XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Таким образом, если в момент времени ~ = 1е при положении массы в точке А (см. рис. 2А) угловая скорость ы(1е) = О, т.е. маятник не имеет б.б. Фазовый портрет консервативной системы 255 Рис. 3.33 кинетической энергии, то он остается в положении равновесия, отвечающем минимуму потенциальной энергии и частному решению ОДУ (5.48), устойчивому по Ляпунову (см. 5.5).
Если сов = х2 /д/1 = ы„то прямая я = со~ касается кривой Ф(р) в точках у = я+ 2кя, й Е У., максимума этой функции (см. рис. 5.33). Каждой такой точке на оси абсцисс фазовой плоскости соответствует неустойчивое положение равновесия — седло, через которое проходит сепаратриса, удовлетворяющая равенству м = ~ ше — Ф(<р) = ~ — (1+созсо) = ~~и,~соя —. 2д 'Р 2 Сепаратриса делит фазовую плоскость на область, в которой фазовые траектории имеют убегающие ветви (при юе > ш,),и 2 2 области замкнутых траекторий вокруг центров внутри взвеньевв сепаратрисы, причем замкнутые траектории соответствУют пеРиодическим РешениЯм ОДУ (5.48) пРи шея Е (О, и~). Построенному на рис.
5.33 фазовому портрету математического маятника можно дать следующую механическую интерпретацию. Если в точке А (см. рис. 2.1) масса т имеет кинетическую энергию т1зюе/2, ббльшую значения потенциальной энергии 2тпд1 этой массы в верхнем положении, то маятник будет вращаться вокруг точки О против хода часовой 256 о. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ ш'1~ В««Р = агссоо (1 — — ) ох 2д ) (5.49) и затем период колебаний Г««р «х«л «ху Т=2 кд ) 1 )" 4 =4 =4 («) 1,«с«:«(«) ! Отсюда, учитывая (5.49), получаем Т = 2 — = 2 — 1.
21 Г «~ Я «1,«в«о:«влз 7 « ' о стрелки или по ее ходу без изменения знака угловой скорости ш = — ~ (убегающие ветви выше и ниже сепаратрисы соответ 4 в« ственно). Если же в точке А кинетическая энергия массь| отлична от нуля, но меньше значения 2тд1, то маятник со вершает колебания с изменением знака ш дважды за каждыи период (замкнутые фаэовые траектории внутри „звеньев" се паратрисы). В случае равенства кинетической энергии массы в точке А значению 2тд1 масса может перейти в верхнее положение, где ее кинетическая энергия будет равна нулю, что соответствует на фазовой плоскости одному из неустойчивых положений равновесия в виде седла. Но при любых сколь угодно малых отклонениях массы от этого положения она покинет его, а затем, пройдя точку А, снова начнет приближаться к верхнему положению с противоположной стороны (этому отвечает движение изображающей точки в фазовой плоскости по ветви сепаратрисы, выходящей из одного седла и входящей в соседнее седло).
При колебаниях маятника отклонения массы т симметричны относительно точки А (см. рис. 2.1). Поэтому из условия о«з = шоз — Ф(«лд«) = 0 можно найти полдраэмах его колебаний 257 5.6. Фазовый портрет консервативной системы В интеграле 1 проведем замену е((р/2 = О и яш((р/2) = яш О яшд. Тнда получим соя((р/2) (192 = 2яшО сояддд и /2 2яшО соядагд Х= соя((р/2) 1 — 2я1п2((р/2) — 1+ 2яш (Ь(р/2) о л/2 = ~Г2 яш О соя д дд д::ет(е(2! в'о- в'о.
'е о л/2 2 / = 2К(е(, г-е,~ое 'е о где К(й) — полный эллиптический интеграл первого рода со значением зеоддлл /с = яшО = яш(гл(р/2). Итак, Т = 4ф/д К(/с). При О = (з(р/2 = 0 имеем К(/с) = я/2, что дает период Т = = 2я.„/1/д гармонических колебаний математического маятника при бесконечно малых отклонениях от устойчивого положения равновесия. В табл. 5.1 приведены значения отношения Т/То для конечных значений Ь(р полуразмахов колебаний. Таблица бЛ Так как К(й) — > оо при й -+ 1, что соответствует Ь(р -+ я, то по мере приближения полуразмаха колебаний к значению я их период неограниченно возрастает.
Это означает, что в случае шо2 — — 4д/1 изображающая точка, двигаясь по сепаратрисе (см. рис. 5.33), достигнет седла за бесконечно большое время. Пример 5.13. Рассмотрим конструкцию, состояшую из двух одинаковых прямолинейных упругих стержней, шарнирное соединение которых в точке С имеет массу то (рис. 5.34). 9 — 9!02 258 о. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Рис. 5.34 Вторые концы стержней закреплены шарнирно в точках А и В, расстояние между которыми равно 21. Каждый стержень име ет площадь поперечного сечения Р = сопяФ и длину в свободном состоянии 1о > 1. Масса т стержня мала по сравнению с то, и ее влияние на первом этапе составления математпической модели (ММ) конструкции не будем учитывать. В случае отсутствия трения в шарнирах и сопротивления окружающей среды при перемещении стержней эта конструкция является консервативной системой, т.е.
