XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 34
Текст из файла (страница 34)
4.3), стремятся обеспечить возможно большее отношение ожидаемых значений частоты вибраций к частоте ы свободных колебаний такой системы, включающей и защищаемый ТО. Если систему виброизоляции вместе с ТО удается свести к РС гармонического осцилллтора массой т и с жесткостью с упругой связи, то ш =;/с/т. Однако масса т ТО может изменяться в широких пределах (например, в случае разной загрузки железнодорожного вагона или кузова автомобиля, при использовании в сочетании с 217 5.2. Статические и стационарные модели дной и той же системой виброизоляции различных приборов и оборудования). В таком случае полезным оказывается так ,азываемый равночастотный виброизолятор*, жесткость упругих элементов которого изменяется в зависимости от массы защищаемого ТО так, что частота свободных колебаний системы остается постоянной.
Для этого применяют, например, витые конические пружины (см. рис. 5.4) с нелинейной статической характеристикой, т.е. с нелинейной зависимостью Р(и) силы сжатия от перемещения и (осадки) ее свободного конца. Чтобы сформулировать требования к статической характеристике, рассмотрим на ней произвольную точку А (рис. 5.12). Эта точка соответствует массе системы тпд = РА(у, где д — ускорение свобод- Р Рл ----------- А ного падения, вес РА которой вызывает статическое перемещение иА. При РМ достаточно малых колебаниях относи- А тельно положения системы, определяе- ид и мого этим перемещением, криволинейный участок характеристики в окрестности точки А можно приближенно заменить участком касательной в этой точке с углом наклона уод.
В результате получим линейную колебательную систему, соответствующую гармоническому осциллятору массой тд и жесткостью сА = бР(и) ~ — — Частота свободных колебаний такого осцилля- бн !и=на тора равна Отсюда ясно, что частота свободных колебаний системы виброизоляции вместе с защищаемым ТО будет постоянной и равной заданному значению ше, если выполнено равенство юв = 'Смл Поковке Я.Гч Губанова И.И. 218 о. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ = шА = сопзо, или ЫР(и) Йю д После интегрирования получим (5.10) — 1п Р(и) = и+ С. д що (5.11) Константу С было бы логично найти из условия прохождения статической характеристики через начало координат, т.е.
Р(0) = О. Но ни одна из бесконечного множества полученных интегральных кривых (5.11), соответствующих произвольным значениям С, через начало координат не проходит. Преодолеть зто затруднение можно при помощи простых практических соображений. В техническом задании на разработку системы виброизоляции задают наименьшую массу защищаемого ТО. Поэтому при создании этой системы можно оценить наименьшее значение Ро ее веса вместе с ТО. При Р < Ро система может не удовлетворять ОДУ (5.10) и иметь, например, простейшую линейную характеристику Р = сои, где со — постоянная жесткость. Чтобы обеспечить плавность перехода от линейной части характеристики к нелинейной, нужно обеспечить выполнение условия — = со при Р = Ро, которое дР(и) Ии о с учетом (5.10) равносильно условию — 'Ро = со. Таким обрад зом, при Р = Ро находим ио = — = д, и затем, используя (5.11), Ро д со мо~ определяем С= —,1пРΠ— ио = — г(1пРΠ— 1-) д д шо ыо „,г Р = — оРои, Р ( Ро; д Р=Рое ои~д-' Р) Ро В итоге после подстановки С в (5.11) заключаем, что требуе- мая статическая характеристика пружины описывается двумя соотношениями 219 5.3.
Некоторые иесткциолариые модели пид этой характеристики, построенной с использованием стационарной ММ гармонического осциллятора и состоящей из линейного и нелинейного участков, представлен на рис. 5.13. я~а Рис. 5.13 5.3. Некоторые нестационарные модели Нестационарные математические модели (ММ) некоторых технических обьектов (ТО) можно привести к нелинейному ОДУ первого порядка Йи(х) = Я,и(1)), 1) О, (5.12) с начальным условием и(1о) = ио в момент времени 1 = Ьо. Пусть функция у(1,и) определена и непрерывна в прямоугольной за- мкнутой области Р = 1(1, и) Е 1к~: (1 — 1о ) < а, )и — ио! < Ь) и удовлетворяет в Р условию Липшица относительно и. Напомним, что тогда в соответствии с теоремой Коши [ЧП1] задача Коши для ОДУ (5.12) имеет при ~1 — 1о! < 6, где 6 = пап(а, 6/М), М = шах ~Д1,и)~, единственное решение и($), принимающее в (ьи) е о точке 1 = Фо значение и(1о) = ио.
