рис. 5.20). ъ При достаточно длительном подключении к контуру источника напряжения (ключ К в положении 1) конденсатор будет заряжен до напряжения ЬУ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
