XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 48
Текст из файла (страница 48)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Рис. 6.6 Т(т) температуры диска при Х = 104А, и = 106 См/м, Т(г1) = = Т(гг) = Т, = 673К, Л = 23,2 —, 13 = 1, г1 = 0,04м, тг = 0,2м, м 61 = 0,03м, йз = 0,01м. Максимального значения Т 4„= 833К температура достигает при г,„= 0,11м. В случае Л = Л(Т), д1 = ду(Т) и плоского слоя материала толщиной А для интегрирования (6.22) можно использовать замену переменного р = — Л(Т) .
Тогда после предварительдт(я) й» ного дифференцирования (6.22) по я получим обыкновенное дифференциальное уравнение р ~ + дУ(Т) Л(Т) = 0 с разделяйв йТ ющимися переменными. Его решение примет вид р = — Л(Т) = ~ ( С4 — 2( ду(Т') Л(Т') йТ'), (6.29) йТ(я) / где С4 = сопя1, Т, — некоторое значение температуры, а выбор знака в правой части (6.29) зависит от направления теплового потока в слое материала. После интегрирования (6.29) получим т00 Л(Т)йТ я = Сз ~ Сз = сопя$. т т. (С1 — 2 ( ду(Т')Л(Т') йТ ~ т. б.2.
Одномерные модели стационарной теплопронодности 311 Если на поверхностях слоя материала заданы значения Т(0) и Т(6), то целесообразно принять Т, = ТЯ. Тогда Со = й, а С1 можно найти из условия Т(я) = Т(0) при я = О, т.е. из равенства т(а) Л(Т) йТ т<л) (Сд — 2 / дк(Т') Л(Т')с)Т ~ т1л) (6.30) Если же поверхность слоя материала при я = 0 идеально тепло- изолирована, то из (6.29) с учетом Т„= ТЯ находим т[о) С1 = 2 до (Т) Л(Т) йТ т(л) а уравнение (6.30) теперь можно использовать для вычисления значения Т(0): т<а) Л(Т) с)Т т(а) т(л) (2 ) дк(Т') Л(Т') с)Т') т (6.31) т00 Ф<а) дф Ь= 1 а (2 )' ф(~)дф) ф(0) = Л(Т) ЙТ, т<л) Это равенство имеет смысл, если Т(0) > Т(я) > Т()с) и дн(Т) > О, либо Т(0) < Т(я) < Т(Ь) и дн(Т) < О.
В первом случае перед интегралом следует выбрать знак плюс, а во втором — знак минус. Положим ди(Т) > 0 и заменим в (6.31) переменное интегрирования: о1р = Л(Т) с1Т. Тогда получим 312 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ где о',(ф) — зависимость объемной мощности энерговыделения от ф, получаемая переходом в функции ду(Т) от Т к ф, Если подставить в последнее выражение для Ь вместо этой зависимости ее линеиное приближение д (О) + ф —, то после бдр(о) бф интегрирования придем к равенству ф(0) = д'(0)Ьг 7 (6.32) где ч=Ьг як .
ПриЧ-+яг/4 правая часть(6.32) неограниченно возрастает. Таким образом, установившееся распределение температуры в плоском слое материала возможно при условии г ддУ(Т(Ь)) 7ггЛ(Т(Ь)) йТ 4Ьг (6.33) Т(л) ~<*)- / 1юаг=д,~тэя — ( — 1). э.зс Ь соя ~/Тз/Ь у соя /ч т1о) Отсюда как частный случай при т = 0 предельным переходом Ь2 2 можно получить ф(л) = дУ(Т(Ь)) .
При Ч < 0 аргумент косинусов в (6.34) становится чисто мнимым и их следует заменить гиперболическими косинусами. Нарушение этого условия соответствует явлению теплового взрыва, когда малые приращения температуры вызывают рост выделения в слое материала тепловой энергии, которая уже не может быть отведена путем теплопроводности к поверхности с температурой Т(Ь) без дальнейшего увеличения температуры. Если условие (6.33) выполнено, то в линейном приближении зависимости д*,(ф) от ф решение для рассматриваемого слоя материала принимает вид б.а модели процессов нестецнонврнои теплопроводности 313 6.3.
