XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 49
Текст из файла (страница 49)
6.10. Так как и„Е ((и — 1)я, -(2п — 1)я) и и„> в1п~„сови„, то при я = О 1 ряд в правой части (6.45) становится знакопеременным. Для такого ряда отбрасывание при суммировании членов, начиная с п-го, приводит к погрешности вычисления, не превышающей абсолютной величины этого члена. Рис. 6.10 Наибольшие по модулю коэффициенты ряда равны В„' = 4( — 1)" +' , т.е.
В* = 1,2732, )В2) = 0,4244, Вз — 0,2546 и т.д. я(2о — 1) ' Если в (6.45) удержать всего один первый член ряда, то относительная погрешность вычисления температуры Т(1,0) будет менее 1% при (В2)е "о ( 0,01, или при Ро > Ро1- 0,38. Таким б.з. Модели процессов нестацнонарной геплопроводносги 319 образом, с точностью до 1% при выполнении этого последнего неравенства наступает регулярный режим, описываемый формулой Т2' — Т(1,з) .2Р, = В1е ' сози17, Ро > Ро1. (6.46) Завершению регулярного режима в данном случае соответствует стремление величины Т(1,я) к установившемуся значению Т2. Если принять в качестве условия завершения регулярного режима выполнение неравенства Т2 — Т(1, я) 'Т,* Т' <А — о то из (6.46) получим 1 В1 сов юг 1 В1 Рооп —— — шах 1п 2 1п ил те[о,1] б и12 Б ' Ясно, что при уменьшении значения Ро ряд в (6.45) сходится медленнее.
Поэтому при вычислении с заданной точностью приходится удерживать большее число членов ряда. Так, суммирование двух членов этого ряда обеспечивает относительную погрешность менее 1% при условии Взе [2 ] ео < 0,01, т.е. при Ро > Роз = 0,082. Применение интегрального преобразования Лапласа позволяет получить иную форму решения рассматриваемой задачи, удобную для вычислений при малых значениях Ро. Выражая в (6.39) гиперболические функции через экспоненцизльные, при В]1 — ~ 0 получаем То Т2' — Тз е 4[1 ']+е С[1+я] Т(р,я) — — + р р(1+ ('/В]2) 1 1 — 4/Вм -24 1+ 4/В[а 1 4/В12 — 2 Если величинои ~/ е 24 пренебречь по сравнению с едини„,'/Вн 2 цей, то, используя таблицы соответствия изображений и ори- 320 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ гиналов*, можно написать Т(12) То 1 я В! 1 — г +В1воо / 1 я =ег1С вЂ” — е ед г) 1в его 11 — +В1зМоо) + Тг Те 2Ло 2~/Ро + ег1с — е "~ +'~ '2 'ег1с~ + В1з~/Роо).
(6.47) 1+я В~ 1 л 'в о г1+я 2Ло 21Фо Функцию ег1с( выражают через интеграл ошибок ег1С: ег1сС = 1 — еггС = 1 — — ( е * ~Ь. л/ Для малых значений аргумента 4 можно использовать разложе- ние (Х11] ~з сь ~г ег1с~ = 1 — — ~~ — — + — — — +...), 1/я 1!3 2!5 3!7 а для больших значений— е-(з( 1 13 135 ,Д~ ~' 26з (2Р)з (2Р ) +"') д"(р)сЬ1,я д(р, )= сЬ1", + — яЬ1, В1г (6.48) 'Смл Лыков А.В. Пример 6.8. В РС стенки, изображенной на рис. 6.7, положим коэффициент теплоотдачи гг1 = 0 и примем температуру среды Тз(г) и плотность тпепловоао потока д(г) зависящими от времени.
В этом случае для решения задачи также целесообразно применить интегральное преобразование Лапласа (6.37). Тогда вместо (6.39) получим решение йЗ. Модели процессов нестационарной теплопроводности 321 для изображения температуры Т(1, г) — То, где д'(р) — изображение температуры д'($) = Т*(1) — То, а Т" (~) = То(8) + ~ д(1) ое изменяющаяся во времени приведенная температура среды. Правая часть (6.48) является произведением изображений д*(р) и рд(р,г), где СЬ1 г р(сЬ~+ (~(В19) вЬ1,) Используя процедуру, изложенную в примере 6.7, несложно установить, что изображению д(р, г) соответствует оригинал д(~,г) =1 — ,'1 Ввс "" 'СОВивг, (6.49) где 2в1пио > Рп + В1ниа СОВ ип а и„— корни трансцендентного уравнения с18р = и/В19.
