XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 23
Текст из файла (страница 23)
При этом предпочтительнее привлекать аналогии между электрической системой и другими физическими системами. Эти аналогии позволяют при получении ММ таких систем применять достаточно универсальные приемы построения ММ электрических систем, формализованные с использованием законов Кирхгофа и ориентированных графов. 4.1. Дуальные электрические цепи Под эквивалентпной схемой системы, состоящей из типовых элементов, понимают их условное изображение в виде двухполюсников и связей между этими двухполюсниками.
Так как математические модели (ММ) макроуровня типовых элементов различных физических систем совпадают по форме с ММ электрических двухполюсников, то при построении экви- 144 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ валентных схем обычно используют обозначения, характерные для электрических систем. Эквивалентную схему в виде электрической цепи, объединяющей двухполюсники, можно считать наглядным представлением структурной математической модели рассматриваемой системы.
При построении ММ электрической системы объединяют ММ входящих в эту систему типовых элементов: резисторов, конденсаторов и индуктивных катушек. Такое объединение проводят, применяя к эквивалентной схеме эакокьс Хиркгофа*. Первый из них устанавливает равенство нулю алгебраической суммы мгновенных значений силы тока во всех ветвях электрической цепи, имеющих общий узел, а второй— равенство нулю алгебраической суммы мгновенных значений падений напряжения при обходе любого контура электрической цепи в любом направлении. Д1) А 1"(1) )ь Рис. 4.1 Использование законов Кирхгофа рассмотрим на простом примере электрической цепи, включающей источник, задающий переменное (в общем случае) во времени 1 напряжение ЬУ*, резистор сопротивлением гь, конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью Ь (рис.
4.1, а). Эта цепь состоит из одного замкнутого контура и четырех ветвей, в каждую из которых включен один из указанных двухполюсников. Применяя к каждому из узлов этой цепи первый закон Кирхгофа, приходим к выводу, что в любой момент времени $ сила 1 электрического *Г.Р. Кирхгоф (1824 — 1887) — немецкий физик и математик. 145 4.1. Дуэльные электрические цепи ока во всех ветвях одинакова. Для падений электрического „апряжения на пассивных двухполюсниках имеем (см. 3.1) И~я = ХЯ, 1~1Хс = — / 1й, 11Уь = Х вЂ”, (4.1) 1 Ы С/ -й оо где 1е — некоторый момент времени, принятый за начальный.
При обходе замкнутого контура по ходу часовой стрелки в соответствии со вторым законом Кирхгофа получим — ЬУ*(1) + + Ь1Хн + ЬУс + ЬУь = О, или с учетом (4.1) ЯХ + — / 1 й + Ь вЂ” = ЬУ*(1). 1 Г ЫХ С/ й со (4.2) 1л= = /ЬУй, (4Л) Хl -оЫ1Х Хс = С Хн = дЬ1Х, со где д = 1/ль — проводимость резистора сопротивлением Л. Все ветви этой цепи сходятся в два узла. Применяя первый закон Кирхгофа к одному из узлов (например, к узлу А), получим Хл+ Хс+ 1ь — 1*(1) = О, или, учитывая (4.3), В качестве второго примера рассмотрим электрическую цепь, включающую наряду с пассивными двухполюсниками источник, задающий по определенному закону 1*($) силу тока (рис. 4.1,б).
Из второго закона Кирхгофа следует, что падение напряжения ьь1Х в каждой из ветвей этой цепи в любой фиксированный момент времени $ одинаково. Для токов в ветвях, содержащих пассивные двухполюсники, запишем (см. 3.1) 146 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Таким образом, ММ рассмотренных электрических цепей включают идентичные по форме уравнения (4.2) и (4.4), содержащие помимо времени 1 различные величины.
