XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если трубопровод длинный и Фо < 21/а, то можно существенно снизить давление в перекрытом сечении, установив на расстоянии 11 « о1о от этого сечения демпфер, что приведет к неполному гидравлическому удару при перекрытии сечения х =1. В данном случае роль демпфера аналогична роли уравнительного резервуара (см. пример 4.5).
Дополнение 6.1. Математическая модель процесса индукционного нагрева Рассмотрим построение математической модели (ММ) леикроуроеня достаточно сложного процесса, связанного с происходящими одновременно электромагнитными и тепловыми явлениями. При взаимодействии внешнего переменного во времени магнитного поля с деталью, выполненной из хорошо проводящего материала (металла), в ее поверхностном слое возникают так называемые вихревые токи, которые вызывают ее нагрев за счет джоулевой теплоты. Нагрев деталей таким способом получил название индукционного.
Его используют для нагрева заготовок перед ковкой и штамповкой, а также при сквозной и поверхностной термической обработке деталей, в частности при поверхностной закалке зубьев шестерен и деталей подшипников. Для количественного анализа процесса индукционного нагрева необходимо располагать ММ взаимодействия детали с переменным магнитным полем. Рассмотрим упрощенный вариант такой ММ применительно к детали в виде металли- 342 б.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Не(1 ~6/2) = Не = Но вша~1, Н„(1, ~Ь/2) = Н„= О, В, В, Н, Н,(1, ха/2) = — ' = — ' = — ' = О, Нхо рро И (6.66) ческого листа толщиной а, поме— щенного в пространственно однородное внешнее магнитное поле. Вектор ХХ напряженности этого поля изменяется во времени $ ь "-"~''!~~~~!!';:~~г:-"-'.~4:"'~,"'' . с угловой частотой колебаний и Н по закону ХХ(1) = ХХовшы1, приРие.
6.18 чем вектор Но с модулем На = = ]ХХо! параллелен координатной оси Ох (рис. 6.18). В этом случае вектор Н напряженности магнитного поля, возникающего в проводящем материале листа под действием внешнего поля, на некотором удалении от краев листа практически не будет зависеть от координат х и у, т.е. можно считать ХХ = Н(е,г). Примем для материала листа постоянные значения электрической проводимости о и магнитной проницаемости р. Отметим, что электрическая проводимость большинства материалов является функцией температуры Т, а магнитная проницаемость таких ферромагнитных материалов, как сталь, зависит от напряженности магнитного поля. Поэтому допущения о = = сопвФ и р = сопв1 следует рассматривать лишь как первое приближение.
Па поверхностях листа при г = ~6/2 (см. рис. 6.18) как на границах между средами с различными свойствами непрерывны тангенциальные проекции вектора напряженности магнитного поля и нормальные проекции вектора В магнитной индукции (Х???]. Вне листа для воздуха (как и для вакуума) магнитную проницаемость можно принять равной единице, так что З = роХХ, где рв = 4я 10 7 Гн/м, а для листа В = рроН. Поэтому в данном случае граничные условия имеют вид Д.6.1.
Модель процесса индукционного нагрева 343 дН,(1, х) д2Н,(1, х) дНв(1, х) дзНн(1, х) Применим для решения этих уравнений интегральное преобразование Лапласа вида (6.37), приняв в начальный момент времени 1 = О значения Н (О,х) = Н, (О,х) = О. В результате с учетом (6.66) получим ОДУ второго порядка о2Й ""*(р х), Й,) О ол2Й вЂ” 4~2Й„(р, ) =О, (6.67) а ~=/реед, р у Й~(р,~ь!2) = нее ~'О1пы1ж= р+ш ' О ЙОД, жй/2) = О. (6.68) где нижним индексом отмечена проекция векторов напряженности магнитного поля и магнитной индукции на соответствующую координатную ось. Из второго уравнения (6.2) следует, что ~7Б = ррО~ЕХ = = О. Но так как вектор Н не зависит от координат х и у, то равенство нулю его дивергенции равносильно равенству дН.
