XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При 6 > О установлению процесса вынужденных колебаний предшествует так называемый переходный процесс, длительность которого зависит от темпа затухания сво- 165 4.4, Примеры математических моделей бодных колебаний осциллятора. Для линейного осциллятора это затухание происходит при 1 -+ оо. Поэтому длительность переходного процесса оценивают по заданному относительному уменьшению полуразмахов свободных колебаний. Величину Р = — принято называть добротностью осцил- 2Л лятора.
Чем выше значение .Р, тем ближе осциллятор к гармоническому. Так, для электрического колебательного контура при частоте р = ~ = 104 Гц удается добиться значения Р-100, для кварцевого генератора в электронных часах (и = 10~Гц) и микроволнового объемного резонатора (р = 10свГц) — Р = = 2 104, а для частотно. стабилизированного СОг-лазера (и = =З 10гзгц) — Р=10о.
у у у,=,/7 -м«б ю линейного осциллятора можно выразить через его добротность и угловую частоту ш = ~/с/т гармонического осциллятора в , и,= /Г-ТДЫ~Т. пр п д пр записать ш4 -- ш(1 — 1/(8Рг)). Эта оценка справедлива не только для механического линейного осциллятора, но и для электрического колебательного контура и вообще для любого линейного осциллятора, в котором происходят колебательные процессы произвольной физической природы. 4.4. Примеры математических моделей тепловых и гидравлических систем Электротепловую и элекгарогидравлическую аналогии используем для построения эквивалентных схем и математических моделей технических объектов, относящихся к тепловым и гидравлическим системам.
Пример 4.3. В конструкциях, подверженных совместному силовому и тепловому воздействию, часто применяют покрытие металлической части конструкции, воспринимающей нагрузку, слоем теплоизоляционного материала. При нахождении температурного состояния такой конструкции обычно можно ис- 166 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Т, В, В В„ В~ (4.20) 1/а, Ь/Л 1/а, 6~/Л~ ' К левому концу этой цепи присоединен источник, задающий постоянное напряжение Ув, пропорциональное температуре Тв, а к правому концу — источник, задающий постоянную силу 1* электрического тока, пропорциональную плотности д* теплового потока.
Отметим, что если отсчитывать установившееся распределение температуры от значения Тв, то вместо а„1, пользовать расчетную схему двухслойной пластины, состоящей из слоев металла и теплоизоляционного материала толщиной 6 и й~ соответственно (рис. 4.14). Тепло- а, вой контакт между слоями примем неидеальным и обладающим термическим сон й, противлением В = 1/а, где а — коэффициент контактного теплообмена.
Пусть со стороны металла происходит конвективный теплообмен с воздухом, имеющим температуру Тв (интенсивность теплообмена характеризуется коэффициентом теплоотдачи а.), а со стороны теплоизоляционного материала пластина воспринимает тепловой поток плотностью д". Коэффициенты теплопроводности металла Л и теплоизоляционного материала Л~ считаем не зависящими от температуры. При установившемся распределении температуры металл и теплоизоляционный материал не поглощают тепловую энергию, а лишь оказывают сопротивление проходящему через пластину тепловому потоку плотностью д*. При этом термические сопротивления слоев теплоизоляционного материала и металла, приходящиеся на единицу поверхности пластины, будут Й~/Л~ и 6/Л соответственно (см.
3.3), а термическое сопротивление теплоотдачи к воздуху — 1/а,. Поэтому эквивалентную схему пластины можно представить в виде цепи из четырех последовательно соединенных сопротивлений В„В, В„и В~ (рис. 4.15), удовлетворяющих, согласно злектротепловой аналогии, равен- ству 4.4. Примеры математических моделей 167 Рис. 4.15 ,Ь Т„-Т, =д' —, Л' , 1 Т,-то=д* —, О,' Т„,— Т.=у* —, Т' — Т.=д' —, пк Л1 где Т, и Т, — температуры поверхностей слоя металла со стороны воздуха и теплоизоляционного материала соответственно; Т„1 и Т* — температуры поверхностей слоя теплоиэоляционного материала со стороны металла и подводимого теплового потока соответственно.
Эти равенства составляют стаиионарную математическую модель процесса теплопроводности в пластине. Из них последовательно можно вычислить все значения температур на поверхностях слоев пластины, а по толщине каждого слоя установившееся распределение температуры является линейным (см. 3.3). КоэфФициент теплопроводности металла обычно на два и более порядка превышает коэффициент теплопроводности теплоизоляционного материала, т.е. Л» Л1. Поэтому при сопоставимых значениях Й и Ь1 термическим сопротивлением 11/Л слоя металла можно пренебречь по сравнению с термичес- присоединения источника напряжения достаточно левый конец цепи соединить с заземленным проводом (штриховая линия на рис. 4.15). При установившемся распределении температуры через всю пластину проходит тепловой поток постоянной плотности о*. Поэтому по аналогии с законом Ома в соответствии с (3.18) и (4.20) для перепадов температуры получим 168 4.
МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ким сопротивлением 61/А1 слоя теплоизоляционного материала Это означает, что в эквивалентной схеме (см. рис. 4.15) можно принять ль = 0 и считать, что Т, = Т„. Рис. 4.16 С + Ж Л1+л +Л Л+ 2 2 2 дьУ1 (1) Ць') — У~ (1) С1 = +2. й Л1+л +Л 2 " 2 (4.21) Неустановившийся во времени 1 процесс теплопроводности в пластине описывает несп1аиионарнал математическая модель, учитывающая наряду с термическими сопротивлениями слоев их свойство тепловой емкости. Пусть с и с1 — объемные теплоемкости металла и теплоизоляционного материала соответственно, а начальная температура пластины совпадает с температурой То воздуха.
Сосредоточим полные тепло- емкости слоев Ьс и 61см приходящиеся на единицу площади поверхности пластины в плане, в серединах соответствующих слоев. В эквивалентной схеме полные теплоемкости представим конденсаторами (рис. 4.16), емкости которых удовлетворяют равенству — = —, а напряжения У и У1 на обкладках этих С С1 ЬС 61С1 конденсаторов пропорциональны температурам Т и Т1 середин слоев металла и теплоизоляционного материала соответственно. Используя для узлов схемы с этими напряжениями первый из законов Кирхгофа и закон Ома для сопротивлений, получаем 4.4. Примеры математичееиих моделей 169 д'дтсюда, учитывая (4.20), приходим к системе двух ОДУ пер- вого порядка Йс ,1Т(2) Тд(д) -Т(2) Т,-Т(д) + ,12 ь, д а а — + — + — — +— 2Лд оа 2Л 2Л о* 1тд(д) Т(Д) — Тд(д) Ьдсд дд д дд +Ч + + 2Л 2Л (4.22) Т*(2) =Тд(д)+д* — ', 2Лд' ТФ Тд () — Т Ь й/(2Л) + 1/а„2Л' Т,(д) — Т(д) Ь /дд/(2Лд) + 1/па+ Ь/(2Л) 2Л Тд(2) - Т(д) Ь, Йд/(2Лд ) + 1/а„+ 6/(2Л) 2Лд (4.23) Если .допустимо пренебречь термическим сопротивлением слоя металла, то в (4.21) следует положить В = О, а в (4.22)— 6/Л = О.
Тогда вместо (4.23) получим Т'(2) = Тд(1) + д* †' Т*(д) = Т.(д) = Т(д) 2Лд ' Тд (Д) — Т(2) Рад Ьд/(2Лд) + 1/а 2Лд Пример 4.4. Тонкостенная цилиндрическая металлическая оболочка, подкрепленная продольным силовым набором относительно искомых температур Т и Тд. Решение системы (4.22), найденное при начальном условии Т(0) = Тд(0) = Те, позволяет затем по аналогии с законом Ома вычислить для любого момента времени значения температур на поверхностях слоев пластины: 170 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рис. 4.17 *Си:.
Зарубин В.С. (19бб г.) (рис. 4.17), является одним из хат l рактерных элементов конструкции l летательного аппарата. В условна Л ях аэродинамического нагрева в Л такой оболочке возникает неравномерное распределение температуры,которое вызывает в конструкции дополнительные напряжения, влияющие на ее работоспособность*. Нагрев происходит путем конвективного теплообмена с воздушным потоком, характеризуемого коэффициентом теплоотдачи а и температурой Т„восстановления. Теплообменом оболочки с воздухом, находящимся в ее полости, можно в первом приближении пренебречь. Интенсивность передачи теплоты от оболочки к присоединенным к ней пблкам подкрепляющих уголков определяется коэффициентом а„контактного теплообмена. Толщина Й оболочки и уголков, а также коэффициент теплопроводности Л и объемная теплоемкость с их материалов одинаковы, причем начальная температура всей конструкции Тв < Т,.
Построим упрощенную расчетную схему повторяющегося элемента подкрепленной оболочки, границы которого отмечены на рис. 4.17 штриховыми линиями. Эта схема содержит пять участков (рис. 4.18): полку 4 и стенку 5 уголка и три участка 1-3, принадлежащие собственно оболочке, причем средний из них — участок 2 — контактирует с полкой уголка. Штриховой линией на рис. 4.18 показан участок 1 соседнего повторяющегося элемента, контактирующий с участком 3 рассматриваемого элемента. Приходящуюся на единицу длины оболочки полную теплоемкость С; = ЬЦс, 1 = 1, 5, каждого участка длиной Ц сосредоточим в его центре масс, имеющем температуру Тн Тогда, согласно злектротепловой аналогии, в эквивалентной схеме, представленной на (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
