XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если функция )'(и) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и;, то для исследования устойчивости положения равновесия можно привлечь теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [ЧПЦ. В этом о.о. Половсеннл равновесие консервативной системы 243 случае система уравнений первого приближения примет вид ои нн — = е, — = У (и;)(и — и;), (5.42) а корни характеристического уравнения с)е~(А — ЛЕ) = 0 этой системы, имеющей матрицу у~( .) причем Š— единичная матрица второго порядка, равны А1 з = = ~~/~'(и;). При ~'(и;) > 0 один из корней положителен и поэтому, согласно теоремам Ляпунова, частное решение системы ОДУ (5.38) и(1) = и;, о(1) = 0 неустойчиво. Этому решению соответствует неустойчивое положение равновесия системы (5.42), называемое седлом.
В случае ~'(и;) < 0 теоремы Ляпунова не применимы, так как действительные части корней равны нулю. Каждый нуль и; функции ~(и) является стационарной точкой функции Ф(и) (5.41). Если функция Ди) дифференцируема в точке кч и У'(и;) ( О, т.е. нв(и;) = — 2~'(и;) > О, то и; — точка минимума функции Ф(и) (рис. 5.24). При ~'(и,) ( 0 можно указать такие значения вез > Ф(и;), при которых в окрестности точ° ъ мд Фу и += Я:в()"-=-чЯ:ФМ Эти функции удовлетворяют (5.40) и для каждого фиксированного значения вез определяют в окрестности точки (и;, 0) фазовой плоскости иОч симметричную относительно оси Оп замкнутую фазовую тра- в екторию (см. рис. 5.24). Эта тра- и ектория пересекает ось Оп в точках и и и+, соответствующих кор- 0 "- "в нлм уравнения есз — Ф(и) = О.
В достаточно малой окрестности точки и; в соответствии с формулой Тей- 244 о. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ лора имеем Ф(и) = Ф(и;) — 7"'(и;)(и — и;)2, поэтому и~ = и; ~ . Так как и~ -+ и; при ио -+ Ф(и;), то существует 'у(еч) ос 2 окрестность точки (и,, 0), заполненная замкнутыми траекториями. Это означает, что при 7'(и;) < 0 положение равновесия (и;, 0) является центром, а система ОДУ (5.38) (или ОДУ (5.37)) имеет периодические решения. В этом случае частное решение системы ОДУ (5.38) и(Ф) = и;, и($) ив в 0 устойчиво по Ляпунову. Напомним, что в случае линейной функции ((и) при 1'(и) < < 0 фазовые траектории являются эллипсами, а периодические решения соответствуют гармоническим колебаниям относительно положения равновесия, причем период колебаний не зависит от их амплитуды.
Для нелинейной функции )'(и) прн 7'(и;) < 0 колебания не будут гармоническими. Их период Т в силу симметрии фазовой траектории относительно оси Оп можно найти как удвоенное время движения изображающей точки ди по верхнеи половине траектории. Поскольку и = — то <й ' (5.43) Для вычисления несобственного интеграла в правой части (5.43) обычно приходится использовать методы численного интегрирования [Ч1]. В случае 7(и;) = 0 и 7'(и;) ) 0 функция 1я(и) в точке и; достигает максимума (рис. 5.25). При фиксированном значении ие2 < 1у(и;) существует такая окрестность (и ,и+) точки и;, что соответствующая этому значению фазовая траектория не определена в полосе (и, и+) фазовой Рис.
5.25 о.о. Положения равновесия консервативной системы 245 плоскости. Если ео — — Ф(пч), то изображающая точка на фззог вой плоскости стремится к седлу (и;, 0) при 1 -+ тоо по фазовой траектории, уравнение которой и ~=2 Ы)сй; (5.44) следует из (5.40) и (5.41). В этом случае говорят, что фазовая траектория входит в седло или выходит из седла (штриховые линии на рис. 5.25). Такие траектории называют усами. При 1(и) = 1'(и,)(и — и;) (5.38) переходит в (5.42), а (5.44) — в уравнения е = ~~/T(пч) (и — пч) прямых, причем остальные фазовые траектории будут гиперболами, для которых эти прямые являются асимптотами.
Предположим, что функцию Ди) можно представить в окрестности ее нуля пч рядом Тейлора ~(и) = у'(пч)С + ~я(кч) — +... + 1<") (и;) — +..., й ~ М, где (' = и — и;. Тогда, используя (5.40) и (5.41), получаем 2 з и — 2 ~1' (и;) — + 1 (и;) — + ...
2 ~ ~ л ' 2! ' 3! ~а+1 " +~~ь~ + "~ =ее Ф(си). (5.45) Отсюда пРи еез = Ф(и;) и Г(и;) > 0 находим — "'~ = х~/T(пч), ин! и=н, т.е. касательными к усам в точке (и;, 0) фазовой плоскости являются прямые и = ~Я'(и;) (и — и;). Если при нечетном п > 1 функция Ди) имеет в точке и; равные нулю производные до порядка и — 1 включительно и производную ~00(пч) > О, то в этой точке функция Ф(и) достигает максимума, так как Ф~"+~)(кч) = — ~~н)(пч) (О [П]. Тогда точка (и;, 0) по-прежнему 246 б. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ будет седлом, но из (5.45) при ир~— ч бе[ = Ф(и;) следует — [ = О.
