XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогда приращение за один период колебаний полной энергии системы, приходящейся на единицу массы, составит (5.64) ЬИ/ = Ди,о) иеН = — рАФ(А). О Полную энергию системы, описываемой ОДУ (5.61), вычислим как сумму кинетической и потенциальной энергий гармонического осциллятора единичной массы (т = 1) и жесткости с = ргпг = рг, учитывая при этом (5.62): Ог „г ргАг ргАг ргАг И" = — +р — = яп р1+ — соа рг= 2 2 2 2 2 282 Я. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Пренебрегая величиной (ЬА)г по сравнению с малым прираще.
вием ЬА за период колебаний, для приращения полной энергии находим ,г ,г ЬИ'= — (А+ЬА) — — А -р АЬА. 2 2 Подставляя ЬИ' в (5.64), получаем приближенное равенство рЬА - — Ф(А), или Т вЂ” — Ф(А) = ~(Асояр1, — рАя)пр1) я1пр1й. (5.65) ЬА Ф(А) Т 2я о Отношение ЬА(Т характеризует среднюю скорость изменения величины А(1) за период Т колебаний. Представим эту скорость в виде ' ' ', где Аь — значение А(1) в момент времени 1ь = йТ, й Е М.
Если в момент времени 1 = 0 задано значение А(0) = Аш то, применяя к (5.65) метод ломаных Эйлера (Ч1П], можно последовательно вычислить Аь = Аь 1— 1 — -Ф(Аь 1), Й Е 1Ч. Для нахождения последовательности знар . чений Аь возможно применение и других численных методов решения ОДУ первого порядка [ЧП1], (Х1П]. Равенству (5.68) в общем случае может удовлетворять й значений А„, 1 = 1, 1Ч.
Это означает, что возможно существование )Ч предельных циклов, причем среди них могут быть как устойчивые, так и неустпойчивые цик ~ы. Если малое возмущение ЬА„> 0 полуразмаха колебаний А„предельного цикла с номером и приводит к уменьшению работы за цикл, а малое возмущение ЬА„< 0 — к ее увеличению, то эти возмущения будут по абсолютной величине уменьшаться во времени, т.е. предельный цикл будет устойчивым. Это условие равносильно Иф(А)] выполнению неравенства ] < О,или ЕА !А=А„ т ог < 0 при и = А„сояр1, о = -А„сояр1, дт" (и, о) до о д.яп.
Привлижеииые методы анализа динамических моделей 283 так ак как при таком представлении и и и имеем т — = — / ~ ' совр1 — ' в1пр1) я1прИФ = е~ф(А) Г lдГ(и, и) д Г(п, е) пА / ~ дп до о т т г ~дГ(п,и) . дГ(п,и) Г дГ(и,п) в1прФ+ ' соврГ) созрей+ / ' й = ди ди / ди о о т т — + — )ссорой+/ ' й= 1 Г ~дГ(и,е) дп дГ(п,и) дих ГдГ(и,и) рА / ди д1 до д1Г / ди р и о т т 1 Г ф(п,о) = =/ ' созрей+/ ' й = ' сояр1~ + Г д Г(и,о) Г(и,о) рА„й / де рА„~о о о т т т 1 Г, Г дГ(и,е) Г дГ(и,е) +=/ Г(п,и)я1прЬй+ ) ' й=! ' й, о о ояи Йи — +р и = Ди,и,$), и = —.
й2 '' ' й (5.66) а'и и Введем безразмерное время т = р~ и обозначим и = — = —. ао 2 Тогда вместо (5.66) получим рям — = Г(и,рм,тгр) — р и. Обо- от "Смл Анороное А.А., Внииа А.А, Хайкин С.Э.; Каудерер Г. поскольку в предпоследней части этого равенства первое сла- Ф(А„) гаемое обращается в нуль, а второе равно " = О. А„ Известно большое число приближенных методов, применимых к анализу нелинейных динамических ММ как автономных систем, так и не являющихся автономными'. Рассмотрим один из методов построения фазовой траектории в случае, когда непрерывная функция в правой части (5.61) явно зависит от времени $, а р = 1, т.е. 284 й.
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ значая б(и р,т) = — ( 'Р,' ~~), приходим к ОДУ ор р — +и+б(и,и,т) =О. ои (5.67) Если в некоторый момент времени 1у, 1, Й Н М, известны значения и(1ь 1) =ил 1ии(1ь 1) =ил 1, тофазоваятраекториядля рассматриваемой системы будет проходить через точку (иь 1, рь 1) фа(и~ иии 1) зовой плоскости пОч (рис. 5.49), где (и~ ии) иь 1 = иь 1/р. Через достаточно малый промежуток времени Ыь = (ь — 1ь 1 изображающая точка переидет в положение -б„-б„О и ь и-1 (иь, рь), причем приближенные значеРис. 5.49 ния иь и рь можно найти следующим образом. За достаточно малый промежуток времени Ь(ь изменение и и и мало, так что правая часть (5.66) также изменяется незначительно иможноположить б(и,и,т) =б(иь 1,иь 1,ть 1) = = бл 1, где ть 1 —— р(ь 1. Тогда вместо (5.67) получим ОДУ ро' + (и+бь 1)ди = О, имеющее общее решение и + (и+ бь 1) = тьз 1 — — сопя1, (5.68) где ть 1 геометрически соответствует радиусу дуги Гь 1 окружности с центром в точке (О, — бь 1), проходящей через точку (иь 1, рь 1) фазовой плоскости (см.
