XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 51
Текст из файла (страница 51)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ равенству Сг — — С2 = О. Нетривиальные решения этого ОДУ существуют, если 0 > А = — ш2. В этом случае общее решение х х ОДУ принимает вид Х(х) = Ргсояш — + Рзгппш —. Из перво- а а го граничного условия имеем Р2 = О, а из второго граничного ла(2Й вЂ” 1) условия следует, что Р, ~ О, если совы- = О, т.е. гоь = й Е Ы. Таким образом, шь являются собственными значениями, а Хь(х) = сояшь — — собственными функциями рассматриваеа мой краевой задачи [ХП]. Теперь общее решение второго уравнения (6.63) при А = — ш2 можно записать в виде ТьЯ = аь сояшья+ боя(пгоья, причем из второго начального условия бь =О.
Общее решение второго уравнения (6.62) запишем как суперпозицию всех решений вида Ть(2)Хь(х), т.е. 2й-1 2й-1 т(г, х) = ~~~ аь соя яа1 соя лх. 21 21 Первое начальное усяовие приводит к равенству 21 — 1 т(0 х) = ~ а; соя — ях = т'. 21 1=1 (2Й вЂ” 1)лх Умножая его среднюю и правую части на соя и инте- 21 грируя по отрезку [О, 1], с учетом ортогональности собственных функций получаем 2Й вЂ” 1 21 — 1 1 22Й вЂ” 1 а;/ соя — лх соя — лхг1х = аь ~ соя — яхг(х = 21 21 „г 21 о о аь( )' ., 2Й вЂ” 1 21т' о+1 = — =/ т'соя яхг(х = ( — 1) 2 г' 21 (2Й вЂ” 1)л о и в итоге находим искомую функцию 4т' ( — 1) "+1 2Й вЂ” 1 2Й вЂ” 1 т(2, х) = — ~х соя ла1 соя лх.
и 2й — 1 21 21 о=1 б.4. Одномерные модели гидравлических систем 335 Зависимость давления жидкости от 1 и х определим при помощи (6.61): с а дтп(г,х) ~ р(г,х) =Ро+/ ( — — ) ггг = ! г'о дх ) о =ро+ 7 ( — 1)"+ 1/ соя — тга8й) гйп тгх= а=1 о 4тп'а ~ ( — 1)тт+1 . 2Й вЂ” 1 . 2к — 1 =ро+ еш — наг еш — тгх. яРо ~- 2й — 1 21 21 Давление жидкости на перекрытом конце трубопровода равно 4тп'а 1 . 2к — 1 Ргтг>0) =РО+ — ~ ЕШ Я.а8, нРе 21с — 1 21 Ь=1 (6.64) Нетрудно убедиться [1Х], что сумма ряда в (6.64) равна тг/4 при 1 Е (О, 21/а) и — тг/4 при 1 Е (21/а, 41/а).
Это означает, что сразу после перекрытия трубопровода в его сечении при х = 1 скач.„а ком возрастает давление жидкости на величину вгр* = тп' — и гв сохраняет зто значение в течение интервала времени Ы = 21/а, равного времени распространения возмущения от одного конца трубопровода до другого и обратно. Затем давление также скачком уменьшается на величину 2Ьр* и т.д. Полученное приращение давления Ьр* при перекрытии трубопровода согласуется с известной формулой Жуковского схр* = райг для в гидравлического удара, где йт = ™ — средняя в поперечном сечении трубопровода скорость движения жидкости перед его перекрытием.
При анализе явления гидравлического удара в трубопроводе наряду с решением в виде стоячих волн, полученным в примере 6.9, удобно использовать общее решение уравнений 336 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ (6.62), описывающее распространение возмущений в виде бегущих волн [Х?Ц: < р($, х) — ре = ~1 (х — а1) + Ь (х + а~), (6.65) т(1, х) — т' = д1(х — ао) + дэ(х+ ао), где ре и т' — установившиеся значения давления и массового расхода жидкости, ~м ?э, дм до — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Пример 6.10. Пусть в условиях примера 6.9 в момент времени $ = 0 в сечении х = ? трубопровода возникают возмущения установившихся значений давления ре и массового расхода жидкости т', вызванные перекрытием этого сечения. Возмущения, равные соответственно Ьр' = т' — и — т', начинают в виде Ра бегущих волн распространяться со скоростью а к открытому концу трубопровода. При этом, используя (6.65), получаем р(1,х) = ре+ Ьр', т(й,х) = 0 при ай ) ? — х и р(й, х) = ре, т(й,х) = =т' при а1< ? — х, х Е (0,?).
В момент времени $* = <— а а распределения р(Ф,х) и т($,х) по длине трубопровода имеют ступенчатый характер, изображенный на рис. 6.14. В зоне повышенного давления происходит возрастание в соответствии с (6.55) плотности р жидкости и увеличение в соответствии с (6.58) площади г поперечного сечения трубопровода по сравнению с площадью ге при давлении ре. — Рф Рис. 6.14 6.4. Одномерные модели гидравлических систем 337 В момент времени 8 = 1/а при достижении бегущими волнами открытого конца трубопровода по всей его длине давление равно ре+ Ьр", а расход жидкости равен нулю, т.е.
жидкость неподвижна. Но в соответствии с граничным условием в сечении х = О давление равно ре и поддерживается постоянным, например, за счет постоянного уровня Н жидкости в сосуде (см. рис. 5.14). Это приводит к тому, что в момент времени $ =1/а в сечении х = О возникает возмущение давления ре — (ре+ слр*) = — Ьр', которое в виде отраженной бегущей волны начинает распространяться со скоростью а к закрытому концу трубопровода. Распределение давления по длине трубопровода в момент 1+ в. 21 времени 8, = — ' ( — показано на рис. б.15. При х Е (О, х,) а о возмущения давления разных знаков взаимно уничтожаются, так что давление принимает значение ре.
