XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Обозначим д(Ф,л) = Т(1,я) — Т,. Тогда если в качестве начального условия принять О(0,я) = То — Т, = = до = сопз$, где То — начальная температура листа, то в силу симметрии относительно плоскости я = 0 граничные условия можно представить в виде дп(е,0) дд(е,п/2) ад~ а'1 = ( 72 349 Д.6.1. Модель процесса индукционного нагрева В данном случае вследствие зависимости дк от координаты х для решения сформулированной задачи целесообразно применить интегральное преобразование по переменному х [ХЦ: Ь/2 д(1,р) = Я~,х) К(х,р) с/х, 0 (6.73) где ядро К(х,р) этого преобразования удовлетворяет следую- щей задаче Штурма — Лиувилля: — =р2К(х,р), хЕ (О, -); ЫК(О,р) ЫК(Ь/2,р) а /ь =О, Л 2 сф(~ — ) = —.
(6.74) Константу С найдем из условия нормировки на отрезке [О, Ь/2]: а/2 а/2 С2 И О1пр/а~ [[К(х р)[[2= / К~(хр)сЬ=С / созврхс/х= — ( — + ) =1. Отсюда С = 2 1', . Так как правая часть этого равенрЬ+ а1врй ства является четной функцией от р, то достаточно рассматривать лишь счетное множество положительных корнеи ри > О, и Е Ы, уравнения (6.74), записав в итоге сояр„х К(х,р„) = 2,/рри Р„+ ОшР„ (6.75) Отсюда К(х,р) = Ссоерх+ Р О1прх, причем из граничного усло- вия при х = О следует, что Р = О, а граничное условие при х = Й/2 будет удовлетворено, если р является корнем трансцен- дентного уравнения 350 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Применяя к (6.71) и начальному условию преобразование (6.73), с учетом (6.70) и обозначения д(1,я) = Т(2,я) — Т, получаем ОДУ первого порядка Цд(2,р„) — Ног1ор о /р 2с р„+вшр„сЬ лл1 л/г с начальным условием 2доЛ вш 2 Отсюда находим решение относительно изображения Ф,р )= Нгы о~рро1/Р ( )(1 'р'1) (6 76) 'и~„~~— „а~—- ,~„ввъ~'~" ' д(~,я) = 1 д(2,р„)К(я,р„) (6.77) я=в относительно изображения д(8,р„), где а = А/с и 1ь)=/ (~~- — 1) р„*~ о 4 — вЬ2о1 совр„-+ р„сЬ2Р вшр— И Ь .
Ь Ь 2 2 луг 26„/р — „ ~(~ю.) = . ~.ы = р~ .~ ~ р„й 1 2до1/Ь вп1" —" 2 -ар~1+ Используя формулу обращения [ХЦ 1 . Ь в1пря 2 ~ Рп Д.б.1. Модель ороцеееа индукционного нагрева 351 и учитывая (6.76), переходим к оригиналу а О1пр„— д(Ь',я) = 4дО ~, 2 Е 'р"'СОЕроя+ 1Р Ь+ а1прай О ~ ~ ~, (Р ) Р (1 е ар ь) (678) Л ~, Р„Ь(рай+ а1пРай) сЬ2ьо Первая сумма в (6.78) учитывает отличие начальной температуры ТО листа от температуры Т, воздуха и стремится к нулю при 1-+ оо. В частном случае равенства этих температур д = 0 и первая сумма в (6.78) исчезает. Вторая сумма в (6.78) отражает влияние нагрева листа вихревыми токами.
