XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Изменение длины стержня при упругом деформировании примем достаточно малым, что позволит считать момент инерции стержня постоянным и равным 1 е 2 2 10 1= ( — х Ых =т —. /10 3' О Так как ш = — Р и ~р= агс1~(и/1), то бф Й и 1 д(и/1) Ь сИ 1 1+(о/1)2 сН 12+и2' Таким образом, учитывая (5.53), имеем 2 3212 22 2 262 О. НЕЛИНЕЙНЫЕ 24ОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ дг где т(и) = т1, ',, имеет смысл зависящей от и присоеди З(р+иг)г пенной массы, учитывающей влияние инерции стержня при его вращении. Теперь в соответствии с ~5.52) имеем щ )=( ~д )д дгег(( — — )д диз = (то + т)ди+ Ег ( — — 2Л2+ иг) 1о так что в итоге можно написать то+ 2т(и) иг 2 — г и~+ (то+ т)ди+ ЕР( — — 2~ Р+ из) = Нг = сопяФ. 2 Отсюда с учетом известных в момент времени 2 = го значений и = ио и и = оо получим 1+2 (о) ио ~г(и)д 1+2— (5.54) где 1+— др2(и) = ~ д(и — ио) + 1+2— дддо ( о 2ф2 + и2 + 2ф2+и2) то + 2т(и) 1о Пример 5.14.
Исследуем влияние параметров электромеханической системы, рассмотренной в примере 5.11, на изменение ее фазового портрета. При использовании вместо (5.40) Отличие (5.54) от (5.40) состоит в том, что в (5.54) коэффици- ент при иог зависит от и. Это несколько усложняет построение фазовых траекторий, но не изменяет процедуру исследования поведения системы. 263 б.б, Фазовый иортрет коисерввтивиой системы зависимости 0~ = ст — Ф(с) в безразмерном виде, где а е К и ф(~) = (1 — () + Л1пс, достаточно проанализировать влияние параметра Л.
При Л > 0,5 графику функции Ф(с) (см. рис. 5.29) соответствует фазовый портрет, представленный на рис. 5.36. В этом случае положение равновесия отсутствует и при любых начальных условиях, определяющих значение а, подвижный проводник в итоге неограниченно приближается с возрастающей скоростью к неподвижному проводнику. При Л = 0,5 на фазовой плоскости (00 существует неустойчивое положение равновесия (0,5, О) (рис. 5.37), через которое проходит фазовая траекторил, соответствующая значению сс = 1/4 — 1п~/2 — 0,0966. Рис. 3.3Т Рис. 3.36 При отсутствии тока в проводниках (Л = О) имеем фазовый портрет гармонического осциллятора с положением равновесия (1, О).
Причем в безразмерных координатах уравнения 0~ = а — (1 — ()3 (а > О) определяют окружности (рис. 5.38). Наконец, при Л е (О, 0,5) существуют устойчивое и неустойчивое положения равновесия: центр и седло (рис. 5.39), расстояние между которыми равно ~/1 — 2Л. При этом сепаратриса отде. ляет область фазовой плоскости с замкнутыми фазовыми тра- 264 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Рис. 5.38 Рис. 5.39 екториями, соответствующими периодическим решениям ОДУ (5.47), от ее областей с фазовыми траекториями, которым отвечают непериодические решения этого ОДУ.
5.7. Математические модели некоторых диссипативных систем Математические модели (ММ) консервативных систем не учитывают влияние потери реальным техническим обьектом (ТО) энергии или иной физической субстанции (массы, заряда, количества движения или момента количества движения), неизбежно возникающей при функционировании ТО. Поэтому область адекватности таких ММ обычно ограничена в направлении изменения некоторых параметров. Учет указанных потерь приводит к необходимости построения и анализа ММ неконсервативных систем.
Частным случаем таких систем является диссипативная система. На примере осииллятора при наличии сопротивления рассмотрена линейная математическая модель диссипативной системы (см. 4.3), описывающая непериодическое изменение выходных параметров во времени ~. Как уже отмечено (см. 5.4), в любой диссипативной системе периодическое изме- 5.7. Модели некоторых диссипативных систем 265 пение параметров невозможно. Ограничимся рассмотрением диссипативных систем с одной степенью свободы. Пример 5.15.
Механическая система состоит из тела массой т, движущегося по горизонтальной поверхности под действием реакции пружины жесткостью с (рис. 5.40). При отсутствии трения,', т между телом и поверхностью зта си- Р -В стема является гармоническим осциллятпором. Рис. о.40 За нуль отсчета перемещения и тела примем положение, в котором пружина находится в свободном состоянии. Примем приложенную к телу силу трения Р р постоянной и равной Ро по абсолютной величине, но направлен- ои нои противоположно его скорости и = —, т.е.
используем ММ ос ' сухого трения, для которой Ртри = — Ро(и( < О. При таком представлении сила трения не является потенциальной. Полная энергия И7 = П+ К системы включает кинетическую К = тиг/2 и потенциальную П = сиг/2 энергии, так что в соответствии с (5.27) получаем Й(К + П) сЬ ди 7 аги Ц б4 Ц 1 42 7 тР = ти — + си — = и ~т — + си~ = Рт и = — Ро~ 4 < О, т.е. система является не только диссипативной, но и автономной. Из этого равенства следуют два линейных ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами аги с7ги т — +си= — Ро, и > О, и т — +си = Ро, и <О, (5.55) лгг ' ' сцг описывающих движение тела. Если тело неподвижно, т.е.