Математические модели процессов нестационарной теплопроводности Ограничимся, как и выше (см. 6.2), рассмотрением одномерных математических моделей (ММ) микроуровня, но применительно к процессам нестационарной теплопроводности. Пример 6.7. Пусть плоская стенка толщиной 6 разделяет две среды, имеющие постоянные температуры Т1 и Тг. Длину и ширину стенки считаем достаточно большими по сравнению с Ь, так что переменное во времени 1 распрес деление Т(т, х) температуры в стенке можно считать оДномеРным, пРичем начало отсче- т, .ТО в1 т, та координаты х поместим на поверхности а, а, стенки со стороны среды температурой Т1 (рис. 6.7).
Интенсивность конвектнвноео тв ---'----'- теплообмена на поверхностях стенки определяют коэффициенты тпеплоотдачи аг и Рнс. 6.7 аг соответственно. Кроме того, поверхность стенки при х = 6 воспринимает от внешних источников излучения тепловой поток плотностью о. При постоянных значениях объемной теплоемкости с и коэффициента теплопроводности Л материала стенки функция Т(т,х) должна удовлетворять одномерному уравнению теплопроводности [ХП] дгт 1 = а ', й > О, х б (О, 6), (6.35) г где а = Л/с — коэффициент температуропроводности, и гра- ничным условиям Л ' = а1(Т(1,0) — Т1), дТ(й, 0) дх Л ' =аг(Тг — Т(с,а))+о.
дТ(1, й) дх (6.36) 314 6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Т(р,х) = Т(г,х)е г~й, р (6.37) где Т(р,х) — изображение по Лапласу, зависящее от х и пара- метра р, в общем случае комплексного, т.е. р Е С. Применив (6.37) с учетом начального условия к (6.35) и (6.36), полу- чим ОДУ а ' — рТ(р,х) = — Тр, х б (О, Ь), (6.38) а" Т(р, х) относительно изображения Т(р, х) с граничными условиями Л ™~) =, — '-ТР,Ь), где Т~* = Тз + д/аз — приведенная температура среды. После подстановки в граничные условия решения Т(р,х) = = — '+ С1яЬ,/"-х+СзсЬ,/"-х ОДУ (6.38) и нахождения постор Ч а Ч а янных С1 и Сз запишем 7р В1х(Т~~ -7р) — (71 — Тр) (В1гсЬ~+~яЬ~) яЬД (р )= — „+В1 ' рг() + В1з(Т~' — 7р) + ВИ(Т1 — Тр) (сЬ~+ — 'зЬ~) + сЬЩ (6.39) ФЯ В (6.36) и далее значение аргумента при записи производной функции указывает, что производная вычислена при этом эна- дТ(С, Р) дТ(й, х) ! чении, например ' = ' ~ .
В качестве начального условия примем Т(О,х) = Тр = сопя~. Для решения сформулированной краевой задачи целесообразно использовать интегральное преобразование Лапласа [ХЦ по переменному й 6.3. Модели процессов нествционвриой теплопроводности 315 аг1г агй где В11 = —, В1з = — — критерии Био, характеризующие отношения термического сопротивлении Й/А стенки к терми- 1 1 /р ческим сопротивлениям — и — теплоотдачи ~ = ~ — 1г л =— аг аг ~/а ' Ь' Я(~) = (Вгг+ В1з) сЬ~+ ( " ' + ~) зЬ~.
Функция Т1р,з) удовлетворяет условиям третьей теоремы разложения [Х1], так что ей соответствует оригинал в виде суммы вычетов этой функции в ее полюсах: Т(1,л) = ~ В,ез (Т(р,л) еР ). иао (6.40) ВОВ1г И 1г В11 + В1з (6.41) имеющему счетное множество простых корней 1г„> О, п Е гг (на рис.
