XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 56
Текст из файла (страница 56)
+Тс 1 1 — + —,+1 В1„01с Процедура подбора оптимальных толщин 6, и 6, аналогична описанной выше, но теперь вместо (6.101) следует испольэовать (6.102), причем выполнения условия Те = Т, не требуется. Вопросы и задачи Вопросы и задачи 371 6.1. Используя интегральную форму уравнений Максвелла, убедитесь, что в примере 6.3 В1 — — сопа$ и Вз — — сопа1. 6.2. Выведите (6.26), (6.34) и (6.28). При помощи (6.22) для случая д~ = сопа1 и Л = сопаФ найдите распределение температуры в слое с криволинейными поверхностями при условии, что задана температура Т(а), а поверхность при я = 0 идеально теплоизолирована, т.е. Яа = О.
6.3. Получите решение задачи нестационарной теплопроводности, рассмотренной в примере 6.7, для случая идеального теплового контакта между конструкцией и слоем теплоизоляционного материала. 6.4. Выведите (6.49). Рассмотрите частный случай (6.50) при линейной зависимости от времени 1 приведенной температуры Т*(г) среды. 6.5. Как записать граничное условие при установке в концевом сечении трубопровода демпфера, в котором процесс сжатия газа является адиабатическим (см. пример 6.9)? 6.6. Убедитесь, что сумма ряда в (6.64) равна т'а/Ра при 1 Е (О, 21/а) и -т'а/Ра при 1 Е (21/а, 41/а). 6.7.
В примере 6.9 вместо мгновенного перекрытия трубопровода рассмотрите случай, когда массовый расход жидкости в сечении х = 1 уменьшается по закону т = т'(1 — $/1,), и получите зависимость давления в этом сечении от времени 1. 6.8. Убедитесь, что общие решения в виде (6.65) удовлетворяют уравнениям (6.62). 6.9. Почему граничное условие (6.95) не позволяет использовать для решения задачи (6.94)-(6.97) метод Фурье? Проверьте, удовлетворяет ли искомая функция условиям, позволяющим применить для решения этой задачи интегральное преобразование Лапласа. 372 6.
МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ 6.10. Покажите, что корни уравнения (6.41) соответствуют простым нулям знаменателя функции Т(р,я) (6.39), а корни уравнения (6.99) — простым нулям знаменателя функции Т1р,я) (6.98). 6.11. Какой вид примет граничное условие (6.96), если на внутреннюю поверхность теплоизоляционного материала (см. рис. 6.20) дополнительно нанести слой толщиной 6~ высокотеплопроводного материала, имеющего теплоемкость с? Повлияет ли наличие такого слоя при установившемся процессе теплопроводности в рассматриваемой конструкции на распределение температуры и оптимальное соотношение толщин оболочки и слоя теплоизоляционного материала? 6.12.
Для конструкции, рассмотренной в примере 6.11, постройте нестационарную математическую модель процесса теплопроводности при условии, что и/Л - 6/Л, т.е. в РС, приведенной на рис. 6.22, нельзя пренебречь термическим сопротивлением оболочки по сравнению с термическим сопротивлением слоя теплоизоляционного материала. 7. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ МАТБМАТИЯБСКИХ МОДБЛБЙ При проведении вычислительного эксперимента исходная математическая модель (ММ) рассматриваемого технического объекта претерпевает ряд преобразований, необходимых для того, чтобы количественный анализ ММ был осуществлен при помощи ЭВМ. Эти преобразования в конечном счете должны привести к такому алгоритму, который можно бььяо бы реализовать на ЭВМ, т.е.
составить ЭВМ-программу в виде последовательности элементарных действий (арифметических и логических операций), реализуемых командами ЭВМ. 7.1. Способы преобразования математических моделей к алгоритмическому виду Пути преобразования математических моделей (ММ) непосредственно связаны с теми математическими методами, которые используют для количественного анализа этих моделей. Отдельные частные примеры преобразования ММ были рассмотрены ранее.
Проследим эти пути в более общем виде при помощи схемы, представленной на рис. 7.1. Для некоторых типов ММ без предварительных преобразований могут быть непосредственно составлены алгоритмы решения прлмой задачи вычислительной математики, реализуемые на ЭВМ. К ним относятся прежде всего математические модели метауровня в виде разностпнмх уравнений (РУ) и систем логических соотношений (СЛС). Имитационная математическая модель (ИММ), являясь алгоритмической математической моделью, также не нуждается в предварительном преобразовании перед реализацией на ЭВМ.
374 7. А ЛГОРИТМИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Уровни математических моделей Микроуровевь Макроуровевь Метауровень Рис. 7.1 Часто ИММ используют в сочетании с методом статистических испытаний (МСИ), иногда называемым методом МонтеКарло. При этом неизвестные 4азовые переменные моделируют случайными величинами и затем результаты моделирования обрабатывают статистическими методами. Такой подход можно использовать и для анализа детерминированной математической модели макро- или микроуровнц если построить эквивалентную ей вспомогательную стаохастическую математическую модель. Известны стохастические ММ для вычисления интегралов ~ЧП], решения интегральных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП) [ХПЦ, для оценки собственных значений линейных операторов.