При 1-+ оо распределение температуры по толщине листа стремится к установившемуся, определяемому формулой Н ыРРОЬ 'с 7(ра) Рая л Р„Ь~ „Ь+О1 „Ь) Ь Однако пользоваться этой формулой неудобно, поскольку нахождение температуры связано с громоздкими вычислениями и требует суммирования значительного количества членов ряда. Установившееся распределение температуры можно найти непосредственно решением ОДУ второго порядка, которое следует из (6.71), если приравнять нулю его правую часть. Первое оТ(О) интегрирование с учетом (6.70) и граничного усяовия = 0 Ые дает равенство л йТ(л) 1 д (л) ~Ел / Л О 4Н2р2 г ОЬ~Ы вЂ” 4ьо — — ОЬ4РЛйяп сЬОР О 2ЛЬо сЬ2Ы О После второго интегрирования запишем г Т(я) С +НО 2 8 Лп сЬ2 ~~р 353 Д.б.1. Модель процесса нндунцнонного нагрева Отметим, что р1Ь Е (О, я/Ь), так как в соответствии с геометрической интерпретацией уравнения вида (6.74), представленной на рис.
6.10, р16/2 Е (О, и/2). Для поверхностной термической обработки листа или других деталей применяют кратковременный индукционный нагрев при высокой частоте изменения внешнего магнитного поля. В этом случае использовать (6.79) при расчете температурного поля нерационально, так как для достижения приемлемой точности необходимо суммировать слишком большое количество слагаемых. Возможен иной подход к построению ММ процесса кратковременного высокочастотного индукционного нагрева.
Он основан на том, что с увеличением угловой частоты колебаний ы уменьшается толщина поверхностного слоя, в пределах которого напряженность магнитного поля в листе и плотность вихревых токов оказываются существенными. Поэтому поверхностный слой, в котором локализовано выделение джоулевой теплоты, может составлять весьма малую долю толщины листа, так что за короткий период нагрева повышение температуры происходит главным образом лишь в пределах этого слоя. Введем координату С = Ь/2 — л, отсчитываемую по нормали к поверхности листа внутрь его. Заменив в (6.70) г на Ь/2 — с, запишем (еЬ о2 сЬ 2а2(/Ь вЂ” сЬ Р вЬ 2а2(/Ь) ВЫ) =Не зЧК 2 Ь2 2сЬ ео Так как еЬР - сЬо2 при Р » 1, то получим Незьццье у (() е ~сЬ 2а2 — — еЬ 2а2 — ) Ь Ь) Нзш е~й"е —,/ ый24 (6 60) 2 т.е.
объемная мощность выделения джоулевой теплоты не зависит от толщины листа. Это означает, что при а2 » 1 можно 12 — 9! 02 354 б. МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ использовать расчетную схему (РС) полупространства с заданным на его ограничивающей плоскости внешним магнитным полем, напряженность которого изменяется по тому же закону, что и в случае листа толщиной и. Для такой РС последнее равенство становится точным. Ту же РС допустимо применить и к поверхности детали произвольной формы, если для оценки значения Р взять толщину и детали в направлении нормали к этой поверхности. Используем (6.80) для построения ММ процесса кратковременного высокочастотного индукционного нагрева.
Если пренебречь за период 8, нагрева передачей теплоты теплопроводностью и теплообменом листа с воздухом, то распределение температуры в поверхностном слое листа к моменту окончания нагрева будет равно Т,.Р 6)=То+" ~'=Те+ ' """* -~7'б (6.8Ц с 2с 1жс,х) дгд(~, ) о де д(г (6.82) с граничными условиями вида (6.72) дд(~,0) дд(~,6/2) с~с — ( где д($,х) = Т(1,х) — Т„, а, — коэффициент теплоотдачи от поверхности листа к охлаждающей среде температурой Т,. В качестве начального условия с учетом (6.81) примем д(1.
х) =То — Те+ е 4нг„-г, шп йг соУ Эта формула дает верхнюю оценку возможных значений температур в поверхностном слое. При поверхностной закалке сразу после прекращения нагрева поверхность подвергают интенсивному охлаждению. На этой стадии ММ процесса включает уравнение Д.б.1. Модель нроцеееа индукционного нагрева 355 Для решения уравнения (6.82) также целесообразно применить интегральное преобразование вида (6.73) по переменному 2, причем ядро (6.75) этого преобразования будет содержать значения р„, которые являются корнями трансцендентного уравнения, аналогичного (6.74), но с заменой се на сее.