6.8 представлены графики функций с16р и Др) = Рис. 6.8 Полюсами функции Т1р, и) комплексного переменного р являются рз = 0 и р„= =", и Е 1Ч, где ~и — корни уравнения Я(~) = О. ~~а у Ясно, что у этого уравнения нет действительных корней. Обозначая рз = — ~з, т.е. гг = ц, где г = ч/ — Т вЂ” мнимая единица, приходим к трансцендентному уравнению 316 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ 1' ~, причем р' = 1/В11В1з, а штриховой линией отме- ВО+В!ь чена наклонная асимптота !„(И) =,, графика функции и В! +ВИ )'(,и)). Так как функции в обеих частях (6.41) нечетные, то — д„также является корнем этого уравнения, но не изменяет соответствующего значения рп. Поэтому достаточно рассматривать лишь неотрицательные корни уравнения (6.99).
Можно показать, что они соответствуют простым нулям знаменателя функции Т(р, х). ПОЛЮСЫ рп (ВКЛЮЧая рэ = 0) фуНКцИИ Т(р,я)ЕР' ПрОСтЫЕ, вычет этой функции в каждом полюсе рп можно вычислить по формуле [Х] (6.42) Р=Рт бР где ~р(р, г) и 1б(р, х) — аналитические функции, отношение которых ~ ~' совпадает с Т(р, х) еР', причем !Р(р„,х) ~ О. Несложно проверить, что в данном случае все эти условия выполнены. Используя (6.39)-(6.42), получаем — + — +Т1+(Тз — Т1)х ' 2е,п ,+ 1+ 1, дг„' Вй В!т и=! В1з ° (и,!и-т(., [1-с~- — 'В., !1-е)+ !1п + В1з(Т~ — Те) (соя,ипх+ — я1пппх) (е Р"~~, (6.43) дп где Ро = а1/!ь" — критерий Фурье, имеющий в данном случае смысл безразмерного времени в нестационарном процессе теплопроводности, а !1„Я„= (В!1+ В1з)(р„+ я1п,и„соярп) + и!п~ Р К рассмотренной ММ может быть сведена расчетнал схема (РС) конструкции, на плоскую поверхность которой для б.З.
Модели процессов нестационарной теплопроводности 317 защиты от теплового воздействия среды температурой Тз нанесен слой теплоизоляцнонного материала толщиной 6 (рис. 6.9). Температуру Т1 конструкции поддерживают постоянной во времени $, причем 1/а1 определяет термическое сопротивление неидеального теплового контакта между кон- струкциеи и слоем теплоизоляционного материала (ХП1].
Если начальная температура слоя теплоизоляционного материала совпадает с температурой конструкции, т.е. То = Т1, то из (6.43) получим 1 Т(в,я) — То В1, Т,*-Т, 1+ 1 + 1 В!е В1е 2яшр„7 В11 (созрея+ — яшрпя~е "" '. (6.44) ~; р„г„~ На рис. 6.8 видно, что при любом значении р' справедлива цепочка неравенств 0 < р1 < я < рз < 2я « ...
(и — 1)я < < р„< пя. Поэтому величина р„, входящая сомножителем в 2 отрицательный показатель экспоненты в (6.43) и (6.44), быстро возрастает с увеличением номера п. Следовательно, при фиксированном значении Ро ряды в (6.43) и (6.44) быстро сходятся. Начиная с некоторого значения Ро1 с заданной точностью можно пренебречь всеми членами такого ряда, кроме первого. Нестационарный процесс теплопроводности, описываемый при Ро ) Ро1 формулами вида (6.43) и (6.44), в которых удержан лишь первый член ряда, называют ревуллрным режимом. Значение Ро,, соответствующее завершению регулярного режима, т.е. переходу к устиноеиешелсуся процессу, можно найти по значению р1 и заданному допуску на отклонение распределения температуры Т(1,я) от установившегося распределения, описываемого первым слагаемым в правой части (6.43) или (6.44).
318 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ В частном случае идеальной теплоизоляции поверхности стенки при л = О, что соответствует значению В)1 — — О, (6.43) и (6.44) принимают вид В е-ио осеем л 2 — о о=1 (6.45) где а и„— корни трансцендентного уравнения с18и = и/В)2. Их расположение на оси абсцисс показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
