XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Тогда подстановка в (6.10) й, определенного в (6.9), дает равенство ,Уо 1+ ,У~ 1+ — — ' г,(1,т) шт, = — Ке уе 2а При достаточно большом значении угловой частоты ш имеем — « 1, что соответствует ситуации, когда током проводимоееею сти можно пренебречь по сравнению с током смещения [ХП]. В этом случае вместо телеграфного уравнения (6.4) допустимо рассматривать волновое уравнение — = а ч7 и.
ди г г ааэ Используем (6.11) для оценки активного сопротивления мегн таллического проводника длиной 1. Среднее за период Т =— колебаний силы переменного тока значение мощности выделения джоулевой теплоты при однородном распределении плотности тока в поперечном сечении проводника пропорционально квадрату амплитуды колебаний силы тока и вдвое меньше максимального мгновенного значения этой мощности (см.
3.1). 296 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Такое же соотношение верно и для средней мощности, приходящейся на единицу объема проводника при неравномерном распределении плотности тока. Поэтому отношение сопротналения В проводника при ш > 0 к его сопротивлению Во = —, лг?о при ы = 0 можно представить отношением среднего значения квадрата амплитуды плотности тока при ш > 0 к уо, т.е. г т* 1 ?? 2л Г г Г т ю2 ьРт412 — ( (А(ы,т)уо) тйтж2~ ~1 — — + — ) тЖ= ??о лтЦ~/ ',? ~ 384 64 Г О О =(1 )+ + + + р2 г р2 2р4 р2 — 1+ 384/ 96 (192)2 192 12288 Пренебрегая слагаемым с оа, получаем оценку — = 1+ — ш . — 4 — 2 Во 192 Отсюда следует, что активное сопротивление проводника мож- 192 но считать равным Во при условии оа « 192, или ш « аянот.
Можно показать*, что индуктивность металлического проводника, обусловленная изменением магнитного поля внутри него, равна Ь,и = — ?ш, где ?т~ — мнимая часть ком- адой) н 2ш Г(4) ~ плексного числа ~. Ограничиваясь в разложении в ряд бесселевых функций первыми тремя членами, получаем ??о Ы 1 — ш2/192 щьо1 ) ш2 ~ )1- — . 8ш (1 шг/192)2+Р2/64 Зн ~ 96/ Отметим, что при ш = 0 значение Ь,„= — ' совпадает с полуРяо1 8л ченным в примере 6.1 в предположении однородного распределения плотности тока в поперечном сечении проводника. При ш~Ев больших значениях Ы имеем — = — = / —.
Во Во 1/ 8 Таким образом, поверхностный эффект связан с повышением активного и индуктивного сопротивлений проводника по мере увеличения угловой частоты переменного тока. 'Сма Ландау ЛД., Лифшиц Е.М. бл. модели микроуровня электрических двукоолюсииков 297 Пример 6.3. Исследуем поведение конденсатора при увеличении угловой частоты ш гармонических колебаний разности ~У(1) потенциалов на его обкладках. Примем, что обкладки являются хорошо проводящими длинными параллельными листами шириной 2В, расположенными с зазором 6 (рис. 6.2).
Если к обкладкам подвести постоянную разность потенциалов ЬУш то в слое диэлектрика между обкладками возникнет электрическое поле. Можно считать, что всюду, кроме небольшой зоны у края обкладок, модуль вектора Е напряженности этого поля постоянен и равен Ее = ЬУе/6, а сам вектор перпендикулярен обкладкам (Х]. Рис. 6.2 1 дэи — — =ч7 и, аз дч2 с а= —, /Гр ' (6.12) в котором любая из таких проекций по-прежнему обозначена через и, а е и р — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрика, налагаемые постоянными.
При гармонических колебаниях разности потенциалов электрический заряд на обкладках периодически изменяет знак и абсолютную величину. Это приводит к изменению модуля и направления вектора Е и к возникновению в диэлектрике переменного магнитного поля, характеризуемого вектором напряженности Н. Электрическая проводимость и диэлектрика ничтожно мала, и можно принять сс = О.
