XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Высота Ьз элемента может быть меньше 6. В этом случае его торцы соединены с соответствующими пластинами проводниками из одинакового с пластинами материала. Пластины соединены с источником электрического тока. Остальное пространство между пластинами заполнено теплоизоляционным материалом 4. Построим стационарную математическую модель такой ячейки тепло- изолирующего слоя. В первом приближении температуру каждой из пластин можно считать постоянной по ее поверхности и равной температуре контакта с элементом 3. Температуру пластины 1 и соответствующего контакта обозначим Т2 и примем равной заданной температуре Тд конструкции, т.е. Т2 = Те. Между пластиной 2, имеющей температуру Т2, и окружающей средой происходит конвективный теплообмен, интенсивность которого определяется коэффициентом теплоотдачи с2.
Примем, что 1 > 0 при указанном на рис. 5.10, а направлении тока и на верхнем контакте элемента 3 выделяется в соответствии с (5.4) тепловая энергия мощностью Ч2 = 2еТ21 > О, а на нижнем поглощается тепловая энергия мощностью Ч2 = -2еТ11 (О. В этом случае поддержание температуры Те = Т2 конструкции постоянной возможно при условии Т„> Те (линейное распреде- о.г. Статические и стационарные модели 211 ление температуры по толщине ячеек теплоизолирующего слоя доказано на рис. 5.10, б сплошной линией, а в элементе 3 и в связывающих его с пластинами проводниках — штриховой линией).
Если направление тока противоположное, то 1 < О, так что Яг < О, Я1 > 0 и поддержание температуры конструкции постоянной возможно при условии Т, < То (распределение температуры в этом случае представлено на рис. 5.10, в ). аз Электрическое сопротивление — элемента 3 заменим двус'зоз мя одинаковыми сопротивлениями Вз = — контактов этого аз гсзоз элемента с пластинами и при неизменных во времени параметрах составим уравнения теплового баланса для пластин 2 и 1 соответственно: г Тг — Т1 Тг — Т1 а(Т,— Тг)Го+1 (Вг+Вз)+2еТг1= (Го — Гз)+ „Гз, 6з/Лз Т1 -Тг Т1 -Тг 1 (В1+ Вз) — 2е2г1 = 5~Л (Го — Гз) + Гз ь ул 2еТ11 — 1г(В1+ Вз) = П1) (5.5) относительно 1, где а(Тс — Т1 ) Го + Хг (В1 + Вг + 2Вз ) (аГо — 2е1) В /Л = ~ — (Го — Гз) + — 'Гз) — термическое сопротивление Ь аз ячейки теплоизолирующего слоя с учетом включения в нее где В1 и Вг — электрическое сопротивление пластин 1 и 2 с учетом коммутирующего проводника и его присоединения к элементу 3, Л вЂ” коэффициент теплопроводности теплоизоляционного материала.
Складывая зти два уравнения, получаем а(Т, — Тг)Го + 1~(В1 + Вг + 2Вз) + 2е(Тг — Т1)1 = О. Выражая отсюда разность Тг — Т1 и подставляя в уравнение теплового баланса для пластины 1, приходим к уравнению 212 з. нелинейные мОдели мАНРОуРОВня элемента 3 и его коммутации с пластинами. По физическому смыслу 1(1) соответствует тепловому потоку, передаваемому от пластины 2 к пластине 1. Возможное изменение силы 1 электрического тока ограничено сверху значением 1, = — Ре, так как Тз -+ оо при 1-+ 2е -+ 1 — О.
Это означает, что в таком случае тепловая мощность, выделяющаяся в ячейке рассматриваемого теплоизолирующего слоя на сопротивлениях электрической цепи и благодаря эффекту Пельтье, уже не может быть отведена в окружающую среду, и поэтому температура пластины 2 неограниченно возрастает. При 1 < 1, (5.5) является кубическим уравнением 2е(В1 + Вз)К 1з — Ыз+ 2еТ1аРеК 1+а(Те — Т1)Ре = О, (5 6) где Ь = (1+аРеВ )(В1+Вз)+Вз+Вз+4е Т1В, и имеет хотя бы один действительный корень. Ясно, что в случае Т, = Т1 теплообмен конструкции с окружающей средой отсутствует при 1 = О.
Но при этом (5.6) имеет еще два положительных корня Ьх 4е(В1+ Вз)В причем несложно показать, что 1; > 1 и поэтому не имеет физического смысла. Из геометрической интерпретации корней уравнения (5.6) как абсцисс точек пересечения графика функции 1(1) при Т, = Тз и параболы Р, определяемой левой частью (5.5), следует, что 1' < 1, (рис. 5.11).
Физический смысл значения 1 = 1' состоит в том, что выделяющаяся в ячейке теплоизолирующего слоя тепловая энергия полностью отводится в окружающую среду за счет возникающего перепада темпера- Т Т 1 (Н1+ Не+ 2Не) 0 2 Для выяснения возможности изолировать конструкцию от теплового влияния окружающей среды в случае Т, ~ Т1 предварительно исследуем поведение функции 1(1), непрерывной и 213 5.а. Статические и стациоыарыые модели Рис.
