XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Поэтому связь потокосцепления и 204 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ и силы 1 тока для индуктивной катушки, намотанной на железный сердечник, при достаточно высоких значениях ~1~ становится нелинейной, а в (3.4) значение Ь индуктивности такой катушки — зависящим от 1. Даже сопротивление )т резистора в выражении (3.1) для закона Ома при высокой частоте переменного тока может стать функцией 1. Помимо рассмотренных электпрических деухполюсникое в современных электрических системах используют различные элементы с существенно нелинейными характеристиками. В тепловых системах одной из причин, приводящих к необходимости рассматривать нелинейные ММ, является увеличение теплоемкости всех веществ с ростом их температуры. В сравнительно небольшом интервале изменения температуры таким увеличением обычно можно пренебречь, но при рассмотрении тепловых процессов в широком диапазоне температур этот эффект оказывает заметное влияние на количественные результаты математического моделирования.
Зависимость теплопроводности веществ от температуры является более сложной и также вызывает необходимость построения нелинейных ММ. Мощность энерговыделения, сопровождающего экзотермические химические реакции, зависит от скорости их протекания, которая, в свою очередь, является нелинейной функцией температуры Т. Эта скорость в соответствии с уравнением Аррениуса пропорциональна множителю ехр~ — — ~, где *1 с7 — энергия активации реакции, и = 1,3806 10 23Дж/К— постоянная Больцмана*2. Существенно нелинейной является зависимость плотности д потока теплового излучения тела от его температуры Т, определяемая в соответствии с законом Стефана*з — Больцмана: д = ааеТ4, где е — коэффициент излучения, причем е Е (О, 1], а по = 5,6696 10 —,, — постоянная 8 Вт "'С.А.
Аррениус (1839 — 1927) — шведский ученый. * Л. Вольцман (1844 — 1906) — австрийский физик. * Й. Стефан (1833 — 1893) — австрийский физик. 205 5.2. Статические и стационарные модели Стефана — Больцмана. Поэтому ММ, описывающие процессы ~силового излучения и энерговыделения при экзотермических реакциях, неизбежно оказываются нелинейными. 5.2.
Статические и стационарные модели При математическом моделировании реального технического объекта (ТО) полезно иметь в виду ситуации, когда его параметры не будут изменяться во времени. Эти ситуации могут и не иметь места в действительности, но их анализ обычно дает оценки границ возможного изменения некоторых параметров ТО. Такие оценки можно получить при помощи сташических математических моделей (ММ), которые строят с использованием законов сохранения соответствующих физических субстанций в состпоянии равновесия рассматриваемого ТО, т.е. в ситуации, когда его параметры остаются постоянными при постоянных внешних воздействиях.
Пример 5.1. Пусть на высокой околоземной орбите находится сферический спутник диаметра В. Поверхность спутника имеет коэффициент излучения в и коэффициент поглощения солнечного излучения А,. Аппаратура спутника при работе в максимальном режиме выделяет тепловую энергию мощностью Я. Плотность потока солнечного излучения на среднем расстоянии Земли от Солнца составляет д, = 1373 х 20 —,. В Вт случае высокой орбиты влиянием на температуру спутника собственного излучения Земли и отраженного от ее поверхности солнечного излучения можно пренебречь. Для оценки усредненной по объему спутника температуры Т, значение которой остается неизменным во времени, составим на основе закона сохранения энергии уравнение теплового баланса А,Ъ вЂ” Пз+д — вТ хсо2 = О, ' а4 (5.1) где пв — постоянная Стефана — Больцмана (см.
5.1). Первое слагаемое в (5.1) соответствует потоку поглощенного солнеч- 206 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ ного излучения, а последнее — потоку собственного излучения Из (5.1) получим (5.2) Значение Т, определяемое при помощи 15.2), называют равновесной температурой, поскольку при этом значении „урав повешены" все действующие на рассматриваемый ТО тепловые потоки.
Если бы поверхность спутника соответствовала модели серого тела (А, = е), то в случае неработающей аппаратуры (Я = О), принимая значения аз = 5,67.10,, и д, = 1400 — „ Вт Вт из (5.2) можно найти значение Т-280К. Если А, = е = 0 6, Р = = 1 м, то при Я = 100 Вт получаем Т = 290 К, а при Ч = 1000 Вт температура Т - 353 К может оказаться недопустимой с точки зрения работоспособности некоторых систем спутника. Отметим, что нелинейность построенной статической ММ проявляется, в частности, в том, что при увеличении Я на порядок приращение температуры по отношению к значению Т = 280 К возрастает лишь в 7,3 раза. Однако модель серого тела является слишком грубой по отношению к большинству применяемых конструкционных материалов, поскольку, как известно из курса физики, спектр теплового излучения Солнца, имеющего температуру поверхности около 6000К, сильно отличается от спектра собственного излучения спутника в инфракрасной области.
В построенной статической ММ температурного состояния спутника это приводит к тому, что А, ~ е. Например, для полированной поверхности оболочки из нержавеющей (коррозийностойкой) стали А,/е = 16 и при Я = 0 из (5.2) следует Т = 560 К, а для оболочки с диэлектрическим покрытием, наоборот, А,/е = 1/16 и при Я = 0 из (5.2) получим Т = 140 К. Пример 5.2. Нагрев конструкции летательного аппарата при его движении в плотных слоях атмосферы называют аэро- о.2.