Тогда каждая из проекций Ев и Нь этих векторов на координатные оси хь 1с = 1, 2, 3, декартовой прямоугольной системы координат Ох1хчхз вместо телеграфного уравнения (6.4) удовлетворяет волновому уравне- нию 298 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Если ?з «2В и обкладки достаточно длинные, то можно считать, что векторы Е и Н зависят лишь от времени ~ и координаты хм отсчитываемой по ширине обкладок от их середины (см.
рис. 6.2). Принимая вектор Е перпендикулярным обкладкам, получаем для него лишь одну тождественно не равную нулю проекцию Ез(з, хз ), удовлетворяющую уравнению (6.12) в виде 1 дзЕз(1,хз) дзЕз($,хз) (6.13) аз дз2 дхз а' Е(х1) 2 2 х а решением которого с учетом симметрии относительно координатной плоскости хзОхз является функция (Ч???] Е(хз) = = Сссов — *', где Со = сопз1.
Если ЬУ(й) + Оз??с при ы -+ О, то Е(хз ) -+ Сс = Ес = — „. Таким образом, ~Но ыхз Еф,хз) = Еозш(аз1) сов —. а (6.14) Из второго уравнения (6.2) следует, что — = О, т.е. про- дВ, дхз екция В1 = ррзН1 вектора Ю не зависит и от координаты хм а может зависеть лишь от времени ~. Аналогичный вывод в отношении проекции Вз этого вектора следует из проекции третьего уравнения (6.2) на ось Охз. Действительно, при Рз —— = есоЕз = О и зз = О с учетом представления операции ротора в прямоугольной системе координат [Ч??) имеем — — — = дНз дНз дНз дВз дхз дхз = — — ' = О и отсюда — ' = О.
Но проекция Вз не может дхз дхз зависеть от времени, поскольку тогда изменялся бы во времени В случае установившегося процесса Ез(~,хз) = Е(х1) з?паз~, где Е(хз ) — зависящая от хз амплитуда гармонических колебаний напряженности электрического поля. В итоге вместо (6.13) получим обыкновенное дифференциальное уравнение 6.1. Модели иикроуронил электрических днухполнэсиикон 299 поток вектора В через любой плоский контур Гз в диэлектрике, параллельный обкладкам конденсатора (см. рис.
6.2). Это в соответствии с интегральной формой уравнений Максвелла [ХП?] привело бы к отличной от нуля циркуляции вектора Е по такому контуру, что противоречит принятому допущению Е1 — — Ез = О. Таким образом, Вз = сопяФ. Аналогично В1 = сопя1, так как поток вектора В через любой плоский контур в диэлектрике, перпендикулярный оси Ох1, не изменяется во времени в силу равенства нулю циркуляции вектора Е по этому контуру.
Проектируя третье уравнение (6.2) на ось Охз и учитывая (6.14), при Рз = яяоЬз и.11 = О получаем дно дн1 дно(1> х1) дез СОХ1 — — сяо — = сяоо1ЕО соя(оЛ) соя —. дх1 дхг дх1 д1 а После интегрирования находим ЮХ1 Нз(1, х1) = ЯлоаЕо СОЯ(оЛ) Я1п — + 1(1), а где Д1) — некоторая функция времени. Интегрированием Нз по площади Яз, охватываемой любым прямоугольным контуром Гз в диэлектрике, перпендикулярным оси Охз и симметричным относительно оси Охз, вычислим поток вектора В через этот контур, пропорциональный Д1)Яз.
Но циркуляция вектора Е по такому контуру равна нулю, так что в соответствии с интегральной формой уравнений Максвелла Яз — = О, т.е. ф(1) о1 Дг) = сопя1. При 01 = О электрическое поле конденсатора постоянно и магнитное поле отсутствует. Поэтому Д1) = О и 1ОХ1 Но(1,х1) = яяоаЕо соя(101) я?п —. а (6.15) Из (6.14) следует, что при угловой частоте ы1 — — —" напряженность электрического поля у края обкладок (при х1 = ~В) обращается в нуль, а при 10 = 2ш1 принимает значение, равное, но противоположное по знаку значению в их середине (при х1 = = О). Это означает, что в первом случае максимальное значение 300 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ энергии электрического поля конденсатора вдвое меньше, чем при постоянном значении напряженности, равном Ео.