Соответствие между этими величинами представлено в табл. 4.1. Таблица 4.1 Две электрические цепи, ММ которых удовлетворяют укаэанному соответствию величин, принято называть дуальиьм леи. При этом зависимости (4.1) для падений напряжений на пассивных двухполюсниках в одной цепи аналогичны зависимостям (4.3) для токов, протекающих через такие двухполюсники в дуэльной цепи, и наоборот. Если связь между законами изменения напряжения и силы тока источников в дуальных цепях подчиняется зависимости ЬУ*(е) = Ае1'($), где Ле— коэффициент пропорциональности, имеющий размерность сопротивления, то из сопоставления (4.1), (4.2) и (4.3), (4.4) можно установить, что ~ьУ ~1Ъ ~1П'с ~1Уь (4.5) при выполнении условий г = ==~о.
д С с (4.6) 'Смл Атабеков Г.ИА Тетельбаум И.М. Существуют правила преобразования сложных электрических цепей* в дуэльные. При этом число узлов дуэльной цепи на единицу превышает число простых замкнутых контуров исходной цепи (к простым относят такие замкнутые контуры, внутренняя линия обхода которых не пересекает ветвей цепи). 4.1. Дуэльные электрические цепи 147 Проверкой правильности преобразования цепи в дуэльную слу,кит получение исходной цепи путем построения дуэльной цепи по отношению к дуэльной. Дуальность электрических цепей позволяет расширить возможности построения и преобразования эквивалентных схем применительно к различным физическим системам (прежде всего к механическим системам).
Предположим, что сила тока в электрической цепи, представленной на рис. 4.1, а, изменяется по закону 1(1) = 1в вшю1, где Хв — амплитуда колебаний силы тока, ю — угловая частота колебаний. Выясним, при каком законе ХьУ*(1) изменения напряжения источника это возможно. Для этого предварительно продифференцируем по 1 (4.2) и запишем д1(1) 1~1) д21(1) дМ3*(1) С д12 д1 или после подстановки выражения для 1(1) 10 2 ° д~У (ь) шШв сов ~Л+ — вппА — ш 1 Хв вшю1 = С Ж Отсюда следует, что одним из возможных законов изменения напряжения источника является Хв ЬУ*(1) = ВХв вшпэ1 — — сов ю1 + АХ Хв сов ш1. ыС Запишем комплексное представление этой функции в виде ЬУ'(ь) = 1ш(1лУеил), где ЬУ вЂ” комплексная амплитуу да напряжения источника, равная ььУ = 1в~Л вЂ” — + ьиьХ) = ыС = Хв(2н+Яс+Я1), причем Ян =Хс, Яс = — — и Я1, =ивХ— комплексные сопротивления (импедансы) резистора, емкости и индуктивной катушки соответственно.
Так как комплексная амплитуда силы тока 1(1) = Хв в1пе1$ = 1ш(Хекл) равна 1 = Хв, то 1лУ11 = Я = Ян+ Яс+ Яь, где Я вЂ” полное комплексное сопротивление цепи из последовательно соединенных резистора, емкости и индуктивной катушки. Таким образом, при 148 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ последовательном соединении электрических двухполюсников сумма их комплексных сопротивлений дает полное сопротивление цепи. Теперь предположим, что падение напряжения во всех ветаях цепи, представленной на рис. 4.1, б, изменяется по закону ЬУ(1) = ЬУев?пы1, где ЬУз — амплитуда колебаний напряжения. Найдем закон Х*(1) изменения силы тока источника, при котором это возможно. Продифференцировав по 1 (4.4), запишем -ЬУ(1) -?гЬУЯ ЬУ(1) ,?1 щг у и после подстановки д = 1/А и выражения для ЬУ(г) получим гзУе г -, г1Уе . ~?1 И) ш= совью — м~СЬУз апьА+ = в?пьИ = Л Ж Отсюда следует, что возможным законом изменения силы тока источника является ЬУО ~1Уз ?*($) = =я?пьй+ыСЬУ соя~1 — =совы~.