о = О, то сила трения может принимать любое значение на отрезке (-Ро, Ро], равное по абсолютной величине и противоположное по знаку реакции — си пружины. Представим (5.55) в виде а и|. щг О т ' ' Смг +ыоиь — — 0 и>0 и:+шеи =О, о<0, (556) 266 л. нелинейные мОдели мАИРОуРОВня где ьгз = 1/с/т — собственная частота колебаний гармонического осциллятора, соответствующего рассматриваемой системе при отсутствии трения, гс+ — — и+ а, гс = и — а и а = Рс/с— наибольшее по абсолютной величине перемещение тела, при котором сила трения уравновешивает реакцию пружины. Первое ОДУ (5.56) описывает колебания тела относительно положения равновесия и = — а и лишь в течение тех полупериодов колебаний, когда е > О, а второе ОДУ вЂ” относительно положения равновесия и = а и в течение полупериодов колебаний, когда и < О. Если в момент времени 1 = О принять ггз = О и гсс < — а, т.е.
гс.«(О) = ис + а < О, то пружина будет сжата и ее реакция превысит силу трения. Тогда тело начнет движение в положительном направлении оси Оп, так что при $ > О будем иметь с > О. При этом решение и+(1) = (из+ а) совьгс1 первого ОДУ (5.56) сохраняет силу до тех пор, пока скорость тела Ни «(с) и = = -(гсо + а)сто вгпсоа1 = ]ив + а]шо вгпсоо1 й положительна, т.е. при 1 Е (О, гг/шс).
В момент времени 81 = = гг/ис скоРость тела обРащаетсЯ в нУль, а и+(11) = — (из + а) > > О, откуда ид —— и(11) = — ив — 2а = ]ив] — 2а. Если ]из] < За, то ид Е [ — а,а], поэтому сила трения уравновесит реакцию пружины и тело прекратит дальнейшее движение. Если же ]ив] > За, то ис > а и реакция растянутой пружины превысит силу трения. Тогда тело начнет движение в отрицательном направлении оси Ои, так что при 1 > 11 получим сс < О. При этом решение и ($) = (ис — а) совьсе(8 — $1) второго ОДУ (5.56) останется в силе до тех пор, пока скорость тела сги (с) и = = — (гсс — а)шевши(1 — 11) = (иг — а)слс«йпыр1 й отрицательна, т.е. при 1 Е (сг, 12), 12 = 2гг/шс. Таким образом, из решения первого ОДУ (5.56) при 1 = (2гс — 1) я , п Е гч, получаем начальное значение сс для второго ~~о 5.7.
Модели некоторых диссипативных систем 267 Рис. о.41 2кл ОДУ, решение которого при 1 = — дает начальное значение ыо и+ для первого ОДУ, и так далее до тех пор, пока и(тл/юо) ф ф [ — а, а], т Е Ы. При этом график функции и($) будет состоять из полуволн косинусоиды, смещенных по оси ординат на — а и а (рис. 5.41). Каждая последующая полуволна имеет амплитуду на 2а меньше амплитуды предыдущей полуволны, а две соседние полуволны описывают движение тела в течение 2л услоеиоео периода Т = — затухающих колебаний относительно ыа положения равновесия и = 0 системы без трения. Полуразлеахи этих колебаний составляют убывающую арифметическую прогрессию с разностью 4а за период, в отличие от линейного осиилллтора, полурезмахи колебаний которого убывают по геометрической прогрессии.
Поэтому движение рассматриваемого тела прекратится, как только будет выполнено условие и(тл/юо) Е [ — а, а] для некоторого т Е Ы, т.е. за конечное время (напомним, что колебания линейного осциллятора затухают при 1-+ оо). Несложно убедиться, что для рассматриваемой системы фазовые траектории в фазовой плоскости иОч при соответствующем выборе масштабов по осям Оп и Оч образуют два семейства полуокружностей с центрами в точках ( — а, О) и (а, О) (рис. 5.42). Отметим, что характер движения системы (колебательный или апериодический) зависит не от ее параметров, а от начальных условий, определяющих запас ее полной энергии.
При достаточно большом запасе полной энергии система совершает конечное число колебаний до тех пор, пока изобразкающал точка не окажется на отрезке [ — а, а] оси Оп, который 2б8 о. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Рис. 5.42 является множеством положений равновесия ОДУ (5.55).
Эти ОДУ можно рассматривать, например, как составную часть ММ измерительного стрелочного прибора, стрелка которого вследствие трения в опорах ее оси останавливается в некоторой зоне нечувствительности на шкале прибора в окрестности значения измеряемой величины. По той же причине стрелка может не вернуться к нулевой отметке на этой шкале при отключении прибора. Если в некотором положении равновесия (и', О) сообщить системе возмущение в виде количества движения тЬи*, то изображающая точка перейдет на соответствующую фазовую траекторию и затем по ней вернется на отрезок [ — а, а) оси Оп, но не обязательно в ту же точку (и', О) (см.
рис. 5.42). При одинаковых по абсолютной величине т~Ье~ малых возмущениях изображающая точка может в зависимости от знака Ье приблизиться как к середине этого отрезка, так и к его концу. Если оба направления малых возмущений )Ье~ скорости тела в положении равновесия равновероятны, то при систематическом „встряхивании" системы изображающая точка неограниченно приближается к середине этого отрезка. Этот прием приводит, по существу, к замене в системе сухого трения вязким, линейно зависящим от скорости*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