Статические и стациоиариые модели 207 линамичеснида. Влияние аэродинамического нагрева в первую оче- "° 7 редь обычно рассматривают при- Ти а менительно к внешней обшивке летательного аппарата, которую для Рис. 8.8 верхней оценки возможных значений температуры принимают идеально теплоизолированной с внутренней стороны (рис. 5.8). При длительном полете с фиксированной скоростью и на постоянной высоте Н над поверхностью Земли верхней оценкой температуры Т обшивки толщиной 6 является значение температуры заторможенного воздушного потока, равное Т* = и — 1 = Тя(1+ — Мн/, где Тн — температура воздуха на высоте Н, Й вЂ” показатель адиабаты (для воздуха и = 1,4), Ми = = о/ан — число Маха, ан = /ЖТя = 20,05~/Тп — скорость звука, Н вЂ” газовая постоянная воздуха.
На высотах от 11 до 20км принимают Тн = 216,55 К = — 56,45 о С, что соответствует скорости звука аи - 295м/с. Таким образом, при полете со скоростью и = 1000м/с число Маха равно Мн - -3,39, а Т* = 714К. При такой. температуре алюминиевые сплавы не работоспособны, и поэтому приходится применять обшивку из стали или титановых сплавов. При обтекании обшивки без угла атаки температура воздуха у ее поверхности принимает значение Т, = Тн (1 + — гМ~~~) ( Т', назъ1ваемое температурой восстановления, где г — коэффициент восстановления температуры, равный 0,84 при ламинарном режиме течения в пограничном слое и 0,89 при турбулентном режиме. Если принять т = 0,89, то для использованных выше исходных данных получим Т„= 660К, что также выше границы применения алюминиевых сплавов.
Оценки температуры обшивки получены в предположении, что при длительном полете наступает термодинамическое равновесие между обшивкой и прилегающим к ней при обтекании 208 б. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ пограничным слоем воздушного потока, т.е. Т = Т* или Т = Т„, Но в действительности Т < Т„поскольку обшивка, получая тепловую энергию от воздушного потока, одновременно излучает ее в окружающее пространство, причем в соответствии с законом Стефана — Больцмана тем больше, чем выше ее температура Т (см.
5.1). Поэтому значение Т надо определять из условия равновесия подводимого к обшивке и отводимого от нее тепловых потоков, приходящихся на единицу ее внешней поверхности: О(Т„- Т) = ет', где а — коэффициент теплоотдачи, е — коэффициент излучения внешней поверхности обшивки (см. рис. 5.8). Отсюда следует алгебраическое уравнение четвертой степени Яд~+ д — 1 = О, М = — Тз, д = —. (5.3) При известном значении г1 решение уравнения (5.3) относительно безразмерной равновесной температуры д можно получить в радикалах.
Но вследствие неточности задания исходных данных практически достаточно воспользоваться графиком зависимости д от Х (рис. 5.9). При обтекании обшивки воздушным потоком со скоростью е = 1000м/с коэффициент теплоотдачи для высоты полета Н = 11км можно принять рав- Рис.
5.9 209 8.2. Статические и стационарные модели Вт н ы м из 1 8 0 з к а д ля в ы с о ы Н = 2 0 к м в с и л у у м е н ь ш е н и я Вт примерно в 5 раз плотности воздуха — сл = 40 . '1огда мз К 8 Вт при пе = 5>67 10 — 4 и е = 0,6 для высоты Н = 11км получим )ч' = 0,543 и по рис. 5.9 найдем д - 0,79, а затем вычислим Т = 6Тг = 520К. Для высоты Н = 20км определим )17 = 2,444, найдем д 0,62 и получим Т = ОТ„410 К.
Таким образом, учет собственного излучения обшивки привел к заметному снижению ее равновесной температуры. Пример 5.3. При термостатировании конструкции для обеспечения стабильности ее температуры Та в условиях изменяющейся температуры Т, окружающей среды можно использовать термоэлектрический эффект (эффект Пельтье*'). Отсутствия теплообмена конструкции с окружающей средой удается добиться как при Т, > Те, так и при Т, ( Те, для чего приходится расходовать энергию электрического тока, протекающего в цепи из разнородных проводников, обладающих достаточно сильно выраженным эффектом Пельтье.
При этом в месте контакта разнородных материалов в зависимости от направления тока силой 1 происходит выделение (или поглощение) тепловой энергии мощностью'9 (5.4) Я = 2еТ„1, где е — коэффициент термоэлектродвижущей силы контактирующей пары материалов, ҄— температура контакта. Значение е может быть достаточно высоким при контакте металлических проводников с элементами из специальных сплавов.
Пусть термостатируемая конструкция покрыта теплоизолирующим слоем, состоящим из плоских ячеек толщиной Ь и площадью поверхности Ре (рис. 5.10, а). Каждая из ячеек заключена между двумя тонкими металлическими пластинами 1 'Ж.Ш.А. Пельтье (1788 — 1848) — французский физик. 'зСмс Зарубин В.С. (1983 г.) 210 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ а Т, 70 т2 Л 1 Т2 Рис. 5.10 и 2, соединенными цилиндрическим элементом 3 с поперечным сечением площадью гз, с коэффициентом теплопроводности лз и электрической проводимостью рз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