Если выполнены условия теоремы Коши, то решение ОДУ непрерывно зависит от начального условия и правой части этого ОДУ. Если к тому же правая часть ОДУ зависит от некоторого параметра Л е Л с 2, т.е. вместо (5.12) имеем ОДУ аи л = д(1,и,Л) с начальным условием и(то,Л) = по(Л), то решение и(т,Л) этого ОДУ непрерывно зависит от параметра Л при дополнительном условии непрерывной дифференцируемости функции д(т,и,Л) по Л на множестве Р х Л. Свойство 220 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ непрерывной зависимости решения от перечисленных факто ров важно при рассмотрении прикладных задач, поскольку на практике начальное условие, правая часть ОДУ или параметр известны лишь приближенно с некоторой погрешностью.
Расширенным фазовым пространством в данном случае будет плоскость с прямоугольной декартовой системой координат О~п. Попытаемся представить качественный характер интегральной кривой Г, являющейся графиком решения и(1) ОДУ (5.12), для случая, когда правая часть этого ОДУ не зависит явно от времени, т.е. Д1,и) = Ди). Вид этой кривой зависит от того, имеет или нет уравнение Ди) = 0 действительные корда ни. Если таких корней нет то производная — знакопостоянна сп ) а функция и(1) строго монотонна (возрастает или убывает). Пусть уравнение )'(и) = 0 имеет т е 1Ч действительных различных корней и; Е К, г = 1, т, т.е.
существует т действительных нулей функции Ди). Тогда каждая из прямых и = и; на плоскости 10п будет интегральной кривой ОДУ ыи(1) ~Н = ((и), ~>0, (5.13) при условии, что и(1е) = и; в некоторый момент времени 1 = 1з. Предположим, что функция у(и) удовлетворяет условию Липшица в окрестности точки и;, т.е. в этой окрестности выполнены условия теоремы Коши. Тогда в силу единственности решения ОДУ (5.13) через любую точку (1, и,) Е Кз плоскости ~Оп проходит лишь одна интегральная кривая и(~) ив в и,.
Следовательно, интегральные кривые, расположенные в полосе между прямыми, параллельными оси 01 и соответствующими соседним значениям и;, г' = 1, т, не имеют общих точек с этими прямыми. Поскольку в такой полосе правая часть (5.13) знакопостоянна, то каждой интегральной кривой в этой полосе соответствует строго монотонная функция и(1), а ограничивающие полосу прямые служат горизонтальными асимптотами графика этой функции (рис. 5.14). 221 о.э. Некоторые иестациоиариые модели Рис. о.14 Так как каждая из функций и(1) = и; = сопв1, г' = 1, тп, является частным решением ОДУ (5.13), то по аналогии с нормальной автономной системой ОДУ [Ч???) точки и; назовем положениями равновесия ОДЗ' (5.13).
Выясним условия устойчивости положения равновесия ен этого ОДУ в случае, когда функция у'(и) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и;. Обозначим 4(1) = и(1) — и; отклонение от положения равновесия и при помощи формулы конечных приращений, учитывая, что ?'(и;) = О, представим (5.13) в виде Ии(о) д((1) й й =,?(и;+ ч) = ~'(и;+ 04)~, О Е (О, 1). (5.14) При О = 0 из (5.14) следует линейное ОДУ вЂ” = ~'(вл)(, ко- сй торое является частным случаем системы уравнений первого приближения.
Согласно теоремам Ляпунова об устойчивости по первому приближению (Ч???], при Г'(и;) < 0 частное решение и(1) = ен ОДУ (5.13) асимптотически устойчиво, а при У (и;) > 0 — неустойчиво (соответственно решения и(4) = из и и(е) = и1 на рис. 5.14). В этих случаях говорят, что соответствующее положение равновесия асимптотически устойчиво или неустойчиво. 222 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ В случае У'(и;) = О для выяснения вопроса об устойчивости положения равновесия умножим равенство (5.14) на Ч ~ О и получим Ы( 1 Н~з г с — = — — = с~у'(и;+ Ос). ~Й 2й Если у точки ол существует хотя бы одна полуокрестность, в которой у'(и;+ ОС) > О (например, у точек из и и4 на рис.
5.14), то в этой полуокрестности — > О и — > О, т.е. сколь угодно жс' 46 юй си малое отклонение от положения равновесия в этой полуокрестности возрастает по абсолютной величине с течением времени. Следовательно, для любого б > О существует такое число е > 4 и такой момент времени 11 > 1е, что при О < ф8е)! < б выполнено неравенство ~((11)~ > е, а зто означает неустойчивость по Ляпунову (Ч111].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
