XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 42
Текст из файла (страница 42)
'Смо Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. 5.7. Модели некоторых диссипативных систем 269 Пример 5.16. Пусть теперь в механической системе, изображенной на рис. 5.40, сила трения направлена противоположно направлению скорости и тела и по абсолютной величине пропорциональна квадрату этой скорости, Р р —— — ?си]и], Й = =сопвС > О. При этом мощность силы равна Р,ри = — киг[и[ < О, „то соответствует определению автономной диссипативной системы (см. 5.4). Вместо (5.55) получим ОДУ второго порядка + си = Р р относительно перемещения и тела, которое с учев'~о оее оо о~и ов 1 И(в~) том и = —, — = и — = — — и [и] = и внп р приводится к виду еп'' оЕе Ь 2 он л„г — — + ?спгврзп+си = О, 2 «?и (5.57) где функция знака [?] вяп и = 1 при и > О, вкпи = — 1 при и < 0 и вяни = 0 при о = О.
Фазовые траектории в плоскости пОн, описываемые ОДУ (5.57), симметричны относительно начала координат. Действительно, одновременная смена в (5.57) знаков и и р сохраняет это ОДУ в силе. Поэтому достаточно рассмотреть случай и > О, когда при вбп = 1 из (5.57) получаем линейное относительно рг ОДУ, имеющее общее решение т-2ки + С = сопв1, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Отсю- да имеем два уравнения для фазовых траекторий: При С > 0 ветви фазовых траекторий являются убегающиаеи, так как в этом случае выражение для ир определено при ит -со а для и — при и-++со.
Значению С = Св = — с™ ) гке соответствует лишь одно значение и = О, при котором определены эти выражения, причем ир — — и = О. Таким образом, 270 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ начало координат на фазовой плоскости иОч является положе нием равновесия ОДУ (5.57). При С Е (Со, О) участки фазовых траекторий в верхней и нижней половинах фазовой плоскости ограничены, поскольку в этом случае выражения для о+ и в определены только на отрезках оси Оп. Убегающие ветви, соответствующие значению С = О, в каждой из полуплоскостей являются грани- цами двух областей, содержащих и убегающие и ограниченные ветви С>0 фазовых траекторий (рис.
5.43), С=О Отметим, что при непрерывном движении изображающей точки по любой фиксированной фазовой траектории каждому пересео чению оси Ои соответствует изменение значения С, причем убывающая последовательность этих значений имеет предел Со. Таким образом, положение равно- С>0 весия ОДУ (5.57) отвечает асимптотически устойчивому частноРис. 5.43 му решению этого ОДУ. 5.8.Понятие об автоколебательных системах Консервативная система при определенных условиях может совершать незатухающие колебания (см. 5.6). При переменном внешнем воздействии такие колебания возможны и в системе, которая не является консервативной.
Однако в технике достаточно часто встречаются неконсервативные системы, в которых при отсутствии таких внешних воздействий тем не менее происходят незатухающие колебания. Период этих колебаний зависит лишь от параметров самой системы, которая регулирует поступление энергии (или другой физической субстанции) для поддержания постоянного полуразмоха колеба- 8.8. Поилтие оо автоколебателвиых системах 271 ний Эти системы принято называть автоколебательными, а возникающие в них незатухающие колебания — автоколебаниями. К автоколебательным системам относятся часовой механизм, генераторы электрических и электромагнитных колебаний, оптические квантовые генераторы (лазеры), некоторые упругие конструкции, взаимодействующие с воздушными потоками (линии электропередачи, большепролетные вантовые и висячие мосты, элементы конструкций летательных аппаратов) и т.п.
Автоколебания могут возникать в системах автоматического управления техническими объектами, в элементах подвески транспортных машин, в различных электромеханических устройствах (например, в обычном электрическом звонке). В смычковых и духовых музыкальных инструментах колебания струн и воздушных объемов также являются примерами авто- колебаний. Основной особенностью автоколебательной системы с одной степенью свободы является наличие в фазовой плоскости хотя бы одного предельноео цикла — замкнутой фазовой траектории, для которой существует область, полностью прилегающая к этой траектории извне или изнутри или же образующая ее кольцеобразную окрестность и не содержащая других замкнутых траекторий. Предельный цикл называют устойчивым, если на фазовой плоскости можно указать такую область, содержащую этот цикл, что все фазовые траектории, начинающиеся в этой области, неограниченно приближаются к нему при ~ -+ оо. Промежуток времени Т, за который изображающая точка проходит предельный цикл, называют периодом автоколебаний.
Автоколебательная система может иметь более одного предельного цикла. Пример 5.17. Пусть механическая система с одной степенью свободы, изображенная на рис. 5.40, является линебныя осиилллтороя. Тогда зависимость перемещения и от времени 272 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ д удовлетворяет однородному ОДУ (см. 4.3) т — +Йт Я вЂ” +са($) =О, д12и(е) ди(д) ддд2 'Р ддд где т — масса тела, движущегося по горизонтальной плоскости, й~р — коэффициент линейного гпрения при движении тела по горизонтальной плоскости, Я вЂ” площадь поверхности контакта тела с этой плоскостью, с — жесткость пружины.
