XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Д.3.1. Особенности пневматических систем 115 где Т вЂ” температура газа, а  — удельная газовая постоянная для данного газа, измеряемая в —. Дж кг. К Е пневматической системе, как и в гидравлической, величиной, имеющей смысл потенциала, является разность (перепад) ДР давлений. Однако в качестве величины, характеризующей перенос рабочей среды, вместо объемного расхода удобнее рассматривать расход т массы газа, измеряемый в кг/с. Рассмотрим простейшие элементы пневматических систем и сравним их математические модели (ММ) с аналогичными ММ элементов гидравлических систем (см.
3.4). Пусть в сосуде с фиксированным объемом Ъ' находится газ, имеющий температуру Т и давление р, Если этот гэз допустимо считать совершенным, то его плотность в соответствии с (3.32) равна р = —, а масса т = р1' = —. Предположим что р рь ВТ' ЯТ ) масса газа в сосуде изменяется во времени 1 путем закачки или выпуска газа при условии Т = Тд = сопя1.
Тогда получим соотношение Ыт н' др то Нр др "Ж' (3.33) Ро "Смл Кириллин В.А., Сычев В.В., Шебндлин А.В. аналогичное (3.3) для электрического конденсатора, причем Ъ' тв величину С„= — = —, где то и ро — масса и давление газа в ЙТв рв сосуде перед началом процесса его закачки или выпуска, можно считать аналогом емкости С конденсатора или величины С„в уравнении (3.30) для сосуда с несжимаемой жидкостью. Условие Т = То = сопяФ соответствует изотермическому процессу закачки или выпуска газа, и оно выполнимо лишь при весьма интенсивном теплообмене газа со стенками сосуда, которые поддерживаются при этой постоянной температуре Тд, т.е. при бесконечно большой величине коэднриииента теилоотдачи о.
При конечном значении о в соответствии с законом сохранения энергии (первым законом термодинамики*) для еди- 116 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ницы массы (1 кг) газа в случае выпуска его из сосуда запишем Я с„дТ+ ртЬ = а(То — Т) — й, тп (3.34) где с„> 0 — изохорная теплоемкость (или теплоемкость при постоянном объеме) газа, измеряемая в, е = 1/р — удельный Дж кг К объем газа, Я вЂ” площадь поверхности стенок, контактирующих с газом. Первое слагаемое в левой части (3.34) характеризует изменение массовой плотности внутренней ввергни совершенного газа при изменении его температуры, а второе— работу, совершаемую 1кг газа при его расширении (т1о > 0) в процессе выпуска.
Правая часть (3.34) равна тепловой энергии, передаваемой 1кг газа от стенок сосуда за промежуток времени й. В сосуде объемом 1т масса газа равна т = р$' = 1т/ю. Отсюда находим о = 1т/т, до = — —, Ит и после подстановки в (3.34) с учетом (3.32) получаем т1Т 1 Ь Т вЂ” Т ЯТ. Т вЂ” Т с„— = рЯТ вЂ” — + аЯ = — т+ аЯ . (3.35) "й т2й тп т т т1Т х й аЯ аЯ вЂ” Вто Р= х= ДТо — Т то + то 1' а~ — Вто ' с„ Полагая Т = То при 1 = О, после интегрирования находим — '=,В+(1-3)(1+ — ") ' '=Р+(1-3)( — ) ' '. (3.36) То тпо то Используя (3.32) при 1 = 0 и 1 > О, имеем Р/тп Р тпоо Ро/то Ро то т Р/(РЛ) Р/(Р~') То Ро/(РоЮ Ро/(Ро т) Если т = то = сопоФ ( О, то т = то+ то о, где то — масса газа в сосуде перед началом его выпуска в момент времени 1 = О, и в полученном ОДУ можно разделить переменные: Д.3.1.
Особенности пневматических систем 117 я после подстановки в (3.36) получаем —" = Р(1+ — ') + (1 — Р) (1+ — ') . (3.37) ро то то При адиабатическом процессе выпуска газа из сосуда, когда се = О, т.е. теплообмен газа со стенками отсутствует, Д = О, и = -тото/со, и мы из (3.36) и (3.37) находим где у = 1+ В/со — показатель адиабатического процесса. Для совершенного газа с двухатомными молекулами у = 1,40, а если молекулы состоят из трех и более атомов, то* у = 1,29.
Инертные газы имеют одноатомные молекулы, и для них у = 1,67, а для воздуха, если считать его совершенным газом, можно принять у = 1,40. Так как т = У/е, то иэ второго равенства (3.38) следует известное соотношение роч = сопэФ, называемое уравнением адиабаты Пуассона. Записав второе равенство (3.38) в виде т = то(р/ро)~Ут и продифференцировав по времени 1, получим Йт то 1 1 с1р то уро '1 1 1/'~ с1р Йр т= — = р ~ — = — Я вЂ” =С„(р) —.
