XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Учет поправки на присоединенную массу упругого 184 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ элемента в данном случае, согласно (4.28), дает значение ш = = ~/ — ~/ — = 0,8660ьэ, т+ т'/3 'у т ~/ 4 т.е. отличие от более строго полученного значения р1 составляет менее 1%. Такая точность обычно достаточна в инженерной практике для оценки низшей частоты колебаний. Таким образом, ограничение на способ учета массы упру гого элемента согласно (4.28), введенное из сравнения времени распространения возмущений и периода колебаний, оказалось слишком жестким.
Причина в данном случае состоит в том, что частота колебаний является интегральной характеристикой осциллятора и ее значение слабо зависит от локальных особенностей в распределении его параметров (в частности, от степени равномерности растяжения или сжатия пружины при колебаниях). Отметим, что в электрическом высокочастотном колебательном контуре аналогом массы упругого элемента является так называемая паразитная емкость индуктивной катушки (см. Д.З.З), что соответствует ?? варианту электромеханической аналогии (см. 4.2). Дополнение 4.2. О построении математических моделей механических систем Для построения математической модели (ММ) механической системы наряду с эквивалентной схемой часто удобно использовать рассматриваемые в курсе теоретической механики общие уравнения динамики такой системы*.
В связи с этим напомним некоторые основные понятия. Под обоби4еннььми координатами понимают совокупность н параметров щ, у = 1,и, достаточную для определения *Смл Маркеее А.П. дм.2. О построении моделей механических систем 185 д аЬ аЬ вЂ” ( —.) —,— = О, у = 1., и, й4 ауй ау 14.32) в независимых обобщенных координатах оу, где Ь = К вЂ” П— нинетпичесний потпенциал, а К и П вЂ” кинетическая и потенциальная знергии системы соответственно 1в механике часто для Ь используют термины „функция Лагранжа" или „лагранжиан", которые в математической литературе имеют иной смысл).
Действующие на консервативную систему силы можно предап ставить в виде так называемых обобщенныз сил Я дд; ' "Смс Ловолискив Л.Г., Лурье А.И. положения системы в пространстве. Обобщенные координаты я их производные ду по времени ~, называемые обобщенными сноростпями, в общем случае должны подчиняться условиям, отражающим ограничения на движение системы в пространстве. Эти ограничения в теоретической механике называют связя ни. Если ограничивающее условие можно выразить уравнением вида Ф('ь,дм...,д„) = О, то связь еолономная. Связи, ограничивая движение системы, действуют на систему посредством сил, называемых реанциями связи.
Допускаемые связями в фиксированный момент времени 1 бесконечно малые перемещения точек системы называют возмоэсными. Если сумма работ реакций связи на любых возможных перемещениях равна нулю, то связь считают идеальной. Обобщенные координаты, составляющие наименьшую по численности совокупность, однозначно определяющую положение механической системы в пространстве, называют независимыми. Число и таких координат совпадает с числом стпепеней свободы системы.
Если на консервативную систему наложены идеальные голономные связи и она имеет п степеней свободы, то ее движение в пространстве описывают уравнения Лаеранжа втпороео рода* 186 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ у = 1, и. Силы, удовлетворяющие такому равенству, называю~ потенциальными.
Работа потенциальной силы при переходе системы из одного положения в другое не зависит от пути этого перехода и равна изменению потенциальной энергии системы, Потенциальные силы могут действовать и на систему, не являющуюся консервативной. К ним, например, относятся реакции упругих связей и сила тяжести. Непотенциальные силы также можно представить в виде обобщенных сил Я*, если сумму работ всех внешних сил (исключая реакции связей) на возможных перемещениях записать в форме и бА= ~~) Я*,бщ, 1=1 (4.33) где бд — произвольные вариации независимых обобщенных координат. Для неконсервативной системы при условии иде- альности и голономности связей уравнения Лагранжа второго рода принимают вид б дЬ дЬ вЂ” ( —.) — — = Я;, у = 1, и.
Й дЩ дуб (4.34) 'Сма Пакаако Я.Г., Губанова И.И. Пример 4.6. Рассмотрим свободные колебания автомобиля в вертикальной плоскости*. Перемещения, вызванные деформацией кузова автомобиля, можно считать пренебрежимо малыми по сравнению с перемещениями упругих элементов передней и задней подвесок. Для упрощения не будем учитывать влияние на колебания автомобиля его амортизаторов. Тогда расчетную схему (РС) автомобиля можно представить в виде абсолютно жесткого стержня, соединенного с двумя пружинами, имеющими, вообще говоря, различные жесткости с1 и сз (рис. 4.28).
Массу т подвешенной части автомобиля считаем сосредоточенной в центре масс С, расположенном на расстояниях о и б от пружин, а момент инерции этой части Д.4.2. О построении моделей механических систем 187 Рис. 4.28 относительно горизонтальной оси, проходящей через точку С, обозначим,7. Предположим, что в процессе колебаний центр масс не перемещается в горизонтальном положении, а нижние концы пружин закреплены неподвижно. Тогда положение механической системы, соответствующей данной РС, можно определить двумя независимыми обобщенными координатами д~ и дз. В качестве д1 примем вертикальное перемещение точки С, а в качестве дз — угол поворота стержня вокруг этой точки, считая этот угол настолько малым, что 81пдз - дз. Если положительным для щ принять перемещение вниз, а для дз — поворот против хода часовой стрелки, то перемещения (осадки) концов пружин с жесткостями с1 и сз будут равны д1 + пдз и д1 — без соответственно.