Если в начальный момент времени д = 0 перемещение тела и(0) = ие = аи Я = О, а его скорость е = — = ее, то при условии 0 < к р — —— ад Р 2тп = дд < ~=ш решение этого ОДУ иЯ = — е ~двдпадде, адд = ~/Р— Р (5.58) шд ддп(д) -ы 7 е(д) = = еее ~совдадД вЂ” — в1паддД), д11 адд (5.59) которое вместе с (5.58) задает в параметрической форме фазовую траекторию в фвзовой плоскости пОч (см.
рис. 4.10). Функции, определяемые посредством (5.58) и (5.59), не являются периодическими функциями, хотя промежуток времени Ьг = = 2я/щд между двумя последовательными максимальными (или минимальными) значениями перемещения или скорости постоянен (см. 4.3). Из (5.58) следует, что перемещение и изменяет знак минус на знак плюс в моменты времени е = 2пк/адд = ддЬд, п е )д1, т.е. через тот же промежуток времени дзе.
В эти моменты времени в соответствии с (5.59) скорость принимает значения е(пЬд) = иее ""а', уменьшаясь за этот промежуток времени в е"~' раз. При и = 0 пружина находится в свободном состоянии, так что в моменты времени $ = дддяд потенциальную можно получить из (4.11), положив ие = О. Это решение описывает затухающие колебания. Из (5.58) получим равенство 5.В. Понятие об еетоколебательных системах 273 энергию системы можно принять равной нулю. Следовательно, в каждый промежуток времени Ы полная энергия системы уменьшается за счет уменьшения ее кинетической энергии в е раэ, т.е. рассматриваемая система является диссипа- 2ЛЫ тпиеиой системой.
Если каждый раз при смене знака и с минуса на плюс при помощи специального устройства сообщать системе утраченную долю кинетической энергии, то затухающие колебания станут периодическими. В самом деле, если в момент времени ~ = Ы, когда изобража- е ющал точка находится в поло- А женин В (рис. 5.44), сообщить А' телу приращение скорости Ьи = = оо(1 — е "~'), то изображаю- Ло щая точка перейдет в положение А и затем продолжит движение по витку спирали, кото- ие рый снова приведет ее в положение В. Повторяя эту процедуру при каждой смене знака и с минуса на плюс и каждый раз возвращая изображающую точку в положение А, можно получить замкнутую фазовую тра- Рис.
5.44 екторию АСВА. Наличие устройства, способного сообщать телу мгновенное приращение Ьи скорости при прохождении положения равновесия и = 0 в одном из направлений, наделяет рассматриваемую систему свойством самовозбужденил колебаний. При этом начало координат на фазовой плоскости иОч утрачивает свойства устойчивого фокуса. Действительно, при любых отклонениях от положения равновесия изображающая точка, двигаясь по соответствующему витку спирали, неизбежно подойдет слева к оси ординат. Например, при отклонении ио изображающая точка придет в положение В'(см. рис. 5.44) и, 274 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ совершив скачок вдоль оси ординат на Ьи, перейдет в точку А' на новый виток спирали, охватывающий прежний, и т.д.
Таким образом, отклонения от положения равновесия будут нарастать. Поскольку фазовая плоскость непрерывно заполнена спиралевидными фазовыми траекториями, то изображающая точка при 1 — ь со будет стремиться перейти на замкнутую траекторию АСВА (при определенных начальных отклонениях от положения равновесия этот переход возможен за конечное число скачков).
У В примере 5.17 рассмотрена мателатпическая модель (ММ) механической диссипативной системы с линейным трением. Добавление к этой системе специального устройства, восстанавливающего при определенном ее положении потерянную ею долю полной энергии, превращает эту систему в автоколебательную, причем обладающую свойством самовозбуждения колебаний. Такая ММ весьма приближенно описывает работу часового механизма.
Уточнить зту ММ можно следующим образом. Часовой механизм современных часов состоит из трех основных частей: 1) балансира, совершающего колебания; 2) источника энергии (например, спиральной пружины) и 3) часового спуска, периодически передающего балансиру энергию для поддержания колебаний. Если трение в опорах оси балансира можно в первом приближении считать линейным, т.е. пропорциональным скорости вращения оси,то приведение в действие часового спуска связано с преодолением трения покоя и сухого прения. Пример 5.18. Исследуем свойства рассмотренной в примере 5.15 механической системы с сухим трением, но снабженной устройством, передающим ей в некотором ее положении дополнительную энергию. Выберем в верхней половине фазовой плоскости пОч одну из фазовых траекторий, которые при соответствующем выборе масштаба р по оси Оч образуют два семейства полуокружностей с центрами в точках ( — а, О) и б.В.
Понятие об автоколебвтельных системах 275 (а, 0) (см. рис. 5.42). Пусть указанное устройство срабатывает в мо- ,'А мент времени, когда абсцисса нахо- 'А' дящЕйея В ВЕрХНЕй ПОЛуПЛОСКОСтн бн 'В изображающей точки принимает значение и = — а (рис. 5.45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
