XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 45
Текст из файла (страница 45)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ поля вне и внутри проводника и поэтому следует учитывать комплексное сопротивление этого проводника. В рамках квазистационарной математической модели, в которой не учитывают волновые процессы (см. замечание 3.1), модуль вектора Н(с,т) напряженности магнитного поля в точке на расстоянии т > т, от оси проводника, малом по сравнению с ?, равен' Нн(1,т) = —, 1(1) 2пт' (6.1) где 1Я вЂ” значение силы тока в проводнике в момент времени В данном случае величина 1(1) аналогична интенсивности вихря, а вектор Н аналогичен вектору скорости несжимаемой жидкости [Х], перпендикулярному плоскости, проходящей через ось и рассматриваемую точку.
Если считать плотность у'(1) электрического тока в по- 1~) перечном сечении проводника однородной, т.е. 1(1) = †,, то внутри проводника в соответствии с (6.1) получим птгу($) 1(Ф)т 2пт 2птг ' причем Н,„(1, т,) = Н„(1, т„) в силу непрерывности тангенциальной проекции вектора Н на поверхности, разделяющей среды с различными свойствами [Х???]. Так как обьемнал плотность энергии магнитного поля пропорциональна квадрату его напряженности, то энергия поля внутри проводника будет т, т ° Евн(1) = 2п? — Нг($,т) тс?т = 1г(ц) тзс?т 1 (1), о о *См.; Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. где и — магнитная проницаемость материала проводника, а ро = 4х.
10 — — магнитная постоянная. г В.с А м б.1. Модели микроуровил электрических двухполюсииков 289 Объемная плотность энергии магнитного поля вне проводника равна — 'Н~(г,г), где р' — магнитная проницаемость РРе 2 среды, окружающей проводник. Энергию этого поля можно оценить, учитывая (6.1)> величиной г Ев(1) = 2Я1 — ~ Нк(Г,т)гдт = ! = — Х(1)~' = ' Х(,)1., ГЛ ИО~ 2 аГ Гл Глв> 4я ! г 4я т ограничивая рассматриваемую область круговым цилиндром высоты и радиуса1. При т, «1 погрешность этой оценки имеет к' порядок Поскольку энергия магнитного поля катушки индуктивностью Х равна Е,„= -ХХ2(1) (см. 3.1), для индуктивности про- 1 2 водника получим Х =Хан+Хе, где 2Е„(~) 1л'гл01 Ь„= —" = — 1п —. Х2(1) 2тг г, 2Е,„(1) рр01 Хэ(1) 8я ' Если же считать, что ток течет только по поверхности проводника, то Нвк($,г) = О при г ( т„, т.е.
Хен = О, а выражения для Н„(1,т,) и Х„останутся прежними. Таким образом, комплексное сопротивление прямолинейного проводника при прохождении через него переменного тока с угловой частотой и> равно Я = Не+ ги>Х, где 1 = ~/ — Т вЂ” мнимая единица. ф "Смл Ландау ЛД.> Лифшиц Е.М. ! 0 — 9102 В примере 6.1 рассмотрены два предельных случая распределения плотности тока в длинном прямолинейном проводнике с круглым поперечным сечением. В обоих случаях при прохождении переменного тока с угловой частотой гл проводник обладает некоторым индуктивным соиротивлениелг глХ. 290 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Для исследования реального распределения плотности пере менного тока в таком проводнике и выяснения влияния поверх ностноео э44екта на индуктивное и активное сопротивления проводника необходимо привлечь уравнения Максвелла ~7 х Е+ — = О, ~7В = О, дВ д1 (6.2) дР 7хН вЂ” — =э', ЧР=р„ д8 где ~7 — оператор Гамильтона, 0 — нулевой вектор, 3— вектор плотности электрического тока, р, — объемная плотность электрического заряда [ХП1].
Для изотропной среды вектор В магнитной индукции связан с вектором Н напряженности магнитного поля, измеряемой в А/м, соотношением .В = ррвН, а вектор Р электрического смещения — с вектором Е напряженности электрического поля, измеряемой в В/м, соотношением Р = еевЕ, где е — диэлектрическая проницаемость, ев - 8,8542 10 — — электрическая постоянная, 1з А.с В м причем (ев,ир) ~/~ = с 2,9979 10в м/с — скорость света в вакууме.
Связь между,у и Е для изотропной среды устанавливает закон Ома в виде (6.3) где п — электрическая проводимость среды, измеряемая в — . А В.м В случае анизотропной среды р, е и о являются тенэорами второго ранеа. Запись (6.2) предполагает, что среда неподвижна относительно системы координат Ох1хэхз, а эта система инерцизльна, т.е. неподвижна или движется поступательно с постоянной скоростью. Преобразованием (6.2) и (6.3) можно показать [Х?1], что в изотропной среде с постоянными значениями р, е и о при р, = 0 каждая из проекций Е» и Н», ?е = 1, 2, 3, векторов Е и Н на координатные оси х», обозначенная через и, удовлетворяет бя. Модели микроуроеея алектричееких деухполюеиикое 291 теяеерафноллу уравнению вида 1 дои ди г с — — +Ь вЂ” = к~и, а= —, 6=аиро, (6.4) аг дР де ' /е1л' где ч7г — оператор Лапласа.