5.11 дифференцируемой при 1 < 1 . Запишем сегз1 — е1 + а(Тс — Тд)Рос(Я 1'(1) — 2 (аго 2е1)зйт(Я где В„= Л~ + Лз+ 21сз. Эта производная равна нулю при — саго г Т,— Тх 1, = — ~1~ 1+4ег 2е Л, Г 1' Если Т, > Та, то 11 > 1, и 1а < О. Следовательно, в интервале (О, 1 ) производная ~'(1) сохраняет знак своего значения 1ч(0) = ' ' > 0 при 1 = О, а функция 1(1) является воэра- орол стающей. Так как 1(0) = ' ', а левая часть (5.5) достигает Т, — Т, д ! максимального значения при 1ы,еы = (еТ~ ) еТ~ , то необ- %+асз чл+Яз ходимым условием изоляции конструкции от теплового воздействия окружающей среды является выполнение неравенства Т, — Те (еТ~) — < . Это условие можно уточнить исходя из следу- й~ %+На' ющих соображений.
Функция ~'(1) в интервале (0,1 ) также строго монотонна, являясь отношением возрастающей функции к убывающей. Следовательно, в этом интервале функция У(1) выпукла вниз и ее график лежит выше прямой с уравнением 214 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ у(1) = Х(0) + Х'(0)1 (см. рис. 5.11). Можно показать, что эта прямая будет касаться параболы Р при выполнении равенства Т, — Т~ = аГвВ Т~ + 1 Поэтому необходимое условие принимает вид Т, — Т~ < ЬТ Ясно, что это условие не является достаточным и его выполнение еще не гарантирует существования решения уравнения (5.6) в интервале (О, 1, ). Отметим, что если уравнение (5.6) в интервале (О, 1 ) имеет корень, то либо он кратный, соответствующий точке касания графика функции 1(Т) и параболы Р, либо таких корней два.
В последнем случае целесообразно выбрать силу тока, соответствующую меньшему значению корня, поскольку это обусловливает меньшие затраты электрической энергии. В случае Т, < Т~ нули Х~ 2 производной Х'(1), если они существуют, положительны, т.е. при 1 < 0 эта производная сохраняет знак своего значения 1 (0) = ' < О, а функция 2е(Т, — Т~) аР0Я 1(1) является убывающей. Поэтому всегда существует единственный отрицательный корень 1, уравнения (5.6), причем 1, Е ( — 1, 0), где Х = — (Т~ — Т,)Рв (см. рис.
5.11). Отметим, В. что при 1 < 1, это уравнение имеет корень 1" > 0 в интервале (Х, 1, ). Но использовать на практике режим работы рассматриваемой ячейки теплоизолирующего слоя при значении 1' силы тока менее надежно, чем при значении 1,. При медленном изменении параметров ТО во времени 1 часто можно не учитывать влияние инерционных свойств объекта, т.е. можно использовать его квазистатическую ММ. В механической системе это означает пренебрежение влиянием инерционных сил.
Пример 5.4. Пусть трубопровод с круглым поперечным сечением радиуса гд и со стенкой толщиной Йв нагружен внутренним давлением р, которое приводит к возникновению в 0.2. Статические и стационарные модели 215 тенке окружных напряжений рте(Ь0. Материал стенки про- „ляет свойство ползучести (см. 5.1), причем зависимость ско- рости ползучести от напряжения о. имеет вид ~Ы сй — =А(сг)~ о, А=сопя1>О, а>1. (57) рт ртз сг = — = — > О.
Г Огге (5.8) Деформацию стенки в окружном направлении представим в виде 1Й т е = ( — = 1п —. 2 т то го Тогда — = — — так что используя (5.7) и (5.8) при 'сг > О аге 1 г1т а тн' г получаем Отсчет $ будем вести от момента времени, когда т = то. В этом случае имеем г 2сг тзо го — =(1 — 2 и( — ) ) Предположим, что длина трубопровода при ползучести остается неизменной, а деформирование его материала происходит без изменения объема, т.е. т050 = тЬ = сопвФ, где т и 6— текущие значения радиуса поперечного сечения трубопровода и толщины его стенки.
Тогда, используя расчетную сяеагу (РС) оболочки, получим текущее значение напряжения 216 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Отсюда следует, что г -+ оо при 1-+1„где Ясно, что при этом 6 — ~ О, т.е. трубопровод разрушится за вре мя, не превышающее 1„. Значение 1, называют критическим временем. Но допустимое время работы трубопровода существенно меньше 8, и может быть найдено при помощи (5.9), если заДать пРеДельно ДопУстимое отношение т(то.
УР Одной из областей применения стационарных ММ является описание установиешияся процессов в технических устройствах, когда некоторые выходные параметры рассматриваемого ТО не изменяются во времени. В технических устройствах нередко возникают периодические процессы, одной из важнейших характеристик которых является период Т (или угловая частота ш = 2п(Т) колебаний параметров таких процессов. Для получения полной картины периодических процессов применяют нестационарные (динамические) математические модели, но угловую частоту колебаний обычно удается найти более простым путем. Пример 5.5. Для защиты оборудования, приборов или транспортных машин от нежелательного воздействия высокочастотных вибраций, передающихся через основания, узлы крепления или элементы подвески, создают специальную систему виброизоляции. При этом, чтобы избежать резонансных явлений (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
