XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Л О для вычисления интеграла с (С) используем представлением 2 -ял ~~ 2сс-с гй-с /й ~ (2й — 1)!! ' где (2Й вЂ” 1))! означает произведение всех нечетных натуральных чисел, не превьппасощих 2й — 1, 1с Е !ь!. Тогда, обозначив с! = — л/а1 вычислим Л с мпннгаС / ~~авлоат тт плат ч с(с) =е г / е г ~1 — еЛ~ )с!т+ о и мопвяас Лг 2~+с / гь е г — 1 сегал/й ~ (2!с — 1)!! .! / спстссссоа о е г — еп Лг (2с!)г"+с (6.86) осссле с~~ ') ссга~/й л- (2й — 1)!!!2й+ 1) ( --') г лл/ Аппроксимация'г Ь„+!1 Ь )г+Р Ь )з где ад = 0,34802, аг = -0,09588, аз = 0,74786, Ь = 0,47047, "~См:.
Гродштейн И.С., Рььжик И.М. 'лСмл Справочник по специальным функцилм. 359 Д.б.г. Модель процесса нндукцнонного нагрева имеет абсолютную погрешность не более 2,5 10 б. Учитывая эту аппроксимацию, а также (6.81) и (6.85), при 1 = 1, получаем иарлаав ° ЬТ=Тпнл(1„0) — Т(1,>0) о (Е,— 2 )+ *' ' 2с ~ шо!ь!хоа +(Т,— Т~)~ ' + г + з 1) 1 + 59 (1 ~- 50)г (1 + ! )з Ного>!ь!ьо 2с ~ а г В частном случае, когда Та = Т„последнее выражение станоЛх вится точным, с учетом (6.86) и обозначений !8г = воо!ь,ао —, и гах х!, = — ~/оТ, оно примет вид — Ло!х.т г р"'+1 е *+ Но г ! ед'и'.
1 еб " — е" 1 (2х!„)гн+1 !8г !8г — 1 /я ~- (2й — 1)!!(2!с + 1) + Зг(1+,8) ( Еще раз отметим, что рассмотренная ММ, являясь линейной математической моделью, служит лишь для приближенного описания реального процесса индукционного нагрева. Магнитная проницаемость материала листа в общем случае зависит не только от напряженности магнитного поля, но и от температуры.
Это приводит к необходимости учитывать взаимное влияние электромагнитных и тепловых процессов в листе, что существенно усложняет ММ. Кроме того, при значительном повышении температуры становится существенной зависимость от нее теплофизических характеристик материала и помимо конвективного теплообмена с воздухом происходит теплообмен излучением.
Учесть перечисленные факторы можно лишь в рамках нелинейной математической модели, количественный анализ которой требует использования численных методов*. 'См:. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласно В.Б. 360 6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Дополнение 6.2. Пример применения моделей микроуровня в оптимальном проектировании В большинстве задач оптимального проектирования свойства оптимизируемого технического объекта отражают при помощи математической модели (ММ) макроуровня.
Но в ряде случаев связь между параметрами оптимизации не удается адекватным образом выразить при помощи таких ММ и приходится привлекать математические модели микроуровнм. В ]Х?], ~Х?Ч] приведены примеры, когда целевая функция задачи оптимизации и/или ограничения построена на основе ММ микроуровня рассматриваемого процесса. В одном случае речь идет о нахождении толщины пластины, подверженной интенсивному локальному нагреву с одной стороны и охлаждаемой с другой, из условия минимума наибольшего значения функции распределения температуры в этой пластине. В другом случае максимизируемое значение теплового потока, передаваемое ребром пластины окружающей среде, связано с параметрами оптимизации также ММ микроуровня, включающей дифференциапьное уравнение с частными производными.
Ниже рассмотрим еще один характерный пример использования ММ микроуровня в оптимальном проектировании. Пример 6.11. Круглая цилиндрическая оболочка толщиной Й и радиуса г, нагружена внутренним давлением р„сильно нагретого газа, имеющего температуру Т„. От непосредствен- 1 ного теплового воздействия со сто- роны газа оболочка защищена сло- й ем теплоизоляционного материала я толщиной Ь (рис.
6.20), а на внешней поверхности оболочки происхо' т, дит теплообмен с окружающей сре- Т, дой, имеющей температуру Т,. Предположим, что слой тепло- Рис. 6.20 изоляционного материала не несет Д.6.2. Модели микроуровня в оптимальном проектироваяии 361 механическую нагрузку и ее воспринимает оболочка, в которой под действием внутреннего давления возникает в окружном направлении растягивающее напряжение, определяемое известНОй фОрМуЛОй'1 Сс = Р— ""'. ОбОЛОЧКа СОХраяяЕт рабатОСПОСОб)ь ность при условии о = — < [п(Т,)], а (6.87) Таблица 6.1 Уменьшение допустимого напряжения при возрастании температуры характерно для большинства конструкционных материалов. Поэтому с ростом температуры оболочки для выполнения условия (6.87) приходится увеличивать значение Ь по сравнению со значением Йа = — ', соответствующим нормальр,г [о)о' ной температуре То (в табл. 6.1 То — — ЗООК).
