XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 27
Текст из файла (страница 27)
4.19), емкости С; конденсаторов пропорциональны значениям С;, сопротивления 4.4. Примеры математических моделей Рис. 4.18 Рис. 4.19 пропорциональны соответствующим термическим сопротивлениям и удовлетворяют равенству Во1 Вог 11оз Ж 1/(а11) 1/(а1г) 1/(а1з) 11/(2ЬЛ) 1г/(26Л) ~3 тек П4 х-'5 Хз/(26Л) 1/(ак1г) 14/(26Л) 18/(2ЬЛ) а разность ЬУ* напряжений, задаваемая источником электрического напряжения, пропорциональна разности Т, — Те температур. 172 4.
МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Используя первый закон Кирхгофа для узлов эквивалентной схемы, можно составить систему пяти ОДУ первого порядка относительно напряжений в этих узлах, а затем перейти к системе ОДУ относительно искомых температур Т,, 4' = 1,5, в центрах масс участков расчетной схемы (см. рис. 4.18) рассматриваемой конструкции.
Пример 4.5. Гидравлическая система подвода воды через плотину к турбинам гидроэлектростанции 6 из водохранилища 1 включает напорный туннель 2 и трубопровод 4, между которыми расположен цилиндрический уравнительный резервуар 3 (рис. 4.20). При регулировании заслонкой 5 подвода воды к турбинам уравнительный резервуар уменьшает колебания давления в системе*. В частности, возникающий при быстром закрытии заслонки гидравлический удар в системе определяется длиной 14 напорного трубопровода, а не величиной 12+ 14, где 12 — длина напорного туннеля. Рис. 4.20 При закрытой заслонке уровни Н1 и Нэ воды соответственно в водохранилище и уравнительном резервуаре, отсчитываемые от уровня расположения турбин, одинаковы.
При неизменном положении открытой заслонки объемный расход Я4 воды и ее давление (напор Не) перед турбинами постоянны. При этом ру(Н1 — Нэ) = ЯЛ2, где р — плотность воды, д — ускорение свободного падения, А2 — гидравлическое сопротивление тун- *См.: Чугвев Р.Р. 173 4.4.
Примеры математических моделей веля (см. 3.4). Но изменение положения заслонки приводит к возникновению переходиого проиесса, связанного с изменением д4, Нз и Не во времени г. Обозначим Л4 и Лз — постоянное и регулируемое гидравлические сопротивления напорного трубопровода и заслонки соответственно, Лз — гидравлическое сопротивление турбин. Ц силу злектрозидравлической аналозии сопротивления В;, 4' = = 2, 4, 5, б, резисторов эквивалентной схемы (рис. 4.21) рассматриваемой гидравлической системы должны быть пропорциональны соответствующим гидравлическим сопротивлениям Л;, Я емкость Сз конденсатора — гидравлической емкости Сз = — ' Р9 уравнительного резервуара с поперечным сечением площадью Яз, а индуктивности Ьз и Ь4 — гидравлическим индуктиввостям Хз = риаз/Яз и Х4 = р14/Я4 напорных туннеля и трубопровода с поперечными сечениями площадью Яз и Я4 соответственно.
Напряжение У1 источника пропорционально давлению рз = руН1 на входе в напорный туннель, которое благодаря большому объему водохранилища можно считать постоянным. 1 4 Пав Рис. 4.21 Согласно первому закону Кирхгофа, для узла эквивалентной схемы с напряжением Уз, пропорциональным давлению рз = = рдНз воды в месте соединения туннеля и трубопровода, запишем Сз — = 1з — 14> Л~1з ас (4.24) где 1з, 14 — силы токов в ветвях схемы, пропорциональные текущим значениям объемных расходов Яз и Я4 через туннель и трубопровод соответственно. Используя второй закон Кирхго- 174 4.
МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ фа для каждого из двух контуров схемы при их обходе по ходу часовой стрелки, получаем «А'2 АААА ьг — +12412+ 112 = с111 1 4 — + 14(114+ па+214) = Уз (4.25) Ай А11 Теперь от (4.24) и (4,25) можно перейти к нормальной системе трех ОДУ 11рз Ж Р1 РЗ Я2АА2 1 222 Рз — Ю4(- 14 + 115 + 216) (4.26) относительно рз, Ч2 и Ч4. Для ее решения необходимо задать значения этих величин в начальный момент времени 1 = О. Например, если заслонка сначала была закрыта (Лз -+ оо), а затем ее открывают и Лз принимает некоторое конечное значение, то при 1= 0 имеем рз =р1, 92 = Я4 = О.
