XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 43
Текст из файла (страница 43)
При те 'В' Оа этом происходит мгновенное при- нс -а и ращение скорости на одну и ту же т1 величину Ьи > О, а изображающая точка скачком переходит из положения В в положение А и продол- Рис. 5.45 жает движение по другой траектории, приводящей ее в точку В', из которой она скачком переходит в положение А', и т.д. Если в начальный момент времени $ = 0 изображающая точка имела абсциссу ио < — За < 0 и начала двигаться по полу- окружности радиуса то = )ио) — а, то после первого скачка эта точка переходит на полуокружность радиуса т1 = то + рЬи = = ~ио~ — а+,иЬи > 2а, а при пересечении положительной полуоси абсцисс — на полуокружность радиуса т' = т1 — 2а = = )ио) — За+ рЬи (см. рис. 5.45).
Двигаясь по этой полуокружности, изображающая точка придет в положение (им 0), причем )и1 ) = т1 — а = )ио! — 4а+ рЬи. Ясно, что это положение изображающей точки совпадет с ее начальным положением (ио, 0) при условии 4а — иЬо = О, или Ьи = 4а/р. В этом случае траектория изображающей точки станет замкнутой, соответствующей автоколебаниям в рассматриваемой системе. При Ьи < 4а/,и колебания затухакицие, а при Ьи > 4а/р отклонение от положения равновесия системы при ее колебаниях возрастает после каждого скачка изображающей точки. Несложно установить, что в случае Ьи < 4а/р колебания затухают при любом начальном положении изображающей точки, а в случае Ьи > 4а/р размах колебаний возрастает, если начальное положение изображающей точки не лежит внутри области, заштрихованной на рис.
5.46. Автоколебания возника- 276 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРО УРОВНЯ Рис. 5.46 ют при выполнении условия Ьи = 4а/р из любого начального положения, лежащего вне этой области. При этом замкнутая фазовая траектория и размах колебаний зависят от начального положения.
Но при сколь угодно малом нарушении равенства Ье = 4а/р размах колебаний будет убывать или возрастать, т.е. автоколебания в рассматриваемой системе неустойчивы по отношению к малым возмущениям ее параметров. Таким образом, проведенное уточнение ММ еще недостаточно для адекватного описания автоколебаний в часовом механизме. Пусть в момент времени, когда абсцисса изображающей точки, находящейся в верхней половине фазовой плоскости, принимает значение и = — о, вместо фиксированного приращения Ьи = сопяФ скорости происходит приращение на постоянную величину ЬК кинетической энергии рассматриваемой системы. Это тоже приводит к приращению Ье = из+ — ЬК— — е скорости тела массой т, но теперь зависящему от значения е его скорости перед этим приращением. Возвращаясь к 8.8.Поиятие об еетоиолебательиых системах 277 рис.
5.45, можно установить, что при этом изображающая точка с полуокружности радиуса тд = (ио! — а = ри переходит на долуокружность радиуса ,=о~-гь =г ~-~ /тг)г) )ьх — г =р )тг)г) )ьх, )5.60) а в нижней половине фазовой плоскости — на полуокружность радиуса т', = т) — 2а, достигая положения (ип О), где ~и1) = = т' — а = т1 — За. Из (5.60) следует, что з 2 т1 = р и + 2 — ЬК = то + 2 — )".ьК. 222ь" 2 Подставляя вместо т) и то их выражения через )иг) и )ио) соответственно, получаем 4г Ци1!+ За) — (!ио! — а) = 2 — сьК = Лг. Рассуждая аналогично, после произвольного числа и Е )ч оборотов вокруг начала координат, можно записать ()и„! + За) — ()и„1! — а) = Л~.
Периодические колебания возможны, если при некотором и выполнено Условие )ио! = (и„П = )и.( > а, т.е. ()и„! + За)~— — ()и, ) — а) ~ = Лз, откуда )и, ! = Лз/(За) — а > а и Лз > 16а~. Таким образом, при Лг > 16аг в рассматриваемой системе возможны автоколебания, причем фиксированному сочетанию значений Лз и а, удовлетворяющих этому неравенству, соответствует вполне определенное значение наибольшего отклонения )и,) в сторону отрицательных перемещений, не зависящее от начального положения изображающей точки.
При этом наибольшее отклонение в сторону положительных перемещений Лг равно и' = т1 — а = ~и,(+ 2а = — + а, так что полный размах За ьг автоколебаний (и,)+ )и*! = —. 4а 278 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Отметим, что рассматриваемая система не обладает свой ством самовозбуждения колебаний. Действительно, если откло пения из положений равновесия, находящихся на отрезке );а, а) оси абсцисс, остаются в пределах области, заштрихованной на рис. 5.46, то система возвращается в одно из положений равновесия на этом отрезке.
Для возникновения автоколебаннй необходимо возмущение, выводящее систему за пределы этой области. Можно показать", что возникающие при этом автоколебания устойчивы по Ляпунову. Последний вариант ММ дает более адекватное описание работы реального часового механизма. Но и этот вариант предполагает, что часовой спуск передает порцию энергии мгновенно в некотором фиксированном положении системы. В действительности для этого требуется некоторый промежуток времени, в течение которого положение системы изменяется. Для повышения плавности хода часов обычно часовой спуск действует дважды за период автоколебаний, причем при прохождении системы мимо положения равновесия в том и в другом направлениях. Если учесть в ММ линейное трение, то это усложнит ее, но не внесет в ММ принципиальных особенностей (фазовые траектории вместо дуг окружностей будут состоять из участков спирали).