Ясно, что это ведет к увеличению массы конструкции. Избежать существенного повышения температуры оболочки можно за счет увеличения толщины Й слоя теплоизоляционного материала, но это также связано с ростом массы конструкции. Задачу оптимального проектирования в данном случае сформулируем так'з: найти соотношение толщин )ь и 6, обеспечивающее при сохранении работоспособности конструкции минимум ее массы т = р)ь+ р)ь, (6.88) "Смл Феодосьев В.И. (1999 г.). "вСмл Зарубин В.С. (1991 г.). где [сг(Т,)] — зависящее от температуры Т, допустимое для материала оболочки напряжение.
Примем для определенности, что оболочка выполнена из металла, имеющего достаточно большую теплопроводность по сравнению с теплоизоляционным материалом. Зависимость [о(Т„)] для этого металла задана в табл. 6.1. 362 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ приходящейся на единицу площади поверхности оболочки (в (6.88) р и р — плотность металла и теплоизоляционного материала соответственно).
Сначала рассмотрим установившийся процесс теплопроводности в конструкции. Пусть тепловой контакт оболочки со слоем теплоизоляционного материала является идеальным, а интенсивность теплообмена с газом и окружающей средой определяют коэ4$ициенты теплоотдачи аг и а, соответственно. Используя электротепловую апологию, представим терлсическое сопротивление передаче теплоты от газа к этой среде в виде 1 Ь Ь 1 Ит — +=+ + аг Л Л ас Тг Тс 1 Тг Тс — с + = с + В а, ~, Ь (6.89) Характер зависимости (6.89) Т„от Ь при Т, = ЗООК, Т,. = = 2300К,а, = 400 ,а, = 1000 †, Л = 0,4 — представлен Вт Вт Вт мс К' мс К м К на рис. 6.21,а сплошной линией.
Если в предельном случае сохранения оболочкой работоспособности заменить в (6.87) неравенство равенством,т.е.принять — = [о(Т,)], (6.90) где Л и Л вЂ” коэффициенты теплопроводности металла и тепло- изоляционного материала соответственно. Здесь термические сопротивления оболочки и слоя теплоизоляционного материала приближенно приняты соответствующими плоской стенке, что допустимо при — « 1 (см.
3.3). Ь+Ь г, Для термических сопротивлений оболочки и слоя теплоизо- Ь Ь ляционного материала характерно соотношение — « =. ПоэтоЛ му первым из них можно пренебречь, считая температуру Т„ однородной по толщине оболочки и равной Д.б.2. Модели микроуровня в опхимальном проекхировании 363 Рис. 6.21 В(҄— Т ) Ь =рот, А — ВТ,+ +сев=+1 о Л (6.91) то при р„т, = 1,2 МПа м с учетом данных табл. 6.1 получим зависимость Т, от Ь. График этой зависимости показан на рис. 6.21, а штриховой линией. Отметим, что в данном случае Ьо = г™ = 2мм. Исключая из этих двух зависимостей р,т, (о(То)) температуру Т, оболочки, устанавливаем связь между Ь и Ь, дающую такие пары значений толщин оболочки и слоя тепло- изоляционного материала, при которых оболочка еще сохраняет работоспособность.
На рис. 6.21, б зта связь отмечена штриховой линией, а сплошной линией представлен график зависимости массы т от Ь, построенный по (6.88) для указанных пар значений толщин при р = 8000 кг/мз и р = 1600 кг/мз. Масса конструкции достигает минимального значения т. = 24,8кг/мз при оптимальных толщинах Ь, = 2,2мм и Ь, = 4,5мм. При этом значение температуры оболочки равно примерно 640 К. Решение рассматриваемой задачи можно представить в аналитической форме, если в окрестности ожидаемого значения температуры оболочки зависимость допустимого напряжения [сг) от Т, линеаризовать и записать [от(Т.)1 = А — ВТ„ где А и  — коэффициенты линеаризации.
Тогда, учитывая (6.89) и (6.90), получаем 364 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Отсюда, дифференцируя, находим соотношение между диффе- ренциалами ~й и оЛ: В(҄— Т,) ВТс + ос — + гас = + 1 Л Оно позволяет в сочетании с (6.91) и необходимым условием минимума массы т конструкции в виде р~й+ рдЛ = 0 найти оптимальную толщину слоя теплоизоляционного материала Л (6.92) ос (1 ВТ,) Ар ог Вр(Т. -Т,) Оптимальную толщину Л, оболочки можно вычислить из (6.91) при Л = Л„а значение температуры оболочки — из (6.89). Предположим, что ожидаемое значение температуры оболочки лежит в интервале с границами Т1 = 500 К и Тз — — 700 К, которым в табл. 6.1 соответствуют значения [о| ] = 580 МПа и [оз] = 520МПа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