При этом плотность жидкости и площадь поперечного сечения трубопровода принимают начальные значения ре и Ге соответственно. Это вызывает отраженную от открытого конца трубопровода бегущую волну возмущения расхода жидкости — т', т.е. жидкость при х Е (О, х„) движется в направлении, противоположном начальному. При достижении отраженными бегущими волнами в момент времени Ф = 21/а закрытого конца трубопровода давление по всей его длине равно ре, а расход жидкости равен — т'. Но в силу граничного условия т(с,1) = О в этот момент времени при Рис. 6лв 338 б.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ х = 1 возникнет возмущение расхода жидкости т(1, 1) — ( — т') = = т' обратного знака, которое в виде отраженной бегущей волны начнет распространяться к открытому концу трубопровода. Однако этот процесс реально возможен лишь при выполнении некоторых условий.
Дело в том, что благодаря инерции жидкости, вытекающей из трубопровода через его открытый конец, в момент времени 1 = 21/а в сечении х = 1 возникнет отраженная бегущая волна с возмущением давления — Ьр'. Если окажется, что рс — егр' < р, где р — давление насыщенных паров жидкости, то в ней начнется процесс образования пузырьков пара, называемый кавитацией (от латинского слова саяИаг — пустота). Так, для воды р = 600 Па при температуре 0'С и р = 3200 Па при температуре 25'С. Средняя плотность образующейся двухфазной парожидкостной смеси уменьшается по сравнению со значением рс, что приводит к увеличению давления и последующему захлопыванию пузырьков, вызывающему микроразрушения стенок трубопровода, если такое захлопывание происходит на их поверхности'.
Двухфазная газожидкостная смесь может возникнуть и в случае, когда в жидкости растворен какой-либо газ (например, воздух). Ясно, что рассматриваемая ММ распространения возмущений в однородной жидкости не применима к двухфазной смеси и сохраняет адекватность при условии ро ~р >р Если указанное условие выполнено, то в момент времени 1 = 31/а бегущие волны с возмущениями — Ьр* и т' достигнут открытого конца трубопровода. При этом по всей его длине давление равно рс — Ьр*, расход жидкости равен нулю, а плотность р жидкости и площадь г' поперечного сечения меньше начальных значений.
В силу граничного условия р(8,0) = рс в этот момент времени в сечении х = 0 возникнет возмущение давления рс — (рс — егр*) = Ьр", которое в виде бегущей волны начнет распространяться к закрытому концу трубопровода Смг Чугаев Р.Р. 6.4. Одномерные модели гидравлических систем 339 и достигнет сечения х =1 в момент времени 1 = 41/а. Одновременно будет происходить увеличение значений р и Г, что вызовет распространение в том же направлении бегущей волны возмущения расхода жидкости т'. В результате при 1 = 41/а по всей длине трубопровода давление и расход жидкости примут значения рс и т', равные начальным. В этот момент времени в сечении х = 1 снова возникнут возмущения давления Ьр' и расхода жидкости — т' и описанный процесс их распространения будет повторяться.
Отметим, что у закрытого конца трубопровода знаки возмущения давления в прямой и отраженной бегущих волнах одинаковы,а знаки возмущения расхода жидкости противоположны. При отражении бегущей волны от открытого конца трубопровода, наоборот, возмущение давления изменяет знак, а возмущение расхода жидкости его сохраняет. Если зафиксировать некоторое промежуточное сечение х = = х' трубопровода,то изменения в нем во времени 1 давления и расхода жидкости будут иметь вид, показанный на рис. 6.16, т.е.
совершать колебания с периодом 41/а. В действительности вследствие сопротивления при движении реальной (вязкой) жидкости в трубопроводе эти колебания постепенно затухают, так что давление в трубопроводе стремится к значению рс, а расход жидкости — к нулю. р~ ро+лр Рис. 6.16 340 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Й1, а~, т х О Фв х Рассмотренный подход к анализу явления гидравлического удара можно испольэовать для нахождения распределения давления по длине трубопровода при постепенном перекрытии его сечения х =1. Если закон изменения во времени 8 расхода т(1,1) жидкости приближенно представить в виде ступенчатой зависимости (рис. 6.17), то каждой из п ступеней Ьти;, 4 = О, п — 1, будет соответствовать бегущая волна возмущения давления Ьр; = ', где Р;(1) — площадь поперечного сече- Ьти,а ния х = 1 трубопровода при давлении Это приведет к ступенчатому распределению р(~, я) давления по длине трубопровода.
Прослеживая последовательно отражения бегущих волн от его концов, можно получить приближенную картину изменения в нем давления и расхода жидкости. Но при п — ~ со и непрерывной зависимости т($,1) от времени, график которой изображен на рис. 6.17 штриховой линией, распределения давления и расхода жидкости по длине трубопровода также будут непрерывными. На рис. 6.17 такие распределения для момента времени 1Е (1з,1/а), где 1е (1/а — время, за которое полностью перекрывается сечение х =1, изображены также штриховыми линиями.
341 Д,б.1. Модель процесса индуиционного нагрена При 1 Е (1/а, 21/а) распределение р(1,я) давления определяется наложением прямой бегущей волны и отраженной от открытого конца трубопровода. Отметим, что при 1е > 21/а давление р(1,1) в перекрытом сечении трубопровода не достигнет значения ре + Ьр*, так как к моменту 1 = $о полного перекрытия этого сечения к нему придет отраженная бегущая волна с отрицательным значением возмущения давления. Гидравлический удар при Фо > 21/а называют неполным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