Для перехода от изображения д*(р)рд(р,г) к оригиналу д($,г) используем интеграл Дюамеля [Х1] в виде д(,,) д*(,) (0,)+/Гд*(Ф,) д, йд(т) Йт о Учитывая начальное условие Т(О,г) = Тв, при помощи (6.45) находим д(О,г) = О. Тогда получаем 1 то,*~=с,-:-т „'е.," /д'о- ь-".*"'" ш. (бала п=1 о Пусть приведенная температура совершает во времени гармонические колебания с амплитудой ЬТ* и угловой частотой 1! — 9101 322 6.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ колебаний щ по закону Т*Я = То+ 7!2Т*вше21. В этом случае н (6.50) найдем 2 Т(72 я) — ТО к- 2 а СОВ и„Х /' 2 7Л2 н„В„Ь2 ( е в=1 о (ьгв1п1е1 — Рс1сояыг+Рбе "е), (6.51) 4+ Р~г где Рб = ыйг/а — критерий Предводителева*. При Ро -+ со колебания во времени температуры Т(1, е) будут также гармоническими, причем д„(1,~) Т.(1, ) — То А( ) ( + ( )) 7лТ* ЬТ' Однако для нахождения зависящих от я амплитуды А и начальной фазы 92о этих колебаний использовать (6.51) нерационально. Вернемся к решению (6.48) и подставим в него изображение ЛАТ* д (р) = / д~$)е "~<11 = 1зТ / е Р~81пи2ЬЫ= , 2+ >2' о о соответствующее оригиналу д(1) = Т*(1) — То = ЬТ*я1пи21 В результате получим ьнлТ*сЬД /р д(р, я)— — Ь, (рг+ьег)(сЬ~+(~/В12)яЬ~)' у а ' Ь 2Л2 Теперь наряду с полюсами р„= — — ", п е М, функция д(р,я) имеет еще два простых полюса р ° = 2ь2 и р 2 = — ил на мнимой оси комплексной плоскости.
С учетом вычетов в этих двух 'А.С. Предводителев (1891-1973) — русский физик. б.З. Модели процессов нестационврной теплопроводности 323 полюсах запишем где, если использовать обозначение 2!о~ = !ойв/а = Рс!, сЬ!оъ/2ья 2е (сЬ Ы~/2!+ (!о~/2е/В!2) зЬсо~/2!) (6.53) сЬсо~/ — 2г я 2г(сЬ!о~/ — 2г + (!о~/ — 2е/В!о) яЬй!~/ — 2!) Гармонические колебания температуры определяют два первых слагаемых в правой части (6.52), причем, применяя формулу Эйлера (Х], получим *(с~ ) л*(с~ ) Тз у( —,) ил! у ( —,) -пл! слТ* слТ' = (У;(я) — У;(я)) соз!о$+ е(Уз(я) + У !(я)) зшсос = = и ~ -и оу ,*я в ( ~ ~- и ~ ' ' ) .
[6.54) ,У;(з) — У !(з)~ У;(г)+У !(я) Преобразуем это выражение к действительному виду в частном случае В!з -+ оо, что соответствует высокоинтенсивному конвективному теплообмену на поверхности стенки при я = Ь. В этом случае Т(1,И) -+ Т*Я. Так как (1~в)~ = 1~ 2г — 1= ~2з, то ~Я2! = х(1 ~ !). Знак е ~" перед (1 ~ е) можно опустить, поскольку этот сомножитель входит в (6.53) в аргумент четных функций сЬ~ и ~яЬ(. В соответствии с известными формулами [Х] запишем сЬ!о~Я2зя = сЬ!о(1 ~ !)я = сЬоы совою ~ гзЬая ешь, сЬ!о~Я2! = сЬ!о(1~ в) = сЬ!о соя!еж !яЬ!о яшЫ, яЬ!о~Я2г = яЩ1 ~ е) = яЬо! совой! ~ зсЬсо я!и!о.
324 6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Тогда с учетом (6.53) и (6.54) при В1г -+ со находим А(*) = 2 /-У;я)У 1с = с11~йг — яш оы сЬ~ Ы вЂ” яш~ й ,УС(г) — У 1(г) Рю(г) = агссяг * СЬйг вшибя — СЬР СЕР совою = агсС сояйг+ СЬм СЕР С11 г я1поя В рассматриваемом частном случае А(6) = 1 и уя(й) = О, а на идеально теплоизолированной поверхности стенки А(0) = = (сЬ~Ы вЂ” я1пгЫ) < 1 и <ря(0) = — агсС6(СЬРСЕю) < 0 при ш > О. Для значений ю > х имеем 0,996 < СЬй< 1 и сЬ~Р> 100 >> » яшгй Позтому можно принять А(0) = — < 0,1 и уя(0) = 1 сЬР = — Р< — я. Призтом А(г) = — =е 11 '1 иеря(г) = — ю(1 — г) сЬР для таких значений г < 6, когда можно считать СЬйг = 1.