Харак ')в!нищ тер фазовых траекторий в окрестно- О и1- п сти седла для этого случая изобра— жен на рис. 5.26. Если при нечетном и > 1 все проРис. 5.26 изводные функции у (и) в точке и; до порядка и — 1 включительно равны нулю, а )(")(и;) ( О, то в этой точке функция 1л(и) достигает минимума, причем точка (и;, О) по-прежнему будет центром (см. рис.
5.24). Используя (5.45), в малой окрестности центра вместо (5.43) можно приближенно принять бо 4 ;г- — =,.— 1 Л -бо 0 0 у „1 Здв+1) где ие = и~ ~— 1л(и1), ьз = — у<")(и1), со = ~ — "') (и+1)$ ' ' Ь иолуразыах колебаний, равный половине отрезка оси Ои между ее точками, в которых и(() = О. Заменой ив+1 = х интеграл в правой части (5.46) можно привести к зйлерову интегралу первого рода (или бета- функции) [71]: 1 1 Г ~Ь 1 / х-"Д"+1) )х — .+1! л=.
'В случае гармонических колебаний полураамах соответствует нх амплитуде (смл Павелко Я.Г., Губанова И.И.). 6.6. Положение равновесие консервативной системы 247 где се = 1/(и + 1) и Р = 1/2. Используя формулу Эйлера для бета- и гамма-функций, в итоге получаем 4В(а, ~9) 4Г(се)Г(1о) Например, при п = 3, поскольку Гф) = Г(1/2) = 1/я (Ч1], на- 7,416 ходим Т- — ' т.е. период колебаний в малой окрестности положения равновесия обратно пропорционален их полурззмаху. Отметим, что при и = 1 с учетом значения Г(1) = 1 имеем 2н лн Т вЂ” =, т.е.
в первом приближении период, как и в Ь /] 7(„,.)]' случае гармонических колебаний, не зависит от их амплитуды. Если при четном п > 2 /1"1(и;) = О, и = 1, те — 1, а /<">(си) ~ -4 О, то и; — точка перегиба функции Ф(и) [11] (рис. 5.27, а и б). В этом случае при не~ — — Ф(ие) точка равновесия (и;, О) на фззовой плоскости иОч является точкой возврата траектории Рис. 6.27 248 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ с уравнением (5.44). Действительно, из (5.45) следует, что ди ~ — = 0 при п > 2, т.е. односторонние касательные к ветвям ди ~и=и; фазовой траектории в этой точке совпадают с осью Оп. Как и в случае седла, решение системы ОДУ (5.38), соответствующее этому положению равновесия, не устойчиво по Ляпунову.
Применительно к положению равновесия материальной точки все рассмотренные случаи иллюстрируют утверждение, вытекающее из теоремы Лагранжа и обратной теоремы Ляпунова*: положение равновесия устойчиво тогда и только тогда, когда потенциальная энергия в нем достигает минимума. Пример 5.11. Исследуем положения равновесия электромеханической системы, состоящей из двух параллельных проводников, один из которых является достаточно длинным и закреплен неподвижно, а второй проводник массой т и длиной в подвешен на двух пружинах жесткостью с каждая (рис.
5.28). При отсутствии электрического тока в проводниках пружины растянуты лишь силой веса подвижного проводника, так что его расстояние от неподвижного проводника равно а. Ксли в проводниках течет в одинаковом направлении постоянный ток, то между ними возникает сила притяжения. В соответствии с известным из курса физики законом Ампера эта сила равна ~ц~1йП((2яи), где рй = 4я 10 — — магнитная постоянная, 1й 7В с и 1 — значения силы тока в нейодвижном и подвижном проводниках соответственно, и — расстояние между проводниками.
Рис. 5.28 'Смк Андронов А.А., Викин А.А., Хайкин С.Э. о.о. Положения равновесие консервативной системы 249 При наличии токов изменение во времени 8 расстояния и(с) между проводниками описывается ОДУ второго порядка сРи(с) ро1оП с(2и тп — — 2с(а — и(1)) + = О, или — = /(и), (5.47) м2 2яи(4) ' 042 где /(и) = ы (а — и — — ! и Ь = — > О, а м = ~/2с/та 27 ЬЛ р7П 2и/ 2лс собственная частота колебаний подвижного проводника при отсутствии токов. Примем, что в момент времени ~ = ~о аа известны значения и(8о) = ио ф 0 и — = и(4о) = оо. Тогда в сй соответствии с (5.40) получим из = о~~ — Ф(и), где а и Ф(и) = -2 /(и) = — ш / ~2(а — и) — — ) ди = г Гl Ьт на ае их =а~ ((а — и) — (а — ио) +Ь1п — /'.
ио~ Введя безразмерные величины с = — и и = — ", вместо (5.40) а ыоа' запишем 02 = ст — Ф(~), где а = е + (1 — ~о)2+ Л1п~о, Л = (ыеа)е = Ь/аз > 0 и Ф(С) = (1 — ()2+ Л1п~, причем ст Е К. Из условия Ф'(с) = -2(1 — () + Л/~ = 0 найдем стационарные точки (д,2 = 1 7Г Л = — ж ~/ — — — функции Ф((). Для рассматриваемой системы 2 1/4 2 обе эти точки имеют смысл при Л е (О, 0,5) и симметрично расположены относительно точки (о = 0,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