Если в (4.26) исключить рз, то получим систему двух ОДУ второго порядка относительно Я2 и Я4. Для ее решения помимо равенства 92 = Я4 = О при 1 = О следует использовать начальные условия — = О и — = =, вытекающие из второго и третьего 14472 11144 Р1 ЬА ОДУ (4.26). Наконец, в (4.26) можно исключить Я2, Я4 и прийти к ОДУ третьего порядка относительно Рз с начальными условиями рз =р1, — ' = О и — 2 = — =' при 1=0 (равенства для Л1 141 первой и второй производных от Рз следуют из первого ОДУ (4.26) непосредственно и после дифференцирования этого ОДУ по времени). После нахождения зависимостей рз, 1-22 и Я4 от 1 можно получить законы изменения во времени напора Не = — воды АА' А Вб РЯ перед турбинами и уровня Нз = — ' в уравнительном резервуаре.
Рз РЯ 4,а Формплипапил построения модели сложной системы 175 4.5. Формализация построения математической модели сложной системы Математпическую модель (ММ) технической системы, со- тоящей из небольшого числа типовых элементов, нетрудно достроить на основе эквивалентной схемы этой системы путем непосредственного применения к такой схеме законов Кирхго- Ба (см.
4.2-4.4). Для сложной системы, состоящей из большого числа элементов, удобно от эквивалентной схемы перейти к связному ориентированному гра4р. При этом узлы эквивалентной схемы соответствуют вершинам зрафа, а ее ветви — его ребрам. На первом этапе каждой ветви эквивалентной схемы необходимо дать произвольное, но вполне определенное направление. Так, для эквивалентной схемы, построенной в примере 4.1 и представленной на рис.
4.4, возможен выбор направлений, укэ занных стрелками на рис. 4.22. Соответствующий связный ориентированный граф изображен на рис. 4.23, причем номера Рис. 4.22 4 с Рис. 4.23 176 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ вершин совпадают с номерами узлов исходной эквивалентной схемы, а обозначения дуг ориентированного графа — с обозна. чением типовых элементов в ее ветвях. Ориентированный граф, соответствующий эквивалентной схеме технической системы и представленный в виде рисунка, является удобным и наглядным средством визуализации связей между элементами этой системы.
Но для отражения этих связей в алгоритме построения ММ системы необходимо перейти к формализованному представлению ориентированного графа в виде матрицы инциденций А„размера п х т, где п — число вершин графа, т — число его дуг. Элементы этой матрицы имеют следующие значения: И 1, чя дуга выходит из г-й вершины; аИ = — 1, ~-я дуга входит в ю-ю вершину; О, г-я вершина не является концом у-й дуги. Для ориентированного графа, изображенного на рис. 4.23, элементы матрицы инциденций представлены в табл. 4.3. Таблица 4.3 В каждом столбце матрицы инциденций А, имеются два ненулевых элемента, в сумме равные нулю, поскольку каждая дуга ориентированного графа связывает две вершины, причем из одной вершины она выходит, а в другую входит. Таким образом, строки матрицы А, являются линейно зависимыми, т.е.
ее ранг не превышает п — 1. Но он и не меньше п — 1, 4.5, Формализации построеиил модели сложной системы 177 так как в противном случае, если сумма каких-либо п — 1 или меньшего числа строк содержит только нулевые элементы, это означает, что вершины, соответствующие этим строкам, не связаны дугами с остальными вершинами. Пусть 1 — матрица-столбец размера тп х 1, элементами которой являются значения силы электрического тока в ветвях эквивалентной схемы (положительные значения соответствуют выбранным направлениям дуг ориентированного графа). Тогда получим систему и уравнений А,1 = О,„, где О, Е К"' — нулевой вектор, каждое из которых устанавливает равенство нулю алгебраической суммы токов во всех ветвях, имеющих общий узел, т,е. выражает первый закон Кирхгофа. Из этих уравнений и — 1 являются независимыми.
Поэтому одну из строк в матрице инциденций ориентированного графа можно вычеркнуть. Обычно вычеркивают строку, содержащую наибольшее число ненулевых элементов. Такая строка соответствует вершине, являющейся общей для наибольшего числа дуг. В результате получают новую матрицу А размера (п — 1) х т, причем НяА = = п — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