Используя соотношения для кинетической и потенциальной энергий элементов механической системы (см. 3.2), запишем выражения К = % +.7чз П = (й + оЧг) (ч1 — схЧ~) для кинетической и потенциальной энергий системы соответственно. При свободных колебаниях рассматриваемой системы полная энергия остается постоянной, т.е. система является консервативной. Так как на эту систему наложены идеальные голономные связи, то для описания ее движения можно применить уравнения (4.32) Лагранжа второго рода, что приведет 188 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ к однородной системе линейных ОДУ с то+ (с1+ с2)д1+ (с1а — с2Ь)д2 = О, (4.35) Удя + (с1 а — сэЬ) д1 + (с1а + ся6 )дг = 0 с постоянными коэффициентами. Частное решение этой системы будем искать в виде д; =А;е"', 1=1,2.
Подставляя этя равенства в (4.35), получим однородную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с тЛ~А1+ (с1 + ся)А1 + (с1а — ся5) Ая = О, (4.36) ,УЛ~Ая + (с1 а — сгЬ)А1 + (с1 а + с2Ь~)Ая = О. Она имеет ненулевое решение относительно коэффициентов А, и А2 тогда и только тогда, когда равен нулю ее определитель [1П], т.е. тЛЯ + с1+ сг с1а — с2Ь с1а — сяЬ,УЛ2+ с1ая + сяЬ2 Отсюда находим уравнение 4 /с1+с2 с1а +сяЬ Л я (а+ 5) Л +~ + (Л +с1сэ т .У ! т,У имеющее решение 1 ~с1 + сг с1а2+ с2Ь') 2~ т,У (4.38) Подкоренное выражение в (4.38) положительно, так как 1Ус1+сэ с1а +с2Ь~Л2 (а+Ь) 1(с1а +сяЬ~ с1+сэЛэ (с1а — с1Ь) 4~,У т У т,У Д.4.л.
О построении моделей механических систем 189 Следовательно, значения Лэы й = 1, 2, удовлетворяющие (4.37), отрицательны, т.е. все корни этого уравнения чисто мнимые. Наждому из значений ль соответствует отношение коэффициентов Аоь тЛь+ст+сз (4.39) Ать сто — сэ6 которое можно получить, например, из первого уравнения СЛАУ (4.36). Это отношение определяет так называемую собственную форму колебаний системы с угловой частотой ш = = г-л2 = 1л,!. В случае т = таЬ из (4.38) имеем Лт = — —" (1+ а1 и Л~ ~= та~ Ь/ = — — ~1+ -). Подставляя эти значения в (4.39), находим ст/ Ы тп(, и) Аэт/Ап = 1/Ь и Азэ/Аш = — 1/а.
Формы колебаний, соответствующие этим отношениям, показаны на рис. 4.29, а и б. При колебаниях одной подвески другая остается неподвижной, т.е. они колеблются независимо друг от друга с разными угловы- ст l аЛ ст/ Ы ми частотами шт — — )Лт! = — ~1+ -) и ото = )Л2! = — ~1+ -). от~ Ь) тп(, а) Независимость колебаний подвесок автомобиля является достоинством его конструкции. Рис. 4.29 Ксли ста = соЬ, то ОДУ системы (4.35) будут независимыми.
Это означает, что возможны как колебания без поворотов („ подпрыгивание" ), когда дз = О, так и только угловые колебания (егалопирование"), когда центр масс неподвижен, т.е. 190 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 91 = — О. Из (4.36) получим в первом случае Л1 — — —, а во З С1+С2 т с1а +с Ь втором Л~ ~= — ' . Вынужденные колебания с большой у амплитудой могут возникнуть при частотах внешних воздей ствий, близких как к )Л2), так и к )Лз!.
С точки зрения комфортабельности рационально выбрать параметры подвесок так, чтобы )Л1) = )Лг! = (Лз(. Тогда колебания с большой амплитудой возникнут лишь при внешних воздействиях, имеющих частоту колебаний, близкую к ~Ле~. Несложно установить, что )Л1) = )Лз! возможно при одновременном выполнении равенств с1 а = сзЬ и,7 = таЬ. Пример 4.7. В полете крыло самолета совершает колебания относительно некоторого положения равновесия, характеризуемого углом атаки С2 относительно направления вектора 22 скорости полета.
Эти колебания связаны с изгибом крыла в вертикальной плоскости и с кручением вокруг горизонтальной оси, вызывающим изменение угла атаки. Положение поперечного сечения крыла при колебаниях можно однозначно задать двумя независимыми обобщенными перемещениями 91 (вертикальным перемещением центра масс С) и дг (углом поворота этого сечения относительно точки С) (рис. 4.30). Рис. 4.30 При дз > 0 возникает противоположно направленный восстанавливающий момент и = сздг, где коэффициент сс характеризует жесткость крыла на кручение. Через точку В перпендикулярно поперечному сечению крыла проходит ось жесткости на изгиб, т.е. множество точек, приложение в которых верти- Д,4.2. О иостроеиии моделей механических систем 191 льных сил вызывает лишь изгиб крыла и не приводит к его поворотам вокруг этой оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