Пример 5.19. К автоколебательным системам следует отнести сосуд, через дно которого проходит труба, изогнутая в своей верхней части (рис. 5.47). Сосуд заполняется водой с постоянным объемным расходом Я'. Когда уровень воды достигает высоты Н, сосуд начинает опорожняться через изогнутую трубу до тех пор, пока вода не опустится до уровня Нй, после чего процесс повторяется.
При заполнении цилиндрического сосуда уровень воды повышается линейно во времени 1 (рис. 5.48). Для заполнения такого сосуда с горизонтальным сечением площадью Я до уров- 'См:. Андронов А.А., Винна А.А., Хайкин С.Э. 5.8. Понлтие об аатоколебательных системах 279 Рис.
5.48 Рис. 5.47 ня Но необходимо время $е = —., а от уровня Нд до уровня БНе Я(Н вЂ” Не) Н вЂ” время 21 — — ., так что в момент времени 2 = 2е+ 21 начнется опорожнение сосуда. Ксли площадь Я1 поперечного сечения изогнутой трубы достаточно велика, то опорожнение сосуда происходит за короткий по сравнению с 21 промежуток времени. Поэтому добавление воды в сосуд за этот промежуток времени можно в первом приближении не учитывать. Тогда время опорожнения будет равно [ЧП1) 22 =— Я 2(Н вЂ” Не) , где д — ускоре- Ф1 я ние свободного падения, а р — коэффициент гидравлического сопротивления в формуле для объемного расхода Я„,(ь) = =ьа„/2д(~~)-и) д р р ю, р р ф зависимости текущего уровня 6(ь) воды от времени 2 является параболой (см.
рис. 5.48). Таким образом, период автоколебаний равен Т = 21+ 22. Рассмотренную гидравлическую систему иногда называют „танталовым сосудом" по имени героя древнегреческого мифа Тантала, низвергнутого Зевсом за грехи в подземное царство Аида. Там, мучимый жаждой, Тантал стоит в прозрачной воде, доходящей ему до подбородка, но при каждой его попытке наклониться и утолить жажду вода исчезает. Несмотря на красину)о легенду, название „танталов сосуд" применительно 280 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ к рассмотренной системе неудачно.
Дело в том, что период автоколебаний зависит лишь от параметров самой системы „ не зависит, например, от того, в какой момент времени Тантал попытается утолить жажду. Дополнение 5.1. Приближенные методы анализа динамических моделей Рассмотрим сначала автономную механическую систему, в которой возникают автоколебаиия, близкие по форме к гармоническим с угловой частотой р. Пусть в динамической математической модели (ММ) этой системы нелинейность имеет принципиальное значение, но в количественном отношении играет меньшую роль по сравнению с линейным слагаемым р~и(ь), где и(ь) — искомая функция, описывающая зависимость перемещения от времени 1. Тогда нелинейная ММ системы содержит обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка — +р и=д~(и,о), и= —,,и=сопв1>0, (5.61) где Ди, и) — явно не зависящая от времени 1 функция и и скорости о, а р — малый параметр, значение которого характеризует близость системы к зармоническому осциллятору.
При установившемся процессе автоколебаний в первом приближении примем и(1) = Асовр1, (5.62) где А = сопв1 > 0 — полуразмах колебаний, характеризующий предельный цикл с периодом Т = 2я/р колебаний. Ясно, что (5.62) не удовлетворяет ОДУ (5.61), так как при подстановке (5.62) в (5.61) в общем случае 1(Асовр1, — рАв1пр1) ф О. Функцию Ди,и) можно трактовать как силу, приходящуюся на единицу массы системы. Если за период Т колебаний работа этой силы отрицательна, то энергия системы убывает и колебания Д.бп. Приближенные методы анализа динамических моделей 281 за гухают, а если положительна, то энергия возрастает и полу- размахи колебаний увеличиваются.
По и то и другое противоречит предположению о постоянстве значения А в (5.62). Поэтому существование предельного цикла возможно лишь при равенстве нулю работы силы )'(н,о) за период Т колебаний. Такой подход к построению приближенного решения ОДУ (5.61) составляет существо леепаода энереетичесноео баланса. Учитывая, что ди = ОЖ, запишем элементарную работу в виде 1(и,о) о~й, а условие равенства нулю работы за период Т колебаний приведет с учетом (5.62) к интегральному соотношению Ф(А) = ~(Асоор1, — рАзшр1) япрИг = О, (5.63) о из которого можно найти искомое значение А.
Чтобы проанализировать процесс установления автоколебаний из некоторого начального состояния системы, определяемого значением А(О) = Ао в момент времени 1 = О, примем в зависимости и(т) = А(г) соя рг величину А(е) настолько медленно изменяющейся во времени 1, что в течение одного периода колебаний ее в первом приближении можно считать постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
