XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В случае Л = 0,5 стационарные точки сливаются в одну точку ~о, при переходе через которую вторая производная Фн(~) = 2 — ЛЯ2 изменяет знак с минуса на плюс, т.е. ~о = 0,5 является точкой перегиба функции Ф(() при значении параметра Л = 0,5. Нетрудно установить, что Фнф) > 0 и Фн(гз) < 0 при Л Е Е (О, 0,5), т.е. (1 и (2 являются для функции Ф(~) точками минимума и максимума соответственно. Эта функция не имеет стационарных точек при Л > 0,5, а при Л = 0 у нее единственная стационарная точка ~ = 1 — минимум. На рис. 5.29 построены графики функции Ф(~) для различных значений параметра Л.
250 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ 0„ О, -О, -О, Рис. 5.29 Таким образом, при Л > 0,5 рассматриваемая система не имеет положений равновесия и при любом значении пв подвижный проводник будет притянут к неподвижному. Значению Л = 0 на фвзовой плоскости ~00 соответствует единственное положение равновесия — центр в точке (1, 0), а значениям Л Е (О, 0,5) — два положения равновесия: центр в точке ф, 0) и седло в точке (~2, 0).
Наконец, при Л = 0,5 имеем неустойчивое положение равновесия в точке (0,5, 0), которое является точкой возврата проходящей через него фазовой траектории. 5.6. <Разовый портрет консервативной системы Описанный выше (см. 5.5) способ построения фазовых тираекторий в окрестности положения равновесия консервативной висте.ны позволяет перейти к анализу фазовых траекторий этой системы на всей фазовой плоскости иОч.
При этом будем предполагать, что функция Ф(и) в (5.40) дифференцируема на всей числовой прямой ж и не имеет точек перегиба, в которых Ф'(и) = О. Последнее ограничение позволяет не возвращаться к исследованию положения равновесия, в котором фвзовая траектория имеет точку возврата (см. рис. 5.27). Последовательно рассмотрим возможные случаи взаимного расположения б.б. Фазовый портрет консервативной системы 251 яа плоскости п02 графика функции г = 1й(и) и прямой г = ее~ = = сопяФ. Если Ф(и) ) ее для всех значений аргумента и е К, то из (5.40) следует, что е~ < О, т.е. на фазовой плоскости не определена фазовая траектория, соответствующая значению ее. Применительно к механической системе это означает, что при полной энергии, отвечающей значению ее, движение этой системы невозможно.
Если же 1й (и) < < ее2 для всех и ей, то на фазовой плоскости получим две ветви фазовой траектории, симметричные относительно оси Ои (рис. 5.30). Иэображающая точка по верхней ветви двигается в сторону возрастания и, а по нижней — в сторону убывания и. Ветвь фазовой траектории, для которой абсцисса изображающей точки при $ — ~ +со или 1 -~ -оо неограниченно возрастает Рис. 5.30 или неограниченно убывает, называют убегающей. Пусть прямая г = ес2 пересекает кривую Ф(и), нигде не касаясь ее (сплошная прямая на рис. 5.31). Тогда соответствующая значению ее2 фазовая траектория определена лишь при таких значениях и, для которых т'(и) < ее2. При этом в общем случае она может иметь как замкнутые, так и убегающие ветви.
Если 'и'(и) является старого монотонной функцией, то прямая г = ее2 может пересечь ее график лишь в одной точке и мы будем иметь фазовую траекторию с убегающими ветвями (см. рис. 5.23). Если же Ф(и) является строго унивсооальной функцией, то прямая г = ис может пересечь ее график в двух точках, причем при 2 фиксированном значении ее2 в случае минимума получим лишь одну замкнутую траекторию (см. рис. 5.24), а в случае максимума — две траектории с убегающими ветвями (см. рис.
5.25). 252 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Рис. 5.31 В более общем случае прямые г = еез могут не только пересекать кривую Ф(и), но и касаться ее (штриховые прямые на рис. 5.31). При этом точке локального минимума функции Ф(и) соответствует на фазовой плоскости центр, вблизи которого при заданном значении еез нет других фазовых траекторий. Центр является вырожденной фазовой траекторией в виде изолированного положения равновесия консервативной системы (см. 5.5).
