XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если РЯ = 0 и в момент времени 1 = 0 известны значения и(0) = ио и и(0) = — "! = ие, то при условии 0 < к рЯ/(2т) = кои(с)! 1С !е=о 158 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рис. 4.8 = ?у < ~/с/т = ш ОДУ (4.10) имеет решение [У???) -М I со+био . и(б) = е ~иосоош11+ 81 пбо1 1), (4. 11) Юу д,=у 7:б.а р~щм б« * рд. ставить в виде А1соо(бо11+ уо1), где А|= бр1 = — агсс18 . (4.12) из+био Через промежутки времени я/юм не зависящие от начальных условий ио и ио, тело проходит положение равновесия и = О, а через промежутки 2я/аб1 функция и(1) достигает максимальных (или минимальных) значений (рис. 4.8), которые соответствуют моментам обращения в нуль скорости б?и(б) Ыо+ю'ио .
и(1) = — = е '~иосоою11— ошад1$) . ббб бо1 Каждое максимальное по абсолютной величине отклонение от положения равновесия называют полуразлважоди колебании*. 'Сма Панавно Я.Г., Губанова И.И. 4.3, Математичеекаа модель линейного оецилллтора 159 т 2 +си(х) =0 аз и(ь) й (4.13) и его решение и(1) = (ио соеы1+ — 8)пьо1) = Асов(их+ 9о), (4.14) оо где ы = /с/т — угловая (называемая иногда круговой или циклической) частота этих колебаний не зависящая от начальных условий и определяющая период Т = 2я/ш колебаний, т е,л= Ят[ч7 'г — Рз а а а ~р = — агссСб(ьоио/оо). В этом случае осциллятор называют гармоническим осцилллтором. Отметим, что в отличие от угловой частоты, измеряемой в рад/с, частоту колебаний = — измеряют в герцах* (Гц).
2к В отличие от гармонических затухающие колебания не являются, строго говоря, периодическим процессом, но сохраняют некоторые его свойства, в частности чередование через равные промежутки времени Т1 — — 2к/ы1 максимумов и минимумов Г.Р. Герц (1887 — 1894) — немецкий физик. Из (4.11) следует,что с течением времени полурззмахи колебаний уменьшаются, причем отношение двух последовательных полуразмахов в одну и ту же сторону от положения равновесия постоянно и равно е2 'ч~' > 1. Натуральный логарифм 2я)ь/ог1 этого отношения носит название логари91мического декрементпа колебаний (от латинского слова десгетепхпт— уменьшение, убыль).
Таким образом, математическая модель, включающая ОДУ (4.10), описывает затухающие колебания, полуразмахи которых образуют геометрическую прогрессию. В силу линейности этого ОДУ соответствующий осциллятор принято называть линейным осцилллтором. Ксли пренебречь сопротивлением движению тела по горизонтальной плоскости (см. рис.
4.2), то, полагая в (4.10)-(4.12) 6 = О, получаем ОДУ 160 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ величины и(с). Поэтому Т1 принято называть условным не риодом затухающих колебаний, ш1 — их условной угловой частотой, а полуразмахи колебаний — их условной ампли тудой*. Если в (4.2) положить 1т = 0 и ЬП*(1) = О, то после дифференцирования по времени получим ОДУ второго порядка (4.15) где 1(1) — сила тока в колебательном контуре, изображенном на рис. 4.7, а Ь и С вЂ” индуктивность катушки и емкость конденсатора соответственно. Аналогичное ОДУ ЙзЬП(1) Ьу(1) + (4.16) описывающее гармонические колебания в этом контуре падения напряжения ЬУ на конденсаторе или катушке, следует из (4.4) при д = 0 и Г(1) = О.
Период колебаний силы тока и падения напряжения в этом контуре равен Т = 2я~/ХС. Независимо от физического содержания процесса колебаний каждое из ОДУ (4.13), (4.15) и (4.16) называют уравнением гармонического осиилллтора. Приведем энергетическую Йи трактовку этих ОДУ. Используя равенство — = и представим Йе (4.13) в виде Й уйи; Йи Йи Йи Йи т — ~ — / + си = т — + си = т — — + си = ти — + си = О, Й1 Йс Й1 Йи ЙЬ Йи нли Й(тиз/2) + Й(сиз/2) = О. Учитывая значения ио и ио в момент времени 1 = О, после интегрирования находим и~ и~ 62 и2 т — +с — =К+П=И'=т о+с о сопяФ (417) 2 2 2 2 'Смс Курс теоретической механики. 4.3.
Математические модель линейного осиилллтора 161 , е, полная энергия И' рассматриваемой механической системы, авная сумме кинетической энергии К = тег/2 тела и потенцидьной энергии П = сиг/2, запасенной в пружине (см. рис. 4.2), в любой момент времени остается постоянной, Систему, в которой полная энергия не изменяется во времени, называют консервативной (от латинского слова сопоегчо — сохраняю). Из (4.17) получим уравнение эллипса 2 А= и+ — ш 2 ЕО 2 0 2' Ш т' иг иг Аг 022А2 которое в фазовой плоскости пОч определяет замкнутую фазовую траекторию (рис. 4.9).
