XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При д1 > 0 и ог = 0 возникает направленная вниз реакция с1 оп приложенная к точке В, где с1— коэффициент, характеризующий жесткость крыла на изгиб. Считая угол ог малым по модулю, так что соя(се+ ог) = сола, В ОбщЕМ СЛуЧаЕ дЛя ЗтОй рЕаКцИИ ИМЕЕМ лЧ = С1(Ч1 + Хууг), ГдЕ хн — абсцисса точки В, отсчитываемая от центра масс в сторону передней кромки крыла (см. Рис. 4.30).
Текущему значению дг соответствует приращение , 2 „г ЬУ = с, 'р — Б1дг = Сдг, о = (и), С = с'„р — Ы > О, (4.40) аэродинамической подъемной силы, приложенной в точке Р и направленной перпендикулярно вектору и. В (4.40) с' > 0 — кол эффициент подъемной силы, р — плотность воздуха, 6 — длина хорды профиля крыла, 1 — длина участка крыла в направлении горизонтальной оси, проходящей через точку С.
Работа силы ЬУ = Сдг зависит от пути перехода из положения системы, определяемого значениями о,', ог, в положение, характеризуемое значениями о'+ Ьд~, дг + Ьдг. Действительно, если при оо, = дг — — 0 сначала сообщить центру масс С малое перемещение а о1 > О, а затем повернуть сечение крыла на малый угол Лог > О, то на первом этапе сила ЬУ и ее работа будут равны нулю, а на втором этапе эта сила совершит работу Ьее пя2 Схр 2 А, = ЬУ(ог)хр юг = хр Сдгддг = (Ьдг), 2 где хр — абсцисса точки В, отсчитываемая от точки С в стоРону передней кромки крыла (см. Рис. 4.30). Если сменить очередность изменения обобщенных координат, то при повороте сечения на угол Ьдг > 0 работа силы ЬУ также будет равна А„но теперь при последующем перемещении точки С на расстояние Ьд1 > 0 сила СГнуг = сопя2 > 0 совершит дополнительную работу СЬдгЬд2 > О.
Следовательно, сила ЬУ не 192 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ является потенциальной, а рассматриваемая система — консер вативной. Запишем сумму работ вА = г2гУсд1 + хВЬУддг силы схУ на произвольных вариациях бд1 и ддг обоих обобщенных перемещений. Отсюда в соответствии с (4.33) найдем непотенцивльные обобщенные силы Я* = г2 У и Я = хВЬУ. При помощи соотношений для кинетической и потенциальной энергий элементов механической системы (см.
3.2) получим соответственно г дг К=т — 1+1 — ', 2 2' где т — масса участка крыла,,г — его момент инерции относительно горизонтальной оси, проходящей через точку С. Используя уравнения Лагранжа второго рода в форме (4.34), приходим к системе ОДУ тд1 + с1(д1 + хндг) = ЬУ,,газ+ хвс1(д1+ хвдг) + сгдг = хрЬУ. Отсюда, учитывая (4.40), получаем однородную систему линейных ОДУ ~й — + ам д1 + а12дг = О, (4.41) сг сгхв с постоянными коэффициентами ам = — а21 = — а1г = у сгхв — С сгхв+сг — хвС , агг = хг х Как и в примере 4.6, частное решение системы (4.41) будем искать в виде дг = А;е"', г = 1, 2.
Подставляя эти равенства в (4.41), приходим к однородной СЛАУ (Лг+ ам)А1+ а12Аг = О, аг1А1+ (Лг+ агг)А2 = О. Из равенства нулю определителя этой СЛАУ следует биква- дратное уравнение Л +(ам+ агг)Л +амагг — агга21 = О, кото- рому удовлетворяют значения 12 а11+ а22 2 (4.42) Д.4.2. 0 построении моделей механических систем 193 Оба значения Лг в (4.42) действительны при условии 13 = 7 г = а11агг — а1гаг1 < -(а11+ агг) = '7. если при этом 13 > О, т.е.
,3 Е (О, у), то эти значения отрицательны, а все четыре корня Л чисто мнимые. В этом случае при отклонении от положения исходного равновесия возникнут гармонические изгибные и крутильные колебания с неизменными амплитудами, т.е. решение системы ОДУ (4.41) устойчиво по Ляпунову. Подставляя в равенство 13 = 0 выражения для коэффициентов а17, 7,2' = 1, 2, и учитывая выражение для С в (4.40), получаем значение 2сг/с'„ рЫ(хп — ив) ' называемое критической скоростью дивергенции. Если н = н„ то существует частное решение системы ОДУ (4.41), которому соответствует положение равновесия в отклоненном состоянии, называемое дивергенцией (не следует путать этот термин с одноименной дифференциальной операцией в теории поля [ ч'?Ц).
В случае е > 77, имеем 13 ( О, так что одно из значений Лг в (4.42) положительно. Тогда один из корней Л положителен и соответствующее частное решение неустойчиво. Это означает неограниченное монотонное нарастание во времени отклонения крыла от положения равновесия. Ясно, что дивергенция возможна при условии х79 > хв, т.е. аэродинамическая подъемная сила должна быть приложена ближе к передней кромке крыла по сравнению с его осью жесткости.
