XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 50
Текст из файла (страница 50)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ стенок. Так, для толстостенной трубы с круглым поперечным сечением, имеющим при давлении ро внутренний радиус т и толщину стенки Й, увеличение давления на Ьр при отсутствии осевой силы приводит к радиальному перемещению*1 Ьт = (1+ ст)г+ )— на внутренней поверхности трубы (здесь и — коэффициент Пуассона материала стенки). Это вызывает приращение ЬЕ = = я(с+йг) — яг2 площади поперечного сечения. В итоге, пренебрегая величиной Ьт по сравнению с т, получаем Г=т (1ь )-т (1<2(1~- Сравнивая это выражение с (6.58), заключаем, что 2т7 Ь. )с 2(1+ и) + Для тонкостенного трубопровода с круглым поперечным сече- 1 2т нием при Ь « т и и < — получим К = —.
2 Ь В (6.55) и (6.58) 1— 'Р' «1 и Х 1' «1. Следовательно, Е Е д(Рг) / 1 )~ Р— РО~~дР гО l ХЕ ~ дР— = РоРо ~ — + — + 2Х ) — = — ~1+ — ) —, (6,59) д1 Ь:„Е Е,Е)д2 а2~ Е )д1' где ао = — — скорость распространения возмущений (ско- ГЕ ~/ ро рость звука) в неограниченном объеме жидкости при давлении Ро. Н.Е. Жуковский'2 установил, что в трубопроводе благодаря деформированию его стенок скорость звука в жидкости меньше ао и равна ао (6.60) 'Смс Феодосьев В.И.
(1999 г.) '~Н.Е. Жуковский (1847-1921) — русский механик и математик. б.4. Одномерные модели гидравлических систем 329 Например, для стальной трубы внутреннего радиуса г = = 16мм, толщина стенки которой равна й = 5мм, при Р = = 2 10'~ Па и и = 0,3 найдем Х = 8,135 и для воды при ао-- 1483м/с получим а = 1422м/с, т.е. скорость звука уменьшается примерно на 4%. Но для тонкостенной алюминиевой трубы внутреннего радиуса 100мм, толщина стенки которой равна Ь = 2мм, имеем у = 2т/Ь = 100, и при Р = 7,2 101о Па скорость звука в воде, находящейся в такой трубе, составит а = 745м/с, что почти вдвое меньше скорости звука в неограниченном объеме. Для трубопровода с изменяющимися по его длине площадью Ро(х) поперечного сечения и толщиной стенок коэффициент с зависит от х.
Поэтому а = а(х), так что с учетом (6.59) и (6.60) вместо (6.56) запишем Ро(х) др(~, х) дт(1, х) (6.61) аз(х) д~ дх Дифференцируя (6.61) по 1, а (6.57) по х, можно исключить т и написать дзр(с,х) аз(х) д ( др(т,х) д~з Ро(х) дх ~ ' дх Наоборот, исключая р, находим д 1 дт(1,х) д аз(х) дт(с,х) д~ Р(~,х) д~ дх Ро(х) дх В случае трубопровода с постоянными по его длине поперечным сечением и толщиной стенок имеем а(х) = а = сопоФ и Ро(х) = Ро = сопоФ.
При этом в силу неравенства « 1 Х(р — ро) можно принять Р = Ро. Тогда получим одномерные волновые уравнения дзР(1, х) з дзР(1, х) дот(1, х) з дзт(1, х) дР дхз ' дР дхз 330 б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ Рассмотрим некоторые варианты граничных условий на концах трубопровода. В концевом сечении трубопровода при х = 0 может быть задан закон изменения во времени $ давления жидкости, т.е. р(1,0) = ро(1). В этом случае из (6.61) получим дт(1,0) Ро(0) Нро(1) дх аэ(0) й В частном случае ро(1) = ро = сопаФ имеем ' = О. Если дт(й, 0) дх конец трубопровода при х = 0 закрыт, то т(1,0) = О.
Тогда в соответствии с (6.57) — ' = О. При задании в этом сечении др(с,о) дх массового расхода жидкости в виде зависимости т(1, 0) = то(1) из (6.57) следует др(1,0) 1 с1то(1) дх Р(1,0) й В концевом сечении трубопровода с координатой х = 1 может быть установлен демпфер — устройство, в котором объем жидкости изменяется в зависимости от ее давления. Если изменение ЬЪ' этого объема происходит за счет упругости стенок демпфера, то, пренебрегая инерцией стенок, Ьу' можно считать пропорциональным изменению Ьр давления жидкости, причем Р Ро ~'Р ~0 "ро ро где Ъ~ — объем жидкости в демпфере при давлении ро, а К вЂ” безразмерный коэффициент пропорциональности.