7.1. Способы преобрвэоваиия моделей к влгоригмическому виду 375 Динамические (нестационарные) математические модели, допускающие аппроксимацию производных фазовых переменных по времени при помощи явной конечно-разностной схемы (ЯКРС) также нетрудно привести к алгоритмическому виду. В частности, для обыкновенных диФФеренциальных, дифференциально-функциональных и интегро-дифференииальных уравнений (ОДУ, ДФУ и ИДУ) и их систем (СОДУ, СДФУ и СИДУ) можно использовать методы Рунге — Кутты (МРК) [Ч???], а для ДУЧП вЂ” явный метод конечных разностей (ЯМКР) [Х??1]. Если ММ микроуровня в еариационной форме (ВФ) содержит функционал, который на искомом решении достигает единственного экстремума (ми~имума или максимума), то применение метода локальных вариаций (МЛВ) фазовых переменных позволяет построить достаточно простой алгоритм поиска решения, который несложно осуществить при помощи ЭВМ.
Ясно, что МЛВ можно использовать для поиска экстремума целевой функции в задачах линейного или нелинейного программирования (ЗЛП или ЗНП). Наиболее удобными ММ с точки зрения реализации на ЭВМ являются линейные математические модели в виде квадратной СЛАУ Ах=Ь, где А — матрица СЛАУ порядка )Ч; х — вектор, включающий А? искомых фазовых переменных рассматриваемого технического обьекта (ТО); Ь вЂ” вектор правой части СЛАУ.
Большинству вычислительных методов линейной алгебры (ВМЛА) (см. рис. 7.1) отвечают хорошо изученные алгоритмы (в том числе с параллельными вычислениями), на основе которых созданы эффективные ЭВМ-программы, составляющие достаточно полное математическое обеспечение для решения СЛАУ. Поэтому многие математические методы, связанные с преобразованием ММ, ориентированы на последовательное сведение исходной ММ к модели в виде СЛАУ. 376 7. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Так, например, система конечных нелинейных уравнений (СКНУ) вида У(х) =Ь, где у = (Ях) ... )'„(х) ... ~у(х)) — заданная дифференцируемая векторная функция векторного аргумента х, включающая М координатных функций 7'„(х), и = 1, А7, путем линеаризации относительно некоторого известного приближенного значения хь 1 искомого вектора х фазовых переменных ТО может быть записана в форме у(хь 1)+ у'(хь 1)(хь — хь 1) = Ь, где дЯх) ду1 (х) дхз " ' дтпл д(з(х) д7з(х) дтпл д*и дх1 дух) дх1 у'(х) = дЛя(х) д~и(х) дЛя(х) дх1 дхз дтпл матрица Якоби векторной функции у(х), а хь — следующее приближение к искомому значению вектора х.
Если обозначить Аь=~'(хь 1) и Ь|=Ь вЂ” ~(хь 1)+~'(хь 1)хь м то для нахождения вектора хь необходимо решить СЛАУ Аьхь = Ьы Описанную процедуру повторяют для найденного приближения и т.д. Такое преобразование исходной ММ в виде СКНУ к СЛАУ отвечает методу Ньютона (МН) решения СКНУ последовательными приближениями (см. рис. 7.1). С многократным решением СЛАУ связано рассмотрение ЗЛП, а также ЗНП в случае линеаризации этой задачи. К СЛАУ методом конечных разностей могут быть преобразованы ли- 7.2. Вычислительные операции линеииой алгебры З77 нейные динамические (нестационарные, эволюционные) ММ микро- и макроуровня, если для аппроксимации производных фазовых переменных ТО по времени использовать неявные конечно-разностные схемы (НКРС). Нелинейные математические модели этих же типов сначала приводят к СКНУ, а уже после линеаризации СКНУ вЂ” к СЛАУ.
Также в итоге к СЛАУ приводят статические математические модели микроуровня при конечно-разностной аппроксимации производных фазовых переменных по пространственным координатам. Если при количественном анализе ММ микроуровня в интегральной форме (ИФ) или вариационной форме применить один из методов ортогонацьных проекций (МОП), представив искомое решение приближенно в виде линейной комбинации базисных функций [Х???], то для вычисления коэффициентов этой линейной комбинации также необходимо решать СЛАУ.
Для приближенного количественного анализа таких ММ можно использовать дискретизацию области конечными элементами и затем процедуру метода конечных элементов (МКЭ). Это тоже приведет к необходимости решать СЛАУ относительно значений фазовых переменных в узлах конечных элементов )Х???). Аналогичная ситуация возникает и при использовании метода граничных элементов (МГЭ). 7.2. Вычислительные операции линейной алгебры Из рассмотренных выше способов преобразования математических моделей (ММ) следует, что часто алгоритмизация ММ связана с применением вычислительных методов линейной алгебры (см.
рис. 7.1). Используемые в этих методах вычислительные операции достаточно просты, но таят в себе еще не всегда рационально используемые возможности увеличения производительности ЭВМ*. Эти операции можно условно Смл Райс Дж. 378 7. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ расположить на трех уровнях иерархии. На нижнем уровне находятся операция сложения векторов, состоящая из скалярных операций сложения их координат, и операция скалярного умножения векторов, состоящая из скалярных операций умножения двух сомножителей и сложения полученных результатов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
