XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Тогда после подстановки числовых значений в линеаризованное соотношение [п(Т,)] = [о1] — [[оз] — [о1]) Тз — Т1 (6.93) получим коэффициенты линеаризации А = 730МПа, В = 0,3 —. МПа По указанным выше исходным данным из (6.92) находим Л, = = 3,66 мм, а из (6.89) — Т, = 695 К, что лежит близко к верхней границе принятого выше интервала ожидаемых значений температуры оболочки. Примем теперь Т1 = 600К и Тз = 700К. Этим границам в табл.
6.1 соответствуют значения [о1] = 560МПа и [оз] = = 520МПа, подстановка которых в (6.93) дает А = 800МПа и Д.б.2. Модели микроуровня в оптимальном проектировании 365 МПа В = 0,4 —. Используя (6.92) и (6.89), находим 6, = 4,46мм и Т, = 642К. Вычисленное значение температуры лежит почти в середине принятого интервала ожидаемых значений температуры оболочки. Поэтому можно остановиться на последнем варианте коэффициентов линеаризации и при помощи (6.91) найти )ь, = 2,21мм.
После округления до десятых долей миллиметра примем Ь, = 4,5мм и Ь, - 2,2мм, что совпадает со значениями, полученными ранее. Отметим, что оптимизация толщин оболочки и слоя теплоизоляцнонного материала при установившемся процессе теплопроводности в конструкции проведена с использованием моделей макроуровня, определяющих температурное и напряженное состояние оболочки. Но в случае неустановившегося процесса для описания температурного состояния конструкции необходимо привлечь нестанионарную .математическую модель микроуровня. Если условия теплообмена не изменяются вдоль внешней поверхности оболочки и поверхности слоя теплоизоляционного материала, контактирующего с газом, то распределение температуры в конструкции зависит лишь от времени 1 и координаты я, отсчитываемой от поверхности кон- а+я такта оболочки с этим слоем (см. рис.
6.20). При — « 1 г рассматриваемую конструкцию можно свести к расчетной схеме двухслойной пластины* (рис. 6.22). й й При — « = по-прежнему можно счи- Л тать, что температура Т,(1) оболочки однородна по ее толщине, но теперь из- е:::.',::„,ж",,'7!~',, лочку можно рассматривать лишь как аккумулятор тепловой энергии с полной теплоемкостью Ьс, приходящейся Я на единицу площади поверхности обо- Рис. 6.22 лочки (с — удельная объемная теплоем- "Смл Зарубин В.С.
(1983 г.). 366 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ кость ее материала). В случае постоянных значений А и удельной объемной теплоемкости с теплоизоляционного материала распределение температуры Т(ь',я) в слое теплоизоляционного материала удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности [ХП] дгТ~ я =а ™', ~)0, яб(О,Ь), (6.94) де дяг Л где а = = — коэффициент температуропроводности теплоизос ляционного материала, с граничными условиями* -дТ(1,0) дТ,(ь) Л ' = йс ' + ос(Т*(1) -Та)), Т(г, 0) = Т*(г) (6 95) д а прил=О и (6.96) при я = Ь. В (6.95) и (6.96) и далее значение аргумента при записи производной функции указывает, что производная дТ(г, 0) дТ(Е, а) [ вычислена при этом значении, например Начальное услг"ие примем в виде Т(О,я) = Т,(0) = То.
(6.97) Сформулированная задача (6.94) — (6.97) является нестационарной одномерной линейной математической моделью процесса теплопроводности в рассматриваемой конструкции. Граничное условие (6.95) не позволяет использовать для решения этой задачи хорошо известный метод Фурье (или метод разделения переменных) [Х1Ц. Решение можно получить при помощи интегрального преобразование Лапласа (6.37). Применяя к 'Сна Зарубин В.С.
(1966 г.). Д.б.2. Модели микроуровни в оптимальном проектировании 367 (6.94) — (6.96) это преобразование и учитывая (6.97), получаем краевую задачу для ОДУ второго порядка ь' Т(р,я) г — рТ(р,в) = — Те, в Е (О, Ь), относительно функции Т(р, я), удовлетворяющей граничным условиям - ЙТ(р, О) — ас Л вЂ” (ас+ рЬс)Т(р,О) = — — Тс — ЬсТе, ~Ь р ' —,~~(, ),. ~(„-„) Решение этого ОДУ можно представить в виде Т(ргя) = +Р1СЬД+Р2БЬ~2, ~ = 1 йЬ, я = —. р та После нахождения из граничных условий постоянных Р1 и Рт и подстановки их в решение запишем сЬ ~в+ (В~, + К~э)+ Т(р~я) = — '+ В1г(Тг — Те) + р ЯЮ сЬД1 — в)+В1гвЬ~(1-г) — К~сЬ~ вЬ~я ргК) где Я© = (В1, + В1, + К~~) сЬ ~ + (В)сВ1„+ (1+ КВ1г)~~) —, и .