— = О, т.е. Н, может зависеть лишь от времени. Однако в дх соответствии с (6.66) Нл(1, Й/2) = О, и поэтому по всей толщине листа Н,: — О. Для металлического листа допустимо пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости [ХП], т.е. принять для диэлектрической проницаемости материала листа х — ~ О. Тогда каждая из проекций Н и Н„вектора Н будет удовлетворять одномерному уравнению вида (6.4) при а -+ оо, или 344 б.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Решение второго уравнения (6.67) имеет вид Н„(р,я) = СясЬ2~я+РзяЬ2('. Подставляя это решение во второе равенство (6.68), получаем однородную СЛАУ СзсЬ~Ь+РяяЬ~Ь = О, СясЬ~Ь вЂ” РяяЬ~Ь = О относительно констант Сз и Ря. Эта СЛАУ имеет лишь нулевое решение, поскольку ее определитель — яЬ2~6 отличен от нуля. Таким образом, Й (р, я) ив я О, а значит, и Н„(1, л) я— в О.
Первому уравнению (6.67) удовлетворяет аналогичное ре- шение Й,(р, л) = С1 сЬ2~я+ Р1яЬ2(я, подстановка которого в первое равенство (6.68) дает соотно- шение С, ~Ь16 — Р1 ~Ь16 = шНо р +ш С1 сЬ~Ь+ Р1 яЬ~Ь шНа р+ш ' Отсюда С1 —— ,, „и Р1 — — О, так что решение первого мН0 (р2+ ма) сЬ ~Л уравнения (6.67) принимает вид Н шНа сЬ 2~я у(р, я) (рз + шз) сЬ('Ь ф(р) где у(р,а) =юНесЬ2~г и ф(р) = (рз+ьР) сЬ~Ь вЂ” аналитические функции аргумента р,причем г' = ~/-Т. Для перехода от изображения Й (я,я) к оригиналу Н (1,я) следует найти полюсы [Х] функции Н (р,я) комплексного переменного р, т.е.
нули функции 4(р). Ими будут р 1 а = Ыю и р„= -(2и — 1)~, п Е 1Ч. Так как все полюсы простые, а ыиюоь2 ' 345 Д.б.1. Модель процесса индукционного нагрева функция Н(р, л) удовлетворяет условиям третьей теоремы раз- ложения [Х?], то в соответствии с (6.40) и (6.42) получим оо На(1,л) = ~> Кеа(Н (р,г)ер ) = ~> и=-1 и=-1 ор р=р» Цычисляя вычеты и учитывая выражение для ~, находим Н (1 з) сЬ21о~/24 — „сЬ2а1~/ — 2г -„ е ™вЂ” Н0 2гсЬР1(24 2гсЬеоъl — 21 оо ( — 1)"+ (2п — 1)сов(2п — 1) — „~ (2п ц2, 2 ГДЕ 1О = ~ — Ь.
Перро 8 С течением времени все слагаемые под знаком суммы стремятся к нулю, так что начиная с некоторого момента времени $, можно считать процесс изменения магнитного поля в листе периодическим, описываемым лишь первыми двумя слагаемыми. При г = О ряд, определяемый этой суммой, является знакопеременным. Поэтому его значение не будет превышать д при 1 > 4., если 1, определить из условия равенства первого члена этого ряда значению Ю, т.е. 8 Ы2 32яео2/Б сг,ирег12 4хаиу?ьд0 Ьг ~6 1п 1п л2ш 4 + 64р4 я2 я4+ (ысг?4?40Ь2)2 При достаточно высокой угловой частоте колебаний 1о дробь под знаком логарифма может оказаться меньше единицы даже при весьма малых значениях Ю.
Это означает, что в таком случае с погрешностью, не превышающей б, процесс можно считать периодическим начиная с момента времени б = О, т.е. положить 1, = О. Перейдем к нахождению распределения плотности вихревых токов в листе при периодическом изменении в нем магнитного поля. Из третьего уравнения (6.2) при ал = О получим для 346 б. МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ вектора у плотности вихревых токов з = '7 х Н.
Используя представление дифференциальной операции ротора в прямоугольной системе координат [ЧП], приходим к выводу, что от нУлЯ отлична лишь пРоекциЯ вектоРа 1 на ось ОУ: 1з(1,з) = дН,(С,л) н.0, ) , или, учитывая в выражении для отношения — * дл Но лишь первые два слагаемых и используя формулу Эйлера [Х], получаем /„(1,я) = Нв —. (Я;(з) е' ' — Я;(я) е ' ') = = Нд — ((Я;(ю) — Я;(ю)) сов»»»З+ 1(Я;(ю) + Я,(з)) в1пь»З) = =2я,— „'Х»*Г:»*»» (»»- »ф ' ' ), ~»»»» Я;( )+г,(я))' где вЬ 2ю~/2ю' — вЬ 2Р~/ — 21— Я;(я) = ~/2~ ~, Я;(я) = ~/ — 27 сЬРъ/2в' сЬш~/ — 2г' Отметим, что так как Я;(0) = Я;(0) = 0 при з = О, то в середине листа,у„(1,0) = О. ПРеобРазУем выРажение Дла 1з(Ф,з) к ДействительномУ виду, учитывая, что ~юг = Ц1 ~1) (см.