сумма ее кинетической и потенциальной энергий остается постоянной. Предположим, что стержни находятся в горизонтальной плоскости и шарнир С может перемещаться лишь вдоль оси Ои, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной отрезку АВ. Тогда его положение можно характеризовать координатой и, отсчитываемой от пересечения этой оси с отрезком АВ, или углом у, причем и =118<р (см. рис. 5.34). При произвольном значении и длина каждого стержня равна 1/Р+ из, так что его деформация е = — (4Р+ и~ — 1о) = — 1/Р+ и~ — 1, 1 1 1о 1а а в соответствии с эакоиол Гука возникает усилие Р = ЕеР = /1 = Е~ — 1/1з+ хз — 1)Р, где Š— модуль упругости материала 1о стержня. Это усилие растягивает стержень при Р > 0 и сжимает при Р (О.
Перемещение ди точки С вызовет изменение потенциальной энергии П(и) системы, равное изменению энергии упругой деформации обоих стержней: ЙП(и) = 2Ря1пуди = = 2ЕР( — — ) ди. (5.50) 2Рхди г и и Дй+ хз ~ 1о Дг+,р 259 о.б. Фаэовый портрет консервативной системы йта = Ы(то — ). (5.51) Из Условия йК(и,и) + с1Н(и) = 0 получим К(и,и) + Н(и) = = Н = сопз1, где К(и, и) = тоиз/2 и с учетом (5.50) п~ 1 =2ет1 ( — — )ш =ет — — 2~8+ 9).
В итоге запишем ю ти то — + ЕЕ~ — — 2~/Р+из) = Н. 2 1о Если в некоторый момент времени 1 = 1о известны значения и = =ио ив=из то имеем тпо о +ЕЕ( — о — 2~Р+и~~) = Н и затем, исключая константу Н, получаем уравнение и~ = со~в — Ф(и) вида (5.40), в котором для рассматриваемой конструк- ции ЕЕ из — из 1й(и) 2 ( о 2ф2+и'+ 2ф~+и20) то 1о Найдем стационарные точки функции Ф(и). Для этого решим уравнение Ф'(и) = О, имеющее следующий вид: ЕЕ(и и тпо 11о Д2+из/ Отсюда получаем и1 = 0 и из,з = ~ Я- Р. По знаку второй производной 9а Если это перемещение происходит за время Ж, то скорость оо шарнира С будет равна о = — а изменение кинетической й' энергии К системы— 260 5.
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ устанавливаем, что и1 = 0 является точкой максимума функции Ф(и), поскольку Ф (О) = — ~ — — -) (О, а из и из будут я 4ЕЕ 51 11 т0 10 точками минимума, так как ФЯ(из) = ФЯ(из) = — (Я вЂ” 1 ) ) О, ягой График функции Ф(и) представлен на рис. 5.35. В фазовой плоскости цОу имеем три положения равновесия (и1, 0), (из, 0) и (из, 0), первое из которых является седлом, соответствует максимуму функции Ф(и) и неустойчиво, а два других являются центрами, отвечают минимумам этой функции и устойчивы. Сепаратриса, проходящая через седло, охватывает центры и выделяет на фазовой плоскости две подобласти фазовых траекторий, описывающих периодические колебания в окрестности устойчивых положений равновесия без изменения знака и, и область периодических колебаний, при которых и изменяет знак.
Последние обычно называют колебанилл4и с перескоком через неустойчивое положение равновесия. Рис. 5.35 Отметим, что если 15 -+ 1, то устойчивые положения равновесия системы сближаются и при 15 ( 1 сливаются в один центр, а неустойчивое положение равновесия исчезает. Покажем, как при составлении ММ рассматриваемой конструкции можно учесть инерцию стержней. При этом будем 251 5.5.
Фваовый портрет консервативной системы считать, что стержни расположены не в горизонтальной, а в вертикальной плоскости, т.е. при перемещении шарнира С происходит дополнительное изменение потенциальной энергии системы эа счет перемещения масс шарнира и стержней. При перемещении ди шарнира С центр масс каждого стержня перемещается на ди/2 (см. рис. 5.34). Поэтому вместо (5.50) получим ди с1П(и) = таунли+ 2тд — + 2Р01п<рйи = 2 2Рхйи = (тпе+тп)дди+ ~/)2+ х2 = (тпо+то)уйи+2ЕР~ — — ) дв, (5.52) а вместо (5.51)— ИК = еЕ(те — ) + 2еХ(У вЂ” ), (5.53) где и и ш — момент инерции и угловая скорость вращения стержня относительно точки его закрепления в неподвижном шарнире.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