Движение изображаюигей точки по этой траектории происходит по ходу часовой стрелки, поскольку при и ) О перемещение и возрастает, а при и < Π— убывает. Замкнутость фазовой траектории свидетельствует о периодическом изменении параметров системы. Площадь эллипса Рис. 4.9 гг "о~ 2я 1 "о ио~ ггА шА = иго ~ио + — ) = — ~т — + с — ) — ~о юг),/тес~ 2 2) г1 /г11~ 1 г1Ы1 1 г1М1 61 1 М1 й'Л 1 11гИ) С и С а а+С Ь И С б — 9102 в соответствии с (4.17) пропорциональна полной энергии системы. Если ио = О и ио = О, то И' = О и фазовая траектория вырождается в точку, расположенную в начале координат. В этом случае эта точка является устойчивым по Ляпунову положением равновесия, называемым цеитрола Ы Учитывая равенство ЬП = Ь вЂ” для падения напряжения на нг катушке индуктивности, представим (4.15) в виде 162 4.
МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ или — а(2аУ) + — 61 = О. После интегрирования получи С 2 Е 2 2 С 2 Е 2 — (2ас7)2+ — 12 = сопвФ, т.е. сумма энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки индуктив ности (см. 3.1) в любой момент времени остается постоянной Аналогичный результат можно получить путем преобразова ния (4.16). Ясно, что в фазовой плоскости 10220 гармонические колебания в контуре, изображенном на рис.
4.7, представляют ся замкнутой фазовой траекторией, имеющей форму эллипса. Напомним (ЧП1], что затухающим ч колебаниям линейного осциллятора в фазовой плоскости пОч соответствует фазовая траектория в виде спирали, „наматывающаяся" на начало координат (рис. 4.10). В этом случае оно явля- О в ется положением равновесия, называемым устойчивым фокусом и соответствующим асимптотически устойчивому частному решению ОДУ (4.10) при Рис. 4.10 Р*(ь) ь— н 0 и начальных значениях 2 = = и(0) = е(0) = О. Если м < Ь, то решение и(2) = иае ~'(1+ 1ЬЫ) сЬЬ2, Ь = ~/Ь2 — ы2, (4.18) Ьна ОДУ (4.10) при Р*(2) ь— в 0 и начальных условиях н(0) = иа и и(0) = иа описывает так называемое затухающее апериодическое движение тела. Так как СЬах при 2 Е (О, +оо) изменяется в пределах от 0 до 1, то из (4.18) следует, что перемещение и(2) сохраняет знак иа при условии — '+ Ь+ Ь > О.
Этому условию ио удовлетворяют точки (иа, еа) фазовой плоскости, расположенные при иа > 0 над прямой е = -(Ь+ Ь)и, а при иа < 0 — под этой прямой (рис. 4.11). Если начальная точка расположена в первом или третьем квадранте фазовой плоскости, то затухание немонотонное (сплошная кривая на рис. 4.12), а монотонно- 4.3. Математичесиал модель линейного осциллитора 188 Рис.
4.12 Рис. 4.11 му затуханию (штриховая кривая на рис. 4.12) соответствуют области, отмеченные на рис. 4.11 горизонтальной штриховкой. Расположение начальной точки в областях с вертикальной штриховкой (см. рис. 4.11) приводит к затуханию с переменой знака перемещения (штрихпунктирная линия на рис. 4.12). Если ш = 6, то корни характеристического ураеиенил ОДУ (4.10) кратные. Тогда решение и(1) = (из + (ее+ 6ае)1) е м можно получить из (4.18) предельным переходом при 6-+ О.
Этот случай соответствует лишь формальной границе между колебательными и апериодическими процессами, поскольку реально добиться на практике точного выполнения равенства ш = 6 не удается. При ш = 6 система, выведенная из положения равновесия, быстрее всего приближается к нему. Это свойство используют при проектировании амортизаторов и виброзащитных устройств, при подборе параметров успокоителей в стрелочных измерительных приборах и других ТО.
Ясно, что все варианты решения ОДУ (4.10), полученные выше при Р* (1) = О, останутся в силе и при Р* (1) = Р = сопе1, если отсчет значений ие и функции и(1) вести от значения по = = Р(с. При изменении внешней силы по закону Р'(1) = Рсоер1 ОДУ (4.10) можно записать в виде с(2и(ь') Ии(1) йз Ж 2~ + 2 (1) 164 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Несложно проверить, что этому ОДУ удовлетворяет частное решение й(1) = А(р) соя(р1+ 13(р)), где 1К13(р) = — з з . (4.19) 26р ш — р А(р)— Вид амплитудно-частотной А(р) и 4аэочастотной 13(р) характеристик линейного осциллятора представлен на рис.
4.13 и не зависит от начальных условий. Абсцисса максимума амплитудно-частотной характеристики при й -+ О стремится к значению ш, а ордината максимума неограниченно возрастает. А; Рис. 4.13 Функция й(1) определяет установившийся периодический процесс вынужденных колебаний осциллятора при периодическом внешнем воздействии в отличие от свободных нолебаний, когда отсутствует переменное во времени внешнее воздействие. Свободные колебания осциллятора зависят лишь от характеристик его элементов и начальных условий (в случае гармонического осциллятора их обычно называют собственными колебаниями, поскольку их угловая частота определяется решением соответствующей задачи на собственные значения [ЧП1]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