Изображение д(г,р„) должно удовлетворять однородному ОДУ первого порядка 'р" + прад(1,р„) =0 с начальным условием Л/2 2(То — Те) вш р„й ье(1 ) ье(л ) ц"( ) 1 2 + р,~р,в»- ~ р ь) о 8 Ргг — 21 ~ — р„Ь вт р„— + У~сов — — е ) ь 7 р„ь и~ + о"'» Ро " "2 (уг„Ь)2+ 4 РЕШЕНИЕ д(1,р„) = д(г„р„)Е вр (~ ~ г ПОСЛЕ ПОдетаНОВКИ В фОрмулу (6.77) обращения дает в итоге решение относительно искомого распределения температуры в листе на стадии охлаждения: вш оЬ Т(1,2) =Т,+4(То — Т)~~> .2 е ~Р"О И1совРнл+ р„Ь+ ппр„Ь 16нг,—,ге оо р„Ьвт — + цг~сов — — е роЛ Г Р„Ь + ~> е 'Р"О ~ >совр я спЬ /1+ вшрпа~ ( 252+ юг) / и Отсюда можно найти время охлаждения, которое обеспечивает снижение температуры в поверхностном слое листа до такого уровня, ниже которого структура закаленного материала остается стабильной.
Напомним, что (6.81) соответствует оценке сверху распределения температуры в поверхностном слое листа в конце нагрева. Для выяснения погрешности этой оценки используем с 12 356 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ учетом (6.80) РС полупространства и рассмотрим ММ, включа- ющую уравнение 1 дТ($,() д Т(2Я Нош~цьо ~~ „' ' 72~ Ю дР2 2Л с начальным условием Т(О,с) = То и граничными условиями дТ(1, 0) а дТ(1, ~) = — (Т(Ф,О) — Т,), ' -+ 0 при ~ -+ оо.
(6.84) д( Эта ММ даст оценку снизу значений температур в поверхностном слое листа в конце нагрева. Применим к (6.83) интегральное преобразование Лапласа (6.37). В результате с учетом начального условия получим ОДУ второго порядка г1.Т(Р 5) РТ(Р 0 То Но ЦЧ о,/. 72б Щ2 а а 2Лр с граничными условиями дТ(р,О) а Г- Т,, дТ($,() Общее решение этого ОДУ Т(р,Р) = С,е~~7'4+12,е ~~~'4+ 2 То Но иЧЧьо р ср(2р — акт,исоа) удовлетворяет граничным условиям при С, = 0 и Т, То Ноаб2Ро (1+ )/ 2 ) * р(1+ — /~) ср(1+ — Я(2р — шарроа) Д.6Л.
Модель процесса индукционного нагрева 357 Я итоге запишем решение относительно изображения: То Нозауцьое ~/ "~~~6 (҄— То)е ~~~~с ТЫ)- +о - '+ р ср(2р — соарроа), (1+ Л /Р ) асс о/ Л ыорссв Ноасгссо а У 2 -л/р/а6 е ср(2р — оса~циоа) 1+ Л /Р аЧа Отсюда, используя таблицу соответствия оригиналов и изобра- жений', находим Нзе ~Яоппвгзг г ыщрооС Т(г,О =То+ ~е 2 — 1) + Лст ~-~т,— а~( е — — 1~ ~ ь( + — Я))— 4 и Л+асос Лл 7 4 2~/аг 2~/ай Л Ноасссссо ( Л /йоорро ) с Г ..не2..а ~ с и / (~ь — — гг г с ( — -;-чГС))л, 2~/ат 21/ат Л о где егГсс1 = егГс1 = 1 — — ~ е " с(п = — / е " й1.
,/=/,/=l При С = О для температуры поверхности запишем алас сг Т(г>О) = То+(Т, — То)(1 — е л' его — ~/ао) + + — ~ (е 2 — 1) — о (1+ —, /~о"" ) 1(г) (6.85) 'Смс Лыков А.В. 358 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ где с г .ке Чей ° 1!С) = / е г ~1 — еЛл его — /ат) Йт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