В случае е = 77" подкоренное выражение в (4.42) обращается в нуль, а при 77 > и* оно становится отрицательным, так что Лг будет комплексным числом. Но извлечение квадратного корня из любого комплексного числа (в том числе из чисто мнимого) приводит к двум комплексным числам, имеющим действительные части противоположных знаков [1]. Поэтому хотя бы один из комплексных корней Л будет иметь положительную действительную часть, что приведет к изгибным и крутильным 194 4.
МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ колебаниям крыла с неограниченно возрастающими иолураэма хами. Значение и' называют критической скоростью изгибнокрутильного флагггтера (от английского слова йпееег — ма хать,трепетать). Явление флаттера было обнаружено в 1930-х годах во время летных испытаний скоростных самолетов. Многие из этих испытаний заканчивались катастрофическим разрушением конструкции вследствие быстрого нарастания колебаний. Рассмотренная в этом примере ММ лишь в первом приближении отражает причины возникновения одного из вариантов такого грозного явления, как флаттер, связанного с взаимодействием упругих, инерционных и аэродинамических сил.
Ксли влияние инерционных сил несущественно, то взаимодействие упругих и аэродинамических сил может вызвать дивергенцию. При отсутствии аэродинамических сил возникают обычные колебания конструкции, а динамические задачи полета летательного аппарата с достаточно жесткой конструкцией можно рассматривать без учета упругих сил. Отметим, что если придать соответствующий физический смысл обобщенным перемещениям, скоростям и силам, то уравнения Лагранжа второго рода можно использовать для построения ММ не только механических систем. В частности, используя один из вариантов электромеханической аналогии (см. табл.
4.2), можно при помощи этих уравнений строить ММ электрических систем'. Вопросы и задачи 4.1. Сопоставляя (4.1), (4.2) и (4.3), (4.4), проверьте справедливость (4.5) при выполнении условий (4.6). 4.2. Найдите полное сопротивление электрической цепи, представленной на рис. 4.6. Смл Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э.
Вопросы и эадачи 195 4.3. Покажите, что (4.16) равносильно условию постоянства уммы энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки индуктивности, составляющих колебательный контур, представленный на рис. 4.7. 4.4. Решите систему ОДУ из примера 4.3 и запишите выражения для температур поверхностей слоев в произвольный момент времени 1. Убедитесь, что при 1 — ~ оо эти температуры стремятся к установившимся значениям, которые следуют из стационарной ММ процесса теплопроводности. 4.5. Составьте систему ОДУ первого порядка относительно температур 7;., э' = 1, 5, в центрах масс участков РС, представленной на рис.
4.18. 4.6. Какую роль выполняет в эквивалентной схеме, представленной на рис. 4.19, проводник, соединяющий резисторы с сопротивлениями В1 и Вз? 4.7. Путем решения системы ОДУ (4.26) выясните характер изменения во времени 1 объемных расходов Яз, Я» и давлений рз, р = руН после открытия в момент времени ~ = 0 заслонки 5 (см. рис.
4.20). 4.8. Используя переход от эквивалентной схемы к связному ориентированному графу, постройте ММ системы, рассмотренной в примере 4.1. 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИ'ВЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРО'УРОВНЯ Достаточно полные и адекватные реальным техническии объектам (ТО) математические модели (ММ) обычно оказываются нелинейными. Количественный анализ нелинейных ММ существенно сложнее, чем линейных математических моделей, и часто требует применения численных методов и вычислительной техники. Вместе с тем полезной является и информация качественного характера о поведении нелинейной ММ, позволяющая получить предварительное представление об ожидаемых результатах более детального количественного анализа. В этой главе рассмотрены сравнительно несложные статические, стационарные и динамические математические модели макроуровнл, включающие нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков.
Эти модели соответствуют таким ТО, идеализация которых ради получения более простой линейной ММ приводит, как правило, не только к значительным погрешностям, но и к искажению свойств этих ТО. В данном случае, по образному выражению Л.И. Мандельштама', „идеализация мстит за себя". 5.1. Причины возникновения нелинейности Среди причин, приводящих к необходимости рассматривать нелинейные математические модели (ММ) технических объектов (ТО), одной из основных является непосредственная зависимость значений внутренних параметров ТО от их внеш- *Л.И. Мандельштам (1879 — 1944) — отечественный физик, один иэ создателей теории нелинейных колебаний.
оп. Причины возникновения нелинейности 197 них и выходных параметров. Ранее уже упоминались случаи, приводящие к нелинейным ММ. Рассмотрим более подробно некоторые причины возникновения нелинейности сначала на примере механических систем. Принято считать, что при малых отклонениях механической системы от положения равновесия соотношения между перемещениями или скоростями ее элементов и возникающими в ней силами линейны, что позволяет рассматривать линейные иатематпические модели.
Однако часто встречаются ситуации, когда даже при малых перемещениях нелинейность оказывается существенной. и Пусть твердое тело, упруго связан- р гное при помощи пружины жесткостью с с неподвижной шарнирной опорой, может перемещаться по горизонтальной плоскости 1рис. 5.1). В вертикальном положении пружина имеет длину 1о и находится в свободном состоянии. При перемещении и тела относительно вертикали, проходящей через опору, длина пружины принимает значение 1 = Я+и~, а сила натяжения пружины — с(1 — 1о) = с(Я+и — 1о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