Так как 6 = О при о = О, то (6.4) переходит в волновое уравнение. Для вакуума б = О и 1л = е = 1, а в волновом уравнении а = с. Пример 6.2. Как и в примере 6.1, рассмотрим длинный прямолинейный проводник с круглым поперечным сечением радиуса г,. Материал проводника считаем изотропным, значения р, е и а постоянными, а р, = О. По проводнику проходит переменный ток с угловой частотой ы и амплитудой колебаний 1о. В цилиндрической системе координат Ог~рг с осью Ог, направленной вдоль оси проводника, в силу осевой симметрии проводника и равноценности любого его поперечного сечения вектор Е напряженности электрического поля зависит лишь от времени 1 и радиальной координаты г.
Этот вектор параллелен оси Ог, т.е. имеет лишь одну отличную от нуля проекцию Е, на эту ось. Действительно, четвертое уравнение (6.2) при ре = О в силу независимости Е от ео и г примет вид ч722= ~7Е= " =О ч722 = еео~7Е =— г Йг Отсюда для проекции Е„вектора Е на радиальное направление находим Е, = С„[г.
Но модуль вектора Е конечен. Поэтому С, = О и Е,:— О. Электрическое поле является потенциальным [ХП1], т.е. ~7 х Е = О, так что для проекции левой части этого равенства на ось Ог получим 1 д(гЕ„,) 1 дЕ„1 д(гЕ, ) г дг г доо г дг Следовательно, и Е„, = О. В итоге вместо (6.3) в данном случае для проекции вектора о плотности тока на ось Ог можно 292 6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ записать ул(1 т) = аЕл(1 т), (6.5) а две остальные проекции этого вектора равны нулю. Представляя оператор Лапласа в (6.4) для осесимметричного плоского поля [И?], получаем, что искомая функция Е,(1,т) удовлетворяет уравнению 1 дзЕ,(1,т)и дЕ,(1,т) 1 д (' дЕ,(1,т) д1 +' д1 = .
дт~," Гармонические колебания с угловой частотой ш силы тока в проводнике вызовут в случае установившегося процесса аналогичные колебания напряженности электрического поля и плотности тока. Поэтому, учитывая (6.5), можно использовать комплексное предстпаеление искомой убункции в виде Е,(1т) = ' ' = — Ке®т)ес '), (6.7) Ь = — 1+ е' —. (6.8) а Ю 1 д т с?у(т); — — (т — ) +Ь т(т) = О, т с?т с?т Можно убедиться, что функция 1(т) = СоЛо(Ьт), где Со = = соп81, а .Цйт) — функция Бесселя* 1 рода нулевого порядка (ХЦ, удовлетворяет (6.8).
Действительно, учитывая, что 'Ф.В. Бессель (1784-1848) — немецкий астроном и математик. где 1'(т) — зависящая только от т комплексная амплитуда колебаний плотности тока, Ке(' — действительная часть комплексного числа ~, а г = 1/ — ? — мнимая единица. Линейные операции над действительной частью комплексной функции можно заменить этими операциями непосредственно над комплексной функцией с последующим выделением действительной части полученного результата. Это возможно благодаря коммутативности операций сложения, умножения на число, дифференцирования и интегрирования комплексных функций относительно операции Ке.
Подставляя (6.7) в (6.6), получаем о.к модели микроуровня электрических двухволюсников 293 = †,7«(я) и Ию(л) ю(( 71(л)) Ыл Йл = я,1а(я), где .7«(я) — функция Бесселя 1 рода первого порядка от аргумента я, получаем 1 Й Й3а(Ьт) 1 Й(Ьт1,(Ьг)) — Ь,1а(Ьт). т Йт х Йт ,~ т Йт Константу Са найдем из условия ю' т, 1 = 2н 3(т) тЙт = 2яСа Йа(Ьт) тЙт = а а 2нСа 2ят, Са = — ЬтЛ«(Ьт)( = * Щг), (69) Ьг ~а Ь 1а Г Юа(Ьт) ),(ю,т) = — ххе~Ьт, е'~'). 2 з (, *1«(Ьт) )' (6.10) При ૠ— «О имеем Ь вЂ” «0,,1а(Ьг) — «1 и „" «2.
Поэтому Ьт. 1«(Ьт.) из (6.10) получим, что в случае постоянного тока силой 1а его плотность по сечению проводника постоянна и равна средней 1о плотности эа = —,. С увеличением угловои частоты ш воз„ю никает неравномерное распределение плотности в поперечном сечении проводника. Для металлического проводника допустимо пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости [ХП], т.е. р * ю. т,.ю (ю.ююю ю..
'мЯ= „'м ~„Я= = ~lй = ~, где Р = юосх)храт~. Если в разложении бесселевых где 1 — комплексная амплитуда колебаний силы тока в комплексном представлении 1(1) = Пе(1е"и) закона его изменения. При 1Я = 1асояюо1 имеем 1 = 1а и из (6.9) находим Са = Ьхю Выделив из полученного решения деиствитель2лг.эю(Ьт.) ную часть, с учетом выражения для Са запишем 6.1.
Модели микроуровня электрических двухполюсников 295 Рис. Е.1 Зависимость (6.11) представлена на рис. 6.1 штриховыми линиями, из сравнения которых со сплошными линиями следует, что (6.11) сохраняет достаточную точность при Р < 5. Когда отношение — имеет порядок единицы, токи провоееею димости и смещения сопоставимы (Х1?].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