При некотором увеличении значения ее~ вокруг центра возникает замкнутая фазовая траектория. Точке и* локального максимума функции Ф(и) на фазовой плоскости отвечает седло, в которое входит и из которого выходит фазовая траектория, соответствующая значению иез —— 1л (и') (см. рис. 5.31). Такую траекторию называют сепаратриспй (от латинского слова яерага1г1х — разделяющая). Она может входить (или выходить) в более чем одно седло, быть конечной или же иметь убегающие ветви. В случае конечной сепаратрисы при некотором изменении значения езз возникают замкнутые фазовые траектории: охватывающая сепаратрису при увеличении езз и расположенные внутри ее „звеньев" при уменьшении из. Если сепаратриса при некотором значении еез включает 6.6. Фазовый оортрет «онсерввтиввой системы 253 убегающие ветви, то фаэовая траектория, соответствующая большему значению ио, также имеет убегающие ветви (штрих- г пунктирные линии на рис.
5.31). Сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на ряд областей, которые при изменении значения оог будут заполнены фазовыми траекториями различных типов. Поэтому построение сепаратрис важно для выяснения общей картины возможного расположения фазовых траекторий на фазовой плоскости. Эту общую картину обычно называют фазовььм портиретоле консервативной системы. Для лсультилеодальной функции е(и) точки минимума и максимума чередуются. Следовательно, для консервативной системы на оси абсцисс фазовой плоскости чередуются положения равновесия типа центра и типа седла (см. рис.
5.31). Если некоторому значению цо соответствует замкнутая фазовая тра- г ектория, то можно утверждать, что внутри ее расположен хотя бы один центр. Действительно, между точками пересечения этой траектории осью абсцисс в силу теоремы Рояля ~11] существует хотя бы одна точка минимума функции 1Р(и). Из геометрических соображений ясно, что для дифференцируемой функции Ф(и) внутри такой траектории число положений равновесия нечетно, причем число центров на единицу больше числа седел.
К сепаратрисам иногда относят ч фазовую траекторию, соответствующую прямой я = рог, совпадающей с в Чци) горизонтальной асимптотой графика функции Ф(и), даже в том случае, о о когда на оси абсцисс нет конечной точки, являющейся седлом (рис. 5.32). Такая траектория отделяет область ( 4- фазовой плоскости с убегающими ве- .г твями фазовых траекторий от области, заполненной замкнутыми траекториями. Рис. 6.32 254 в. нелинейные мОдели мАНРОуРОВня Пример 5.12. Математический маятник (см. пример 2.1) совершает гармонические колебания с периодом, не зависящим от их амплитуды, лишь в предположении бесконечно малых отклонений невесомого стержня от вертикального положения, когда масса т на свободном конце стержня находится в точке А (см.
рис. 2.1). Пусть стержень длиной 1 может без трения поворачиваться в вертикальной плоскости вокруг точки О на любой угол ~р Е К. Отсчет этого угла будем вести в направлении против хода часовой стрелки от точки А. Изменение во времени $ угла ~р описывает обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка о1<р(~) д 2 +-в1пр(Ф) =О> ,нг (5.48) где д — ускорение свободного падения. Аналогично (5.37) это р ОДУ можно представить в виде — ~ = Г(у), где Г(~р) = — е. вшу, т.е. математический маятник является консервативной системой. В момент времени й = йе примем угол <р(йе) = <ре = 0 и угловую скорость — ' = ш(Цв) = ыв.
Тогда в соответствии с 4о(йо) 4е (5.41) получим Ф(у) = -2 Г(~) д~ = 2 — ~ вш~Ы~ = — (1 — сову) дГ, 2д 1,/ и ыг = ыоз — 1л(у). Функция т(у) дифференцируема на всей числовой прямой К и является периодической с периодом 2я (рис. 5.33). В случае ыо = 0 прямая г = 0 касается кривой Ф(у) в точках <р = 2йя, к е Ж, минимума этой функции. Каждой такой точке на оси абсцисс фазовой плоскости ~РОю соответствует устойчивое положение равновесия — центр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
