XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 37
Текст из файла (страница 37)
При этом накопленный конденсатором заряд Я; можно найти из равенства —. Яе СЯ;) = ЬУ'. Пусть в момент времени 2а ключ К переведен из положения 1 в положение 2. Тогда, согласно второму из заноное Кирхгофа, запишем — +111+ ' = О, АР(1) Я, ле С(яе) (5.31) где Ф(1) — потокосцепление катушки, зависящее нелинейно от силы 1 тока в контуре.
По 1 варианту электромеханической аналогии (см. табл. 4.2), кинетической энергии соответствует магнитная энергия ка- тушки, а потенциальной — электрическая энергия, запасеной' ная в конденсаторе. Скорость — изменения полной энер- сЫ гии И' колебательного контура равна суммарной мощности 1 — + — ' при протекании тока силой 1 через катушку и ЫФ(1) П~, ль СЯе) конденсатор. Тогда после умножения (5.31) на 1 можно запи- сать — = — 1 В < О. Следовательно рассматриваемыи колеба- 2 аь \ тельный контур является диссипативной системой, в которой полная энергия переходит в джоулеву теплоту, выделяющуюся при протекании тока через резистор.
Это приводит к зату- ханию колебаний. Если можно пренебречь сопротивлением В контура, то он будет соответствовать консервативной системе, так что динамическая ММ такого контура может при опре- деленных условиях описывать периодические (незатухающие) колебания. 236 л. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Пример 5.10.
К нижней части цилиндрического сосуда 1 с вертикальной образующей присоединен горизонтальный трубопровод 2 длиной 1 и радиуса г, (рис. 5.21). Трубопровод и сосуд заполнены несжимаемой жидкостью плотностью р, причем высота уровня жидкости в сосуде относительно трубопровода равна Н. Рис. 5.21 с 1 Г ягз Г й =Н вЂ” — / ЯсН =Н вЂ” — * / йсН. Б/ Б! (5.32) Потери давления, вызванные гидравлическим сопротивлением трубопровода, примем в соответствии с (3.47) в виде — 2 Ьр = Л,1р —, где Л„= сопяФ вЂ” коэффициент пропорциональ— г 4г.' ности. После открытия крана давление жидкости на выходе из В момент времени с = 0 открывают кран 3 на свободном конце трубопровода и жидкость начинает вытекать в приемную емкость.
Примем, что площадь Я зеркала жидкости в сосуде существенно больше площади пт~ поперечного сечения трубопровода. Тогда скоростью жидкости в сосуде в отличие от ее средней скорости й в трубопроводе можно пренебречь. Давление жидкости на входе в трубопровод в соответствии с интегралом Бернулли будет равно ре+рдсс — рйз(2, где ров атмосферное давление, д — ускорение свободного падения, а Ь вЂ” текущая высота уровня жидкости в сосуде, связанная с объемным расходом с с = ятзй жидкости через трубопровод со- отношением 237 5.4. Простейшие динамические модели 2 трУбопРовоДа Равно РО 'гогДа Дла массы т = Рит,1 жиДкости в трубопроводе имеем 2 С~о 2С рят,1 — = ят,( рдЬ вЂ” р — -Хт — р — ), * й *~ 2 "2т, 2)' Л„Р или, вводя обозначение и = 1 + — ", И6 Гсг 1 — +й — =д5.
й 2 (5.33) Подставляя (5.32) в (5.33), находим с с — +й — + — *~ ей=дН И -,,г тг, Г й 2 Я / О ОДУ 1 — +ссе — + — *о = 0 ссге ссв ~т~~ йг й я (5.34) второго порядка. Отметим, что (5.34) можно получить из закона сохранения энергии в системе, состоящей из сосуда и трубопровода. В любой момент времени 2 полная энергия Ис = П+ К этой системы включает потенциальную и кинетическую энер- гии — „г — „г с К=т — + рЯ вЂ” й 2 с 2 О а И = рдЬЯЛ, О соответственно. Силыгидравлического сопротивлениянеявляются потенциальными, причем на их преодоление система затрачивает работу, т.е. мощность сс( — сар) этих сил отрицательна, что соответствует определению диссипативной системы.
Используя (5.27) в виде — = — Ясар, получаем сси" Ж рд5~ — + + ро,— = -ОЬр. сй Н(твег/2) ог й й 2 и после дифференцирования по времени $ получаем нелинейное 238 а. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Отсюда, учитывая (5.32) и выражения для Я, т, Ьр, после сокращения на /тят~и приходим к равенству — да+ — +1 — "+Л,1 — =О, 2 й 4т, которое соответствует (5.33). (В Если ввести ускорение и = — массы жидкости в трубопро- а'1 воде, то 15.34) примет вид ОДУ ийо й = — — Нс)е 1+ аи а1 с разделяющимися переменными, где а = йБ/(ктвд). После интегрирования имеем 1+ аи — 1п)1+ аи4 й а2 2а1 Константу С найдем из условия, что в момент времени 1 = О открытия крана И= О, Ь = Н и в соответствии с 15.33) и = дН/1.
Тогда получим С = — ~1+ — — 1п)1+ — у и 1 / адН ! адНЙ аг ~ 1 ! 1 )/ 21 2дН 21 ~ 1+ адН/1 6 + — и= — — — 1п~ (5.35) й й ай ~ 1+аи (В Подставляя и = — из (5.33) во второе слагаемое в левон а1 ад(Н вЂ” Ь) ! 1+ адН/1 ~ части (5.35), получаем д = 1п~ д ~, или 1+ам 11 1 адН/1)е-ад(н-а)/! (5.36) В конце процесса истечения жидкости из сосуда (при Ь = О) имеем и, = — (11+ адН/1)е д~/~ — 1) < О и после подстановки в 1 а 15.35) находим соответствующее значение о.4. Простейшие динамические модели 239 е средней скорости в трубопроводе. Отметим, что после открытия крана средняя скорость о жидкости изменяется не- монотонно и при значении и« = О, соответствующем высоте адН« й =Н- — 1п(1+ — ~ >0 ад уровня жидкости в сосуде, достигает максимального значения которое следует из (5.35) при ш = О.