о1е ~р17ч с1еуро р сН с11 уро 7Ро 11 17~ оно Величина С„(р) = ~ — ) —, являющаяся аналогом емкости р уро конденсатора в (3.3), в данном случае зависит от давления р, т.е. рассматриваемая ММ нелинейна в отличие от линейной ММ (3.33) изотермического процесса. При закачке газа в сосуд в правой части (3.34) необходимо учесть подводимую вместе с газом тепловую энергию: с„дТ+ рсЬ = се(То — Т) — й + — (Т1 — Т) дт, Я с„ т т 'См.: Кнонллнн В.А., Сычев В.В., Шеяндлнн А.Е. 118 3.
мАтемАтические мОдели типОВых элементОВ где Т, — температура подводимого к сосуду газа. Преобразуя это равенство аналогично (3.34), получаем с?Т ??Т, Т вЂ” Т Т вЂ” Т . с„— = — т+ аЯ + с„т. (3.39) й т т т Если т = то = сопяс ) О, то в полученном ОДУ, как и в (3.35), можно разделить переменные: е?Т ясй — аЯТо+ стоТ1 аЯ+ (се — В)то Т вЂ” Т те+то~' аЯ+ (с — ??)то' с После интегрирования и нахождения произвольной постоянной из условия Т = То при 1 = 0 имеем Т = Т+ (Т, - Т) (?+ — ') то (3.40) а ??Т р+ — = —, или „г (3.41) *См:. Теория тепяомассообмеиа.
Отсюда при помощи (3.32) аналогично переходу от (3.36) к (3.37) можно перейти к зависимости давления р в сосуде от времени. Отметим, что при получении (3.36) и (3.40) было принято а = сопяс. В действительности коэффициент теплоотдачи зависит как от давления газа, так и от его температуры*. Кроме того, расход т газа при его закачке в сосуд и выпуске из него может изменяться во времени 1. Все это приводит к тому, что в общем случае не удается получить точные аналитические решения ОДУ (3.35) и (3.39) и их приходится решать численными методами [Ъ???), (Х???]. С увеличением давления р ММ совершенного газа в виде соотношения (3.32) становится неадекватной реальному газу. Дело в том, что эта ММ не учитывает объема, занимаемого молекулами газа, и притяжения между ними.
Влияние указанных факторов отражает, например, уравнение состояния реального газа Д.3.1. Особенности нневматическнл систем 119 предложенное в 1873 году Я.Д. Ван-дер-Ваальсом* . При постоянной температуре и р -+ оо из (3.41) следует, что р -+ 1/о, т.е. б можно интерпретировать как объем, занимаемый собственно молекулами 1кг реального газа. Второй член в правой части (3.41), содержащий параметр а, учитывает влияние притяжения между молекулами такого газа.
Существуют и другие варианты уравнений состояния реального газа*2. Ясно, что использование (3.41) вместо (3.32) приведет к существенному усложнению ММ процессов закачки газа в сосуд и выпуска его из сосуда. Количественный анализ таких ММ удается провести лишь при помощи численных методов. Перейдем к рассмотрению процесса течения газа по трубопроводу. При установившемся ламинарном течении по трубопроводу вязкого газа с постоянным расходом т линейное соотношение Ьр = тйн, Лн сс СОпя1, (3.42) аналогичное закону Ома в виде (3.1), можно считать справедливым лишь при условии, что изменение давления по длине 1 трубопровода вызывает пренебрежимо малое изменение плотности р газа.
В этом случае допустимо принять р = сопяФ, что означает постоянство объемного расхода газа Ч = т/р. Если трубопровод имеет круглое поперечное сечение радиуса г„то можно использовать выражение В„= — л для гидравлического 8я1 яг3 сопротивления при ламинарном течении вязкой несжимаемой жидкости (см. 3.4). В итоге для коэффициента В„в (3.42) по- Я 8н1 лучим лсн 4 п, ег)р' В достаточно длинном трубопроводе изменение давления газа может оказаться существенным, что вызовет заметное изменение плотности газа.
В результате при постоянном расходе т массы газа его объемный расход по длине трубопровода будет переменным. В этом случае длинный трубопровод можно 'Я.Д. Ван-дер-Ваальс (1837-1923) — голландский физик. ° 2 Смл Физические величины. 120 3.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ условно разбить на ряд более коротких участков так, чтобы в пределах каждого из них плотность газа было бы допусти. мо считать постоянной. При этом следует учитывать, что плотность газа в соответствии с уравнением состояния вида (3.32) или (3.34) является функцией не только давления, но и температуры газа, изменяющейся по длине трубопровода в зависимости от характера протекающего в газе термодинамического процесса и теплового взаимодействия газа со стенками трубопровода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