рис. 5.49). Следовательно, ть Переместим изображающую точку по дуге Гь 1 по ходу часовой стрелки из положения (иь 1, иь 1) в достаточно близкое положение (иы рь). Тогда из приближенного равенства 1 ии — иа-1 2(ии — ии 1) р- -(рь 1+ рь) - можно вычислить Ь1ь = и 2 ра4 р(аъ |+и~) найти момент времени 1л = 1ь 1+ Ь1ю соответствующий значениям иь и иь. Это позволяет перейти к нахождению следующего Вопросы и задачи 285 у уастка фазовой траектории в виде дуги 1'), окружности радиу„„=ч))~)„~~,)' ц р ° «)а -а), ~ а~ю ч рез точку (иы рь) (см.
рис. 5.49), причем ба = б(иы пыгь) и та =Рс'а Описанный прием построения фазовой траектории получил название дельта-метода. Ясно, что он применим и в случаях, когда правая часть (5.66) является функцией любого сочетания двух из трех аргументов (в частности, явно не зависит от времени Ф) или же зависит только от одного аргумента. Если нелинейная динамическая ММ включает ОДУ И~и —, = Г(и,и,1), то его можно привести к виду (5.66), положив 1(и,иД = р и+ Р(и,и,1).
Вопросы и задачи 5.1. Покажите, что при фиксированном значении 11* = 11е > > Ь11е существует значение А = Л„в окрестности которого отсутствует непрерывная зависимость решения ОДУ (5.15) от параметра В. 5.2. Покажите, что в примере 5.3 1~ > 1 . Выведите равенство Т, — Т, = 1аТ и объясните, почему режим работы рассмотренной в этом примере ячейки теплоизолирующего слоя менее надежен при значении 1' силы тока, чем при значении 1,. 5.3.
Постройте фазовый портрет консервативной системы, состоящей из длинного однородного прямоугольного параллелепипеда, качающегося вокруг одного из своих горизонтальных ребер, которое соприкасается с горизонтальной поверхностью и не может скользить по ней. Высота и ширина параллелепипеда равны 1 и 5 соответственно. 5.4. Исследуйте поведение консервативной системы, рассмотренной в примере 5.11, при 1е < 1. 286 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ 5.5.
Исследуйте затухающие колебания в системе, изобра женной на рис. 5.1, после отклонения твердого тела массой т из положения равновесия на расстояние а в горизонтальном напра. аленин. Колебания около зтого положения затухают благодаря силе вязкого трения, пропорциональной квадрату скорости тела. Как изменится поведение системы, если в вертикальном положении пружина жесткостью с имеет натяжение Ре > О? Исследуйте поведение системы при Рд < О.
5.6. Убедитесь, что в условиях примера 5.10 и, 1 ((1+ адН)с ~яЯН вЂ” 1) < О. 5.7, Выведите уравнения фазовых траекторий системы, рассмотренной в примере 5.15. При каком выборе масштабов по осям Оп и Оч фазовой плоскости пОч фазовые траектории образуют два семейства полуокружностей с центрами в точках ( — а, О) и (а, О) (см. рис. 5.42)? 5.8. Убедитесь, что в системе, рассмотренной в примере 5.18, автоколебания возможны при условии Ье = 4а/р, если начальное положение изображающей точки лежит вне области, заштрихованной на рис.
5.46, а в случае Ье > 4а/р размах колебаний возрастает, если начальное положение изображающей точки не лежит внутри втой области. 5.9. Установите влияние притока воды с объемным расходом Я,'„на время опорожнения „танталова сосуда" 1см. пример 5.19). 6. МАТЕМАТИ'ЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРО~РОВНЯ Так как математические модели (ММ) микроуровня описывают процессы в континуальных системах, то теоретической основой их построения являются механика и электродинамика сплошной среды. Некоторые примеры применения этих ММ для обоснования математических моделей макроуровня и уточнения их областей адекватности приведены в Д.3.2, Д.З.З и Д.4.1. Методы построения и анализа многомерных математических моделей микроуровня достаточно подробно рассмотрены в [ХП], [ХП1].
Поэтому здесь остановимся в основном на особенностях одномерных математических моделях микроуровня технических объектов, в том числе таких объектов, в которых одновременно протекают процессы различной физической природы. 6.1. Модели микроуровня электрических двухполюсннков Уточним по сравнению с математическими моделями (ММ) микроуровня (см. 3.1 и Д.З.З) ММ электрических двухполюсников — резистора и конденсатора. Для уточнения используем математические модели микроуровня этих двухполюсников.
Пример 6.1. Пусть материал прямолинейного проводника длиной 1 с круглым поперечным сечением радиуса г, «1 имеет электрическую проводимость о, единицей измерения которой А является —. Такои проводник можно считать резистором В м с активным сопротивлением Вв = —,. Однако в случае вг2в переменного тока изменяется во времени энергия магнитного 288 б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