Л иХ Комплексное представление этой функции имеет вид 1'(1) = = ?т(1е1яя), где 1 — комплексная амплитуда силы тока источника, равная /1, — 1 ~ /1 1 1 1=ЬУз~=+?ОС вЂ” =) =БЫУО~ — + — + — /, ~д Х) ~~л г; г-,,/' пРичем ЯЛ = Н, Я- = — ~/(шС) и ЯЬ = к4Х. ПосколькУ комплексная амплитуда падения напряжения ЬУ(1) = ЬУз сйпш1 = =?т(ЬУе' ') равна ЬУ = ЬУз, то ЬУ 1 ==г=, Е с Е 4.2.
Двойственность электромеханической аналогии 149 Следовательно, при параллельном соединении электрических вухполюсников сумма их комплексных проводимостей, обрат,ых комплексным сопротивлениям, дает полную комплексную проводимость цепи, обратную ее полному комплексному сопротивлению, 4.2. Двойственность электромеханической аналогии При построении математических моделей (ММ) макро- уровня сравнительно простых механических систем, состоящих из небольшого количества типовых элементов, обычно непосредственно используют основные законы механики. Но для более сложной механической системы, включающей большое число взаимодействующих между собой элементов, удобнее, используя электромеханическую аналогию, предварительно составить эквивалентную схему, соответствующую расчетной схеме этой системы.
Тогда при переходе от эквивалентной схемы к ММ можно применить приемы, разработанные и формализованные для электрических цепей. Установленный на основе идентичности ММ типовых элементов механической системы и электрических двухполюсников вариант электромеханической аналогии (см.
3.2) не является единственным, так как каждой из дуальнььх электрических цепей можно поставить в соответствие свой вариант такой аналогии. В связи с этим допустимо говорить о двойственности электромеханической аналогии. В качестве примера убедимся, что для механической системы, включающей тело 1 массой т, движущееся поступательно по горизонтальной плоскости и связанное с неподвижной опо- , 2 3 4 рой 2 пружиной 3 жесткостью с я В (рис.
4.2), эквивалентными схема- ' ктр ми могут быть обе дуальные цепи, представленные на рис. 4.1, а и б. Рис. 4.2 150 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Действительно, в соответствии со вторым законом Ньютона запишем Й> = Р*(1) ь ран (4.7) где и — перемещение тела относительно положения равновесия, о = — — скорость тела, Р (~) — внешняя сила, приложенная к Ни телу и изменяющаяся (в общем случае) во времени 1, Й р— коэффициент вязкого трения при движении тела по горизонтальной плоскости, Я вЂ” площадь поверхности контакта тела с этой плоскостью.
Используя введенные в 3.2 обозначения Л,„= = к рЯ, С = 1/с и Ь„= т, представим (4.7) в виде (4.8) 1 Г -сЬ рдо+ = / е(Й+ С вЂ” = Р'Я, (4.9) что с точностью до обозначений совпадает с (4.4) и определяет 11 вариант электромеханической аналогии (см. табл. 4.2). где ~е — некоторый момент времени, принятый за начальный. Из сравнения (4.8) с (4.2) следует, что ММ рассматриваемой механической системы и ММ электрической цепи, изображенной на рис.
4.1, а, идентичны при выборе в механической системе силы в качестве потенциальной величины, аналогичной падению электрического напряжения, и скорости в качестве потоковой величины, аналогичной силе электрического тока. Такой выбор и был сделан (см. 3.2), что определяет 1 вариант электромеханической аналогии (табл. 4.2). Но если в механической системе потенциальной величиной считать скорость, а потоковой — силу, то ММ этой системы в виде (4.8) будет идентична ММ электрической цепи, представленной на рис. 4.1, б. В самом деле, полагая д = В = й рЯ, Ь = С„= 1/с и С = Ь„= т, вместо (4.8) получаем 4.2. Двойственность электромеханической аналогии 151 Таблица 4.8 Электрическая система Механическая система 1 вариант П вариант Сила Скорость Вязкое трение Податливость Масса Перемещение Импульс Напряжение Сила тока Сопротивление Емкость Индуктивность Заряд Потокосцепление Сила тока Напряжение Проводимость Индуктивность Емкость Потокосцепление Заряд Энергия электрическая магнитная потенциальная кинетическая магнитная электрическая Мощность тепловыделения в резисторе вязкого трения Пример 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