Действительно, максимальное значение объемной плотности энергии электрического поля равно -ееоЕ (х1) = -ееоЕо сов —. Инте- 1 2 1 2 2юх1 2 2 а грируя по ширине обкладок, получаем энергию электрического поля, приходящуюся на единицу длины конденсатора: В 7' есо 2 2 шх1 есоЬВ 27 а, 21аВ1 са(ш) = 2л'/ Ео соа ах1: Ео ~1 + аш ), / 2 а 2 ~ 2шВ а ) о Отсюда находим Е,(ы1) = -ееойВЕ~о, тогда как при постоянном 1 значении напряженности, равном Ео, Е,(0) = сеоаВЕо~. При постоянной разности Ь17о потенциалов на обкладках емкость конденсатора, приходящаяся на единицу его длины, равна С10) = 2 ' = 2еео — (см. 3.1).
Гармонические коле- Е,(о) В (ЬИо)2 а бания этой разности приведут к зависимости С(„) 2Е (Ш) "ОВ(1+ а,1„2"~) <С(0) (6 16) (ЬУО)2 Й 2шВ а а . 2мВ так как — в)п — < 1. При этом изменение разности потен- 2мВ а циалов по закону ЬУ11) = а 17о яшмам приводит к возникновению в цепи, внешней по отношению к конденсатору, переменного тока (см. 3.1) силой 1(1) = С(ю) = шС(ш)ЬУосовш1, с~(ьУ) а1 максимальное значение которой с учетом (6.16) равно ееоВ г а . 2шВ1 1(ю) = — ыЬВо ~1+ — в)п — ) .
(6.17) )2 2шВ а Наличие магнитного поля в диэлектрике означает возникновение некоторой индуктивности Цы), приходящейся на единицу длины конденсатора. Это приводит к эквивалентной схеме рассматриваемого конденсатора, выделенной на рис. 6.3 штриховой линией и состоящей из параллельно соединенных кон- бл. Модели микроуровня электрических двухполюсников 301 денсатора емкостью С(ш), к обкладкам которого приложена изменяющаяся по аур) , ')О) закону ела(с) = ЬУев)пшс разность по- Цш) тенциалов, и катушки индуктивностью С(ю) Цш), через которую проходит переменный ток 1(2) с максимальным значением т'(ш). Рис.
6.3 При постоянной силе 1е тока энергия Ет(0) магнитного поля соответствует индуктивности Ь(0) = 2, (см. 3.1). Анало- )е гично Цш) = 2,, где Е,„(ш) — максимальное значение б „(ш) энергии магнитного поля в диэлектрике, приходящейся на единицу длины конденсатора. Максимальное значение объемной плотности энергии магнитного поля в диэлектрике при 2 = 0 с учетом (6.15) равно —,и)яоН2(О,х1) = -беоЕй а1п —. Тогда, 2 ) 2 ° 2«~х1 учитывая (6.17), находим н / ело 2 ° 2 шх1 еееЬВ 2 у а, 2шВ 1 Стех(ш) = 2Й) — Ее в)п — йх1 — — Ее ~1 — — я1п — ), ./ 2 а 2 ч 2шВ а я" о а . 2мВ 2Еп1вх(ш) А 2 Е 12(Ш) ЕСОВШ (1+ а; 2~~В) 2шЕ а Итак, комплексное сопротивление, приходящееся на единицу длины рассматриваемого конденсатора, равно Я(ш) = = гшЦш) —, где 1 =;/ — 1 — мнимая единица. шС(м) ' Рассмотренное в примере 6.3 взаимодействие переменных электрического и магнитного полей характерно для многих технических устройств.
В частности, ММ такого взаимодействия лежат в основе теории волноводов и резонаторов, применяемых в радиотехнике*. 'Смс Ландау ЛЛ., Ли4тии Е.М.; Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. 302 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ 6.2. Одномерные модели стационарной теплопроводности Математическое моделирование процессов теплопроводности в элементах конструкций и технологическом оборудовании широко применяют при проектировании и исследовании технических обьектов в различных отраслях техники [см. 1.1). Построению математических моделей (ММ) микроуровня процессов теплопроводности посвящена обширная учебная и научная литература". Методам построения и количественного анализа многомерных математических моделей стационарной и нестационарной теплопроводности значительное внимание уделено и в [ХП], [Х???]. Решение задачи оптимального проектирования оребренной конструкции теплообменника с использованием одномерной и двумерной математических моделей стационарной теплопроводности приведено в [Х?Ч].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