й критерии Био В~ = ос= и В1, = сг,= характеризуют интенсив- Л Л ность теплообмена конструкции с окружающей средой и газом Лс соответственно, а безразмерный параметр К = = является отйс ношением полных теплоемкостей оболочки и слоя теплоизоля- ционного материала. 368 6. МАТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Для перехода от решения относительно изображения Т(р, я) к решению относительно оригинала Т(1, г) находят полюсы (Х] функции Т(р,я) комплексного переменного р. Ими будут ре = = 0 и рп = =", и Е г(, где ('„— корни уравнения Я(~) = О. 4~а а2 Поскольку оно не имеет действительных корней, то обозначим рз = — ('з, т.е.
р = Ц, где 1 = 1/ — 1 — мнимая единица, и придем к трансцендентному уравнению (1+ КВ1,) р'- В1св „ с18р = п(В1с+ В1, — КРз) (6.99) + + Тс+ (Тс Тс)Е Т(,,) В1. В! 1 1 — + — +1 В1, В~, — пе "" В1„(Тп — Те)(соярпу+ ив(прая) + 2 я1п,ип „г Ра 7' В)с КИ2 с'"и и 1"'и В1„ +и, а~ — т )( р„ а — й + — ! р„ с — й ) ), (6.100) рп Так как функции в обеих частях (6.99) нечетные, то каждому корню рп > 0 соответствует корень — р„, который не изменяет соответствующего значения р„. Поэтому достаточно рассматривать лишь неотрицательные корни уравнения (6.99). Можно показать, что эти корни соответствуют простым нулям знаменателя функции Т(р,х).
Оригинал, соответствующий функции Т(р, я), является суммой (6.40) вычетов этой функции в ее полюсах, поскольку правая часть (6.98) удовлетворяет условиям третьей теоремы разложения (Х?]. В данном случае выполнены все условия, требуемые для того, чтобы полюсы рп (включая ре = 0) были простыми (см. пример 6.7). Поэтому, используя (6.40), (6.42) и (6.98), получаем Д.б.г. Модели микроуровня в оптимальном проектировании 369 где Ро = = — критерий Фурье и аг Ьа з1пг Яа=В1г+В1с — Крд+(В1г+В~с+Кр~) +В1гВ1, гьп гьй Из (6.100) при я = 0 нетрудно получить зависимость температуры оболочки от времени Т,(1) = Т(1,0). На практике часто встречаются случаи, когда Т, = То.
Для таких случаев вместо (6.100) получим 1 Т(1, я) — То В, Тг То —, + —, + 1 Вв со г ч-~ 2з1пр„„аро/ В1, — Крп — В1г~ ~е "" '~соорая+ "з1пцпя), гьп п 'гь п а температура оболочки будет равна г- О В;,', +1' 1м,дан '~в. в, Используем (6.90) и (6.101) для нахождения пар значений Ь и Ь, обеспечивающих работоспособность оболочки в течение некоторого заданного времени 1,. Наряду с указанными выше для случая установившегося процесса теплопроводности исходными данными примем То —— = 300 К, 8, =90 с, с=1,6, и с=4, .
Результаты вычи- МДж МДж слений по (6.101) приводят к зависимо- Т, стям Т,(1,) от Ь при различных фиксированных значениях Ь. Характер этих зависимостей представлен на рис. 6.23, а сплошными линиями. Точки пересече- т ~ ~Ь о -,---------- пия этих линии со штриховои линиеи, построенной по (6.90) и совпадающей о в данном случае с такой же линией на Рис. 6.2З 370 б. МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ рис. 6.21, а, дают искомые пары значений 6 и й (связь между этими значениями аналогична показанной на рис. 6.21, 6 штриховой линией). Построенный по (6.88) график зависимости массы т от 6 аналогичен изображенному на рис.
6.21, б сплошной линией. В данном случае масса конструкции достигает минимального значения т, - 24кг/м~ при оптимальных толщинах 6, = 2,3мм и Ь, = 3,5мм, которым соответствует значение температуры оболочки около 700К. При К » 1 полная теплоемкость слоя теплоизоляционного материала пренебрежимо мала по сравнению с полной теплоемкостью металла. В пределе при К вЂ” 1 со этот слой выполняет лишь роль термического сопротивления о/Л. Тогда неустановившийся процесс теплопроводности в рассматриваемой конструкции можно описать моделью макроуровня, включающей ОДУ первого порядка йс — = + ос(Т, — Т(1)) НТ, (1) ҄— Т(1) ат 1 Ь а Л с начальным условием Т,(0) = Те. Решение этого ОДУ имеет вид 1 + В1с + сс 1 Т вЂ” Те [ 1+В1 йс / где Т вЂ” установившееся значение температуры оболочки при 1-+ со, вычисляемое по формуле + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