Тогда с учетом (6.61) получим АУ К1о др(111) а'(1)КЪо дт(1,1) й ро д1 роРо(1) дх Но скорость изменения объема жидкости в демпфере равна объемному расходу жидкости через сечение трубопровода при б.4. Одиомериые модели гидравлических систем ЗЗ1 аЛЪl па(й, О х =1, т.е. — = — ', и в итоге бС р0,1) а~ЯР(1,1) К'то дт(1, Е) Роге (1) дт Отметим, что при установке демпфера в концевом сечении с асхЪ' координатой т = 0 при — > 0 объемный расход жидкости сй через это сечение отрицателен и поэтому т($, 0) аг(0)р(1, 0) Кч'о дт(1,0) — О. Рого(0) Демпфер может представлять собой полость объемом 1с„ частично заполненную газом (воздухом).
При повышении давления Р жидкости газ сжимается, что приводит к увеличению объема 1т, занятого в таком демпфере жидкостью. Связь $' и р зависит от термодинамического процесса сжатия газа. При изотермическом процессе р(У, — Ъ') = ро($'„— Ъ~), так что в случае малых изменений ДавлениЯ по сРавнению со значением Ро имеем р* — 1'о ЙР р* — 1~~ дР =Ро й Рг сЫ Ро й Поскольку — = — ' в сечении трубопровода с координатой а лЪ' т(61) ч р(~О т =1, то с учетом (6.61) получим аг(1)р(с,1) (К, — 'ко) дт(с,1) РоРо(1) дл В гидравлических системах часто встречаются разветвленные трубопроводы.
Пусть концевые сечения и трубопроводов объединены в один узел, от которого ведется отсчет координат х;, 1 = 1, и, вдоль оси каждого из трубопроводов (рис. 6.13). Тогда в этих сечениях в любой текущий момент времени 1 332 й. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ хп Рис. 6.13 одинаково давление жидкости, т.е. р1(ь', 0) = ... = р,(ь', 0) = ... = = р„(1,0) при х; = О, г = 1, и, что с учетом (6.61) позволяет написать равенство а1(0) дт1(й,О) сфО) дт,(1,0) а~(0) дти(1,0) Рш (0) дх Ро1(0) дх Ро (0) дх Кроме того, в узле равна нулю алгебраическая сумма массовых расходов: и т;(ь',О) = О.
Отсюда в соответствии с (6.57) следует, что В большинстве случаев граничные условия в концевых сечениях трубопроводов удается сформулировать относительно искомой функции т(1,х) массового расхода жидкости. Поэтому в рабочую математическую модель (ММ) неустановившегося движения жидкости в трубопроводах помимо таких граничных условий должны входить второе уравнение (6.62) и начальные условия, включающие распределения по длине каждого трубопровода в момент времени Ф = О, принимаемый за начальный, расхода жидкости и скорости его изменения. Однако на практике обычно известны начальные распределения б.4.
Одномерные модели гидраелических систем 333 т(О,х) = т (х) и р(О,х) =р'(х) расхода жидкости и давления соответственно. В этом случае из последнего равенства прн помощи (6.57) и (6.58) получим необходимое для завершения математической формулировки задачи начальное условие = — Г(О,х) . При определении собственных надт(0,х) с(р'(х) де ' бх стот и форм колебаний жидкости в трубопроводах и анализе установившегося процесса колебаний под действием внешних возмущающих факторов необходимость в задании начальных условий отпадает. После нахождения функции т(с,х), как правило, несложно установить зависимость р(с, х) давления жидкости от времени и координаты.
Пример 6.9. Пусть трубопровод длиной 1 имеет постоянные площадь Ро поперечного сечения и толщину стенки, т.е. для скорости звука в жидкости, находящейся в этом трубопроводе, имеем а = сопвс. В момент времени 1 = 0 давление и массовый расход жидкости постоянны по длине трубопровода и равны ро и т' соответственно. При 4 > 0 на одном конце трубопровода (при х = 0) поддерживается постоянное давление ро, так что р(с,О) =рв, а другой его конец (при х =1) перекрывают.
В этом случае искомая функция т(с, х) должна удовлетворять второму дт(6 О) уравнению(6.62),однороднымграничнымусловиям ' =О, т(с,() = 0 и начальным условиям т(О,х) = т' и ' = О. дт(0, х) Применим метод Фурье [ХП], представив искомое решение в виде т(с, х) = Т(с) Х(х). Подставляя это равенство во второе уравнение (6.62), получаем = — = Л. Отсюда следуют а Х" (х) Т" (М) Х(х) Т(Е) два линейных ОДУ второго порядка азХн(х) — ЛХ(х) = О, Тн(с) — ЛТ(с) = О. (6.63) Общее решение Х(х) = С1сЬ|(Л вЂ” *+ СзвЬ~ГЛ вЂ” * первого из них а а должно удовлетворять граничным условиям в виде Х'(0) = 0 и Х(1) = О. При любом значении Л > 0 из граничных условий следует, что С1 = Сч = О. Значение Л = 0 также приводит к 334 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
