XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Одномерные линейная и нелинейная математические модели стационарной теплопроводности использованы в З.З для нахождения термического сопротивления элементов конструкции с криволинейной поверхностью. Приведем еще ряд характерных примеров. Пример 6.4. При интенсивном теплообмене с высокотемпературной средой повышение термического сопротивления слоя теплоизоляционного материала, обусловленное стремлением защитить конструкцию от теплового воздействия этой среды, приводит к возрастанию температуры Ть поверхности теплообмена. Это вызывает опасность выхода из строя теплоизоляцонного материала. Использование пористого теплоизоляционного материала, через поры которого навстречу тепловому потоку подается охлаждающий газ или жидкость, часто позволяет решить проблему тепловой защиты поверхности конструкции с заданной температурой То. Построим стационарную математическую модель, отражающую влияние 'Смл Лыков А.ВА Карташов Э.МА Карьлау Г., Егер Д.
б.2. Одномерные модели стационарной теплонрваодности 303 охлаждающей жидкости (гзза) на термическое сопротивление плоского слоя пористого теплоиэоляционного материала толщиной Ь (рис. 6.4). Температуру жидкости в произвольном о сечении слоя с координатои я в силу ее интенсивного теплообмена со „скелетом" пористого теплоизоляционного материала о и И можно считать практически совпадающей Рис. 6.4 с температурой Т(я) „скелета" в этом сечении. Тогда для части слоя между этим сечением и защищаемой конструкцией (н = О) при дстаиовившаисл процессе теплообмена справедливо уравнение теплового баланса в виде T(е) Л вЂ” де=т с (Т)с1Т, ЯХТ(х) сЬ (6.18) те =7 т, ве+т ) с (Т')ЙТ' (6.19) Значение дв можно найти при помощи граничного условия на поверхности теплообмена теплоизоляционного материала с где Л = рЛ + (1 — р)Л, — коэффициент теплопроводности пористого теплоизоляционного материала, заполненного жидкостью (Л и Л, — коэффициенты теплопроводности жидкости и „скелета" с пористостью р соответственно); де — плотность теплового потока, воспринимаемого конструкцией; т и сн(Т)— удельный массовый расход жидкости и ее удельная массовая теплоемкость, зависящая в общем случае от температуры.
После интегрирования (6.18) получим 304 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ высокотемпературной средой (я = Ь): Т(11) = Тл, т.е. т„ 'А йТ то де+ т / с (Т') ЙТ' (6.20) То При этом плотность теплового потока, поступающего от среды в теплоизоляционный материал, равна 1Т~ дл = А — ~ = до+т с (Т)с1Т. (6.21) СЬ 1о=Л То Если А и с допустимо считать независимыми от температуры, то из (6.20) и (6.21) следует ҄— Т до ~ем 'Л еоо 1 Тл-ТО л дь =том,, е еол — 1 причем дл — до = тс (Тл — ТО), а из (6.19) — известная формула для распределения температуры по толщине плоской пористой стенки* / епл ' — 1 тс Т(я) = ТО+ (Тл — ТО),, пл~ = —.
Тл — ТО е л — 1 Вт де тем по сравнению с термическим сопротивлением тс о То — То Л О. Л плоского слоя теплоизоляционного материала в случае непо- В е — 1 движной жидкости. Отношение — = неограниченно Во ~Л 'Смс Теория тепломассообмеиа. Проходящая через слой пористого теплоизоляционного материала жидкость как бы запирает тепловой поток, в результате чего повышается отнесенное к значению де термическое сопротивление этого слоя б.л. Одиомериые модели стационарной теплопроводиости 305 возрастает при увеличении параметра т'.
С ростом т' возрастает также плотность дв теплового потока, воспринимаемого на поверхности теплообмена с высокотемпературной средой. Кроме того, выход жидкости (или газа) в пограничный слой на этой поверхности вызывает перестройку профилей скорости, температуры и концентрации компонентов высокотемпературной среды, что снижает интенсивность конвективного теплообмена*. Рост параметра т' обычно ограничен допустимым значением расхода т жидкости.
При ограниченном значении т можно добиться дополнительного эффекта выбором такого режима, когда испарение жидкости с соответствующими затратами теплоты происходит внутри слоя теплоизоляционного материала. Это дает возможность увеличить разность дв — дз, однако не всегда удается стабилизировать положение фронта испарения внутри слоя.
,-ф Л(я, Т) Я(я) = — Яе — др(~,Т)БЯ сц„ ссТ(я) сЬ о (б.22) *Смл Теория тепломассообмеиа. Построим ММ процесса стационарной теплопроводности в теле с внутренним энерговыделением, причиной которого могут быть прохождение электрического тока, фазовые и химические превращения в материале, поглощение проникающего в материал излучения, ядерные реакции и т.п. Пусть криволинейные поверхности ограничивают в направлении оси Ог слой материала толщиной Ь с идеально теплоизолированными боковыми гранями (см. рис.
3.13). В этом слое происходит энерговыделение объемной мощностью ук(я, Т), зависящей в общем случае от координаты я и температуры Т. Если считать распределение температуры в слое установившимся и одномерным, т.е. Т = Т(я), то из баланса тепловой энергии получим 306 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ где Х(л,Т) — коэффициент теплопроводности материала слоя, Че — тепловой поток, проходящий в положительном направлении оси Оз через криволинейный участок поверхности пле/ л щадью ое при я = 0 с главными радиусами кривизны т1 и т„ я( ) =я,(1+ — ',)(1+ — '„).