Таким образом, с удалением от поверхности стенки при г = Ь уменьшается амплитуда гармо- Т нических колебаний температуры во времени и увеличивается запяздыва- Т"И) ние по фазе по отношению к колебаТя виям температуры на зтой поверхности. Распределение температуры по толщине стенки в фиксированный момент времени представляет собой вол- О Й г ну, затухающую при уменьшении ко- Рис.
6.11 ординаты г (рис. 6.11). Длину Ь такой б.4. Одномерные модели гидравлических систем 325 волны, называемой пгепловой, можно найти как расстояние между точками, в которых разность начальных фаз колебаний температуры равна 2к. При больших значениях ш получим Ь авенство 2я = уо(а) — у(г — Ь) ЫЬ/й, откуда Ь 2я- = Г2а = 2л.~ —. Скорость о распространения тепловой волны можно 2н найти как отношение ее длины к периоду — колебаний т.е.
ы \ о - ~/2аю. Отметим, что приближенные равенства переходят в точные при Ь -+ оо, когда тепловая волна распространяется не в стенке, а в полуограниченном теле'. 6.4. Одномерные модели гидравлических систем При движении жидкости (или газа) по трубопроводу могут возникать колебания давления и расхода жидкости вследствие пульсаций этих параметров на выходе из насоса (или компрессора), нагнетающего жидкость (или газ) в трубопровод, и срабатывания регулирующей и запорной арматуры гидравлической (или пневматической) системы. Ограничимся рассмотрением движения жидкости в прямолинейном горизонтальном трубопроводе, считая ее идеальной (невязкой), но сжимаемой.
Сжимаемость жидкости характеризуют объемным модулем упругости Еж. Он входит в соотношение ( р ро) (6.55) *См:. Лыков А.ВА Карслое Г., Егер Д. которое связывает плотность р жидкости с давлением р (ро— значение плотности при давлении ро). Так, для воды Еж ее = 2,136 10~Па при температуре 293К = 20'С и атмосферном давлении. Выделим в трубопроводе участок длиной йт (рис. 6.12). Примем, что среднее по поперечному сечению трубопровода 326 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Рис.
6.12 давление р(С,х) жидкости зависит от времени С и координаты х этого сечения. В соответствии с (6.55) для плотности р(С,х) имеем аналогичную зависимость. Так как стенки трубопровода могут деформироваться под действием давления, то площадь г'(С, х) поперечного сечения также является функцией С и х.
Массовый расход жидкости через трубопровод обозначим т(С,х). Все указанные функции предполагаем дифференцируемыми по своим аргументам. С точностью до бесконечно малых более высокого порядка в фиксированный момент времени С в объеме выделенного участка трубопровода находится масса жидкости р(С, х) Г(С,х) сСх. Из закона сохранения массы следует, что скорость — Нх измене- дРР дс ния массы жидкости в пределах этого участка равна разности дт т(С,х) — т(С,х+сЬ) = — Йх расходов через его входное и вы- дх ходкое сечения соответственно (см. рис. 6.12). Таким образом, получаем уравнение неразрывности для движения жидкости по трубопроводу в виде д(рГ) дт (6.56) дС дх Перепад давления между входным и выходным сечениями выделенного участка создает действующую в направлении оси Ох силу р(С х) г (С,х) — р(С, х+ сСх) г (С, х + сСх) + р(С,~) ' сСС, дг (С,~) причем интеграл соответствует проекции на эту ось равнодействующей сил давления со стороны стенок трубопровода.
6.4. Одномерные модели гидравлических систем 327 — рийУ = — р(~,() е<Ы' с~~— х Р(С,() х+4х х+4х = — / Р(~,~)е(~,~)РМ)сК= — / т(1,~)Ы~ д Р с~ Г ж/ -з1 изменения в этом направлении количества движения массы жидкости в объеме У выделенного участка (е — проекция вектора скорости жидкости на ось Ох, Н вЂ” величина этой проекции, средняя по поперечному сечению трубопровода).
В итоге, отбросив бесконечно малые более высокого порядка, запишем д(пг') дг' др Ыт — сЬ+р — сЬ = — Р— дх = — Нх. дх дх дх й Если неустановившееся движение жидкости в трубопроводе рассматривать как возмущенное относительно известного установившегося движения или состояния покоя, то при малых возмущениях полную производную по времени в последнем равенстве можно заменить частной производной [Х1П]. Тогда л им по уч дМ, ) Р(,д)дЯ( ) ( 5 ) д1 ' дх Зависимость Г от р в предположении линейной упругости материала стенок трубопровода можно представить в виде, аналогичном (6.55): е( +Х ) (6.58) где Ре — площадь поперечного сечения трубопровода при давлении рш Ю вЂ” модуль упругости материала стенок, а коэффициент х зависит от формы поперечного сечения и толщины В соответствии с законом сохранения количества движения эта сила равна скорости 328 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