На ! рис. 5.22 представлен характер зависи- Рис. 5.22 мости, описываемой соотношением (5.35). Если зависимость о от ««« = — на отрезке ]0, дН/«] аппрок- «В симировать параболои о = ««е„(1 —,), то получим ОДУ «дН)е) Ж дН о — — 1 —— «й 1 ««ек которое имеет решение — 2о„„1 — — = — + С,„,. Так как и дН« о,„ «/=Опри1=0,то С, =-2««, и ««дН1 1 — 1 — — = о ек 2И 2« Отсюда при «« = ашик находим оценку ~шок = — ««шок време- дН ни достижения максимального значения средней скорости в трубопроводе. На отрезке [«««„ О] используем аппроксимацию е = и„+ (Ушек — о,) (1 — ~ — 1, приводящую к ОДУ (Ю./ / 240 а. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Е го решением будет — 2(Н ах — е,) " " = ю,1+ С,.
По Випа* — э скольку е = е,„ах при 1 = Ф„„„, то С, = — ю,$а,а„. '1огда, учнты вая, что и. < О, запишем стах Е ~ ) а чаах %пах 6* 2(ртах оа) Отсюда при Н = е ах находим оценку ежах Н* 1еюах стах аа — ~юпах + + (ю,) дН )иг,( времени опорожнения сосуда. В частном случае идеальной жидкости й = 1 и сохраняют силу все полученные соотношения. Если 1= О, т.е. трубопровод отсутствует, а в стенке сосуда имеется круглое отверстие радиуса г„, также имеем й = 1, но из (5.33) получим известное равенство е = ~/2ддЕ.
Подставляя его в (5.32), после дифференцирования по времени 1 приходим к ОДУ оа яг~ — = — — *~/2дй, Ж Я которое имеет решение 2ч'о = -ягз~/2д — + Се. Так как й = Н е при ~=0 то Се =2ъГН и — = ~1 — — '~ — 8) . Отсюда при 5= > Н ~ д У2Н) д ~2Н = 0 находим время 1е = —, ~ — опорожнения сосуда в случае „г ~( 1=0. 5.5. Положения равновесия консервативной системы Как показано выше (см. 5.4), динамическую математическую модель консервативной системы в ряде случаев можно свести к нелинейному ОДУ второго порядка „"„"'=и.), (5.37) о.о. Положения равновесия консервативной системы 241 правая часть /(и) которого зависит лишь от искомой функции и(1) и явно не зависит от времени 1. Если функция /(и) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в окрестности некоторой точки ие, то, согласно теореме Коши, ОДУ (5.37) имеет в этой окрестности единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям [Ч111].
нн Введя обозначение е = —, заменим (5.37) нормальной систеи ОДУ сЬ с?н — — = /(и) й ' е?1 Первый интеграл этой системы имеет вид [Ч?1?] (5.38) и ~о 2 Р(и,е) = — — / /(~) е?~ = Н = сопя1. 2 (5.39) ва Действительно, полная производная функции Р(и,э) в силу системы (5.38) равна нулю: Если под искомой функцией и(~) понимать зависимость от времени перемещения материальной точки массой т, то и— скорость этой точки, а т/(и) — зависящая от перемещения сила, действующая на эту точку. Тогда тез/2 и тпН имеют смысл кинетической и полной энергий материальной точки соответственно (см.
5.4), а взятая с обратным знаком работа и ] тп/(и)е?и силы тп/(и) по перемещению материальной точки во иэ положения иэ равна потенциальной энергии. В таком случае (5.39) после умножения этого равенства на т будет выражать закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий консервативной системы постоянна. Константу Н в (5.39) можно найти, если при значении и = ие известно значение е = ее. Тогда из (5.39) получим Н = еоз/2 и 242 Б. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ запишем ог = ог — Ф(и), (5 40) где Ф(и) = 2 1" © Н~.
(5.41) ию В случае материальной точки значение функции Ф(и) имеет смысл удвоенного значения потенциальной энергии, приходящейся на единицу массы этой точки, если эту энергию отсчитывать от ее значения при и = ио. Если выполнены условия теоремы Коши, то через точку (ию, ою) фазовой плоскости иОч проходит единственная фазовая траектория, удовлетворяющая (5.40) и (5.41). Эта траекто- рия симметрична относительно оси Оп Ф(и) „г и определена при значениях и, для кото"ю рых ою — Ф(и) > О.
Ординаты пары сим- г метричных относительно оси Оп точек О „„' „этой траектории, имеющих абсциссу и, р =~чЯ-~ми бааз).л жение изображающей точки по траектории в верхней полуплоскости фазовой О и,ию и аи плоскости, т.е. при о = — > О, происхо- аю дит в сторону возрастания и, а в нижней Рис. 5.23 (при о ( 0) — в сторону убывания и. Пусть функция 1(и) имеет т Е М действительных нулей и,, г = 1, т. При оюг = Ф(и;) из (5.40) следует о = О, поэтому точка (и;, 0) является положением равновесия системы ОДУ (5.38) и соответствует положению равновесия консервативной системы, описываемой (5.38) (или (5.37)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