пример 6.8). Знак „ж" перед (1 ~ г) можно опустить, так как сЬ( — функция четная, а нечетная функция вЬС в выражении для )з(з,я) имеет множителем аргумент (. В соответствии с известными формулами [Х] запишем зЬ2Р~Я2ю — = вЬ2а»(1 ~ г) — = Ь »» я я . з = вЬ2Р— сов2Р— ~гсЬ2ш — в1п2Р—, Ь Ь Ь Ь' сЬ Р~Я2г = сЬР(1 ~ г) = сЬ ш сов ш ~ з вЬ Р в1пР. д.бп. Модель процесса индукционного нагрева 347 Отсюда с учетом (6.69) находим вЬ~2се — соя~2ю~ +сЬ22ю~ я)п 2Ы~ Я,(я) л 2(2) — 2 сЬ2й соевы+ вЬ2Ря(п2Р зЬ22Р— соева — + (1+ зЬ2 2м — ~) зш2 2ш- сЬ2 ы соя2 м+ (сЬ2 Р— 1) з)п2 Р 122 —,в + 22 —,в яЬ22 — в 1+ в'и л'-'в/и сЬ2Ы вЂ” я(пвы сЬ2Ы впав Р 1 —— сЬв Р и, кроме того, 22(2) у,(2) тяЬ2м„- сов 2Р— „— всЬ2Р-„вы2ю~~ в ' А(2) + ~-г(2) ввЬ2Р— ' соз2й — '+ тсЬ2ы— ' я1п2Р— ' ' Ь Ь Ь Ь где т = ФЬР Ф6Р— 1 и з = $ЬР 26Р+1.
При высокой угловой частоте колебаний ы напряженности внешнего магнитного поля имеем Р » 1. В этом случае можно принять 2;(г)Я 2(2) = 2, и амплитуду колебаний вЬ~(ив/Ь) сЬвм плотности вихревых токов представить в соответствии с (6.69) в виде А (2) = 2в/2Нен .
Наибольшего значения /м'1 )вЬ(ив/Л)! М сЬш А = 2ъ~2Нв(Р/Ь) 2Ьй = Нв,/ыа~цц~ эта амплитуда достигает на поверхностях листа при я = жЛ/2. Характер зависимости А (2) иллюстрирует график на рис. 6.19, изображенный сплошной линией. При ш > 1 вычислим ,2;(Ь) — Х в(Ц твЬш совы — всЬйя)пй Я,(Ь)+Я в(/в) вяЬшсояР+тсЬюя1пЫ (16Р— 1) соя Р— ($6Р+ 1) зшР— 1 (Ьбш+ 1) совЫ+ (26Р— 1) вшР т.е. изменение плотности вихревых токов на поверхностях листа отстает по фазе на я/4 от изменения напряженности высокочастотного внешнего магнитного поля. 348 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Вихревые токи вызывают нагрев листа, причем средняя за период колебаний объемная мощность выделения джоулевой теплоты при Р » 1 изменяется по толщи не листа и равна Ай(х) 4дгрз яи~2Р— 2ц Уц сиз Р сп4ш- — 1 Н~ошрро ° (6 70) 4сйз ю Р . В.1В Если считать коэффициент теплопроводности Л и объемную теплоемкость с материала листа постоянными, то при периодическом изменении в нем магнитного поля нестационарное температурное поле, описываемое функцией Т(1, я), удовлетворяет уравнению [Х11], [Х111] с дт(1,я) дат(1,е) ду(е) (6.71) Л дй доз Л с граничными условиями лдт~~'й~2) = (т,-т(~,Ц), — Л дт(б 'ч 2) = о(т, — т(~, — а) ), где а — коэффициент теплоотдачи от поверхности листа к воздуху температурой Т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