Для слоя неоднородного материала с независящими от температуры величинами Л и о~ интегрированием (6.22) наидем я я / Т(Я) = Т(0) — Яе+ ду(~) Я(~)д~, ~(, (6 23) о о Отсюда при я = А следует: л (")- ()+' л()я(.) = о л я д~(~) о(~) д~ . (6.24) о о Из граничных условий обычно известны значения Т(Ь), Т(0) или Т(А), Яе. Тогда из (6.24) можно вычислить Яе или Т(0) и затем при помощи (6.23) найти распределение Т(я) температуры по толщине слоя материала. В более общем случае могут быть заданы условия теплообмена на поверхностях при я = 0 и л = й: ИТ(0) йТЯ -Л(0) — = О, =,(Т,-Т(0)), Л(А) = „(Т„-Т(А)), ~Ь где ае и ал — коэффициенты конвективного теплообмена со средами, имеющими температуру Тд и Тл соответственно.
ЫТ(Л) После подстановки в зти равенства выражений для Л(а) — „ из (6.22) при я = А и для Т(А) из (6.24) приходим к СЛАУ 6.2. Одномерные модели стационарной те~лонронодности 307 относительно Т(0) и ЯО, решение которой дает необходимые для использования (6.23) значения этих величин. Для слоя однородного материала при Л = Л(Т) в случае д~ = = ди(з) после интегрирования (6.22) получим Т(е) е и Л(Т)ЙТ= — Яо+ 91 (~)Я(~)с~~, .
(6.25) т(0) 0 0 Это равенство позволяет рассчитать распределение Т(з) температуры, если предварительно, аналогично сделанным выкладкам, найти при помощи граничных условий значения Т(0) и ЯО. Пример 6.5. Объемную мощность энерговыделения за счет поглощения проникающего в слой материала излучения можно представить соотношением'1, которое следует из закона Бугера'з: оО 9ь(з) = м70 — е Я~~) где зс — коэффициент поглощения, до — плотность потока излучения, падающего на поверхность при з = О. При этом в слое материала выделяется тепловая энергия мощностью О= /и( )е()и=ее~) "'е =не (1 — ~).
о 0 В частном случае плоского слоя материала, когда Я(я) = оО = = сопа1 и известны температуры Т(0) и Т(Ь) поверхностей, из (6.25) при ЯО = 0 несложно получить Я Л(Т) ЙТ = — Л(Т) с(Т вЂ” — + яо (6 26) -й, зсОО зс т(о) Т(0) * Смл Зарубин В.С. (1983 г.) 'зП. Бугер (1698-1768) — французский ученый. 308 б.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ При Л(Т) = Л = сопя1 из (6.26) следует явное выражение для температуры: Т(л) = Т(0) + (Т(о) — Т(0) — — ) — + — (1 — е "'). агЛЯ Ь Л Пример 6.6. Для получения источника с большим значением 1 силы постоянного электрического тока может быть использован униполярный генератор*. Ротором такого генера+ л тора является диск 1, вращающийся в постоянном магнитном поле, создаваемом статором 2 (рис. 6.5).
В Н л результате между центральной ча- нг а стью диска и его периферией возни- 4 кает разность потенциалов, а злека1 трический ток проходит по диску и передается во внешнюю цепь через О токосъемники 3 и 4. Примем, что плотность 1 тока в Рис. 6.6 диске зависит лишь от радиальной координаты т и не изменяется по толщине Ыт) диска, т.е. З(т) = 1 = —, где Б(т) = 2ятЬ(т). Тогда при нахождении установивше- Б(т) ' гося распределения температуры в диске можно использовать расчетную схему стержня с переменным поперечным сечением Б(т) и внутренним энерговыделением объемной мощностью Ет(т) = —, где о — электрическая проводимость материа- 4 (т) ла диска.
Примем, что теплообмен на боковых поверхностях диска отсутствует, толщина диска изменяется по закону Ь(т) = 61 — (Ьг — 61)( ) 41 Е (О, 1], тг — т1 а температура по толщине постоянна и, значит, установившееся распределение температуры Т(т) удовлетворяет уравнению 'Смс Зарубин В.С. (1966 г.) б.2. Одномерные модели стационарной теплопроводноети 309 вида (6.22): Л вЂ” = — Я1 — ды(т) Б(т) Й; ЙТ(т) Йт (6.27) д 72 26 ат1 где Т(т1) - Т(т2) 2 т1(т2 - т ) т2 Ьг д Р Ф д= Лпт, т= ы о Р о 1п— 72 4ЯЯЬ1т2 — Ь2т1) т1 62 получим 1п(( — ') — ') 1п2((~'г) М) т 62 т И,т) При этом через токосъемник 3 (см.
рис. 6.5) из диска выходит тепловой поток Я2 = — ( — + т), а электрическое сопротивлеатг ~2т ние диска равно 2 — ". На рис. 6.6 представлено распределение атг где Я1 — тепловой поток, проходящий от вала в диск через кольцевое сечение шириной 61 и радиуса т1 (см. рис. 6.5). Если в токосъемниках униполярного генератора используют жидкометаллические контакты, то температуру контактирующих поверхностей можно принять равной температуре Т, плавления металла, применяемого в токосъемнике. В этом случае имеем граничные условия Т(т1) = Т(т2) = Т, и после интегрирования (6.27) при постоянных значениях Л и а, предварительно вычислив 310 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
