XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В общем случае эти системы взаимосвязаны, но, используя принцип декомпозиции, их можно представить совокупностью простейших типовых элементов, описываемых сравнительно несложными математическими моделями микроуровня. Среди внеиених и выходных параметров, характеризующих состояние каждого такого элемента, удается выделить величины, имеющие смысл потенциалов и потоков физических субстанций (например, разность электрических потенциалов и сила тока, разность температур и тепловой поток и т.п.).
Эти величины будем называть потпенциальнььми и потпоковыми соответственно. Связь между этими величинами устанавливают при помощи так называемых уравнений состояния элементпа, в которые входят также и его внутренние параметры. 3.1. Электрические двухполюсники Несмотря на различие физических процессов, протекающих в типовых элементах разнообразных технических обьектов, большинство этих элементов удается объединить в три груп- Смл Нвренков И.П. 88 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ пы, каждую из которых удобно охарактеризовать на примере так называемых пассивных элептпричеспих двухполюснипов: резистора, конденсатора без потерь заряда и индуктивной катушки без сопротивления.
Резистор является характерным представителем типового элемента, обладающего свойством оказывать сопротивление переносу некоторой физической субстанции 1в данном случае — электрических зарядов). Для прохождения через такой элемент потока этой субстанции необходимо располагать разностью потенциалов на входе в элемент и выходе из него. Конденсатор обладает свойством накапливать эту субстанцию при повышении разности потенциалов, а индуктивная катушка — свойством инерции, проявляющимся в стремлении сохранить поток этой субстанции неизменным. Оказывается, что среди простейших типовых элементов, в которых протекают процессы иной физической природы по сравнению с электрической системой, существуют элементы со свойствами, аналогичными указанным свойствам резистора, конденсатора и индуктивной катушки.
Поэтому рассмотрение целесообразно начать с уравнений состолнил простейших элементов электрической системы, а затем по аналогии с ними строить математические модели 1ММ) типовых элементов, характерных для других технических систем. Выше (см. 2.3) отмечено, что ММ резистора, описывающей протекание через него электрического тока, является хорошо известная формула (3.1) закона Ома, где сзУ и 1 — падение электрического напряжения (разность электрических потенциалов) на резисторе и сила тока, измеряемые в вольтах*1 1В) и амперах*2 1А) соответственно (рис.
3.1, а); А — сопротпивление реэиспзора, измеряемое в омах (Ом = В/А). Величину д = 1/й называют проводимоспзью реэисгпора, единицей измерения которой является лА. Вольта (1745-1827) — итальянский физик и физиолог. 'зА.М. Ампер (1775 — 1636) — франнузский физик. 89 3.1. Электрические двухполюсники Г1 Рис. 8.1 сименс*1 (См = 1/Ом). Электрическая энергия, затрачиваемая на преодоление сопротивления при протекании через резистор тока, переходит в тепловую энергию, причем измеряемая в ваттах (Вт = В А) мощность тепловыделения на резисторе равна И'=1сзУ=1 В= =д(ЬУ) . 2 (~У) 2 В (3.2) Электрический конденсатор обладает свойством накапливать электрический заряд Я„измеряемый в кулонах*2 (Кл), пропорционально разности потенциалов ЬУ на его обкладках, причем Яе = СЬУ, где С вЂ” емкость конденсатора, измеряемая в фарадах'з (Ф).
Для идеализированного конденсатора с постоянной емкостью, в котором нет перетекания электрического заряда через разделяющий обкладки диэлектрик, при изменении ЬУ во времени 1 в цепи, содержащей последовательно включенный конденсатор (рис. 3.1, б), протекает ток силой 1= — ' т.е. Щ, й ' *'Э.В. Сименс (1816-1892) — немецкий электротехник и промышленник. * Ш.О. Кулон (1736 — 1806) — французский инженер и физик. ' М. Фарадей (1791-1867) — английский физик. 1=С с(1 (3.3) Энергию электрического поля в конденсаторе, равную Ье = = ЯеЬУ/2 = С(ЬУ)2/2 = Я~~/(2С), измеряют в джоулях (Дж). При изменении во времени силы тока, протекающего через индуктивную катушку, возникает электродвижущая сила (ЭДС) самоиндукции, препятствующая изменению силы тока (рис. 3.1, е).
В случае идеализированной (без сопротивления) 90 8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЪ|Х ЭЛЕМЕНТОВ катушки эту ЭДС можно представить как разность потенциалов ЬУ=1— сз1 сй (3.4) на концах катушки, где Ь вЂ” ее индуктивность, измеряемая в генри*1 (Гн). При прохождении электрического тока через катушку каждый ее виток пронизывает некоторый магнитный поток. Для катушки индуктивности принимают, что этот поток одинаков для всех витков (говорят, что он „сцеплен" с каждым витком) и равен Ф = Ь1.
Величину Ф называют потокосцеплением и измеряют в веберах"э (Вб). Энергия магнитного поля катушки, измеряемая в Дж, равна Е = Ф17'2 = 1,19)2 = = Фэ/(2Ь). Таким образом, ММ резистора является алгебраическое уравнение, а для конденсатора и индуктивной катушки ММ имеет форму обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Если считать, что В, С и 1 в (3.1) — (3.4) не зависят от силы тока и напряжения, то зти уравнения устанавливают линейную связь между 1 и ЬУ, что является признаком линейности ММ. Наряду с пассивными двухполюсниками к типовым элементам электрических цепей относят источники напряжения и тока, условное обозначение которых представлено на рис.
3.2, а и б соответственно. Идеальный источник электрического напряжения является двухполюсником, задающим на своих полюсах изменение во времени 1 по определенному закону ЬУ(1) разности напряжений, не зависящей от значения 1($) силы тока, протекающего через него. Это означает, что такой источник имеет столь малое внутреннее сопротивление В, что падением 1(1)А напряжения на таком сопротивлении можно пренебречь по сравнению с ЬУ(1). Наоборот, идеальный источник электрического тока — это двухполюсник, обладающий столь большим *'Дж.
Генри (1797 — 1878) — американский физик. 'зВ.Э. Вебер (1804 — 1891) — немецкий физик. 91 3.1. Электрические деукиолк>сиики Рис. 3.2 Рис. З.З внутренним сопротивлением ле, что изменяющаяся по определенному закону 1(1) сила проходящего через такой источник тока не зависит от разности ЬУ(1) напряжений на его полюсах, т.е. величиной ЬУ(1) можно пренебречь по сравнению с 1(Ф)1е Практически источник тока, близкий к идеальному, можно получить последовательным соединением источника достаточно большого напряжения и резистора с сопротивлением Л', существенно превосходящим сопротивление внешней злектрической цепи (рис.
3.3, а). Близким к идеальному источнику напряжения будет двухполюсник, состоящий из параллельно соединенных источника тока и резистора с сопротивлением 1е„существенно меньшим сопротивления внешней цепи (рис. 3.3, б). Пусть через резистор течет переменный во времени 1 ток силой (3.5) 1(1) = 1о Я1п(и>1+ >>оо) > где 1о — амплитуда колебаний силы тока, ш — углов оя частота и >до — начальная фаза нояебаний. Величину ш1+>ро называют фазой колебаний. В соответствии с законом Ома для падения напряжения на резисторе с сопротивлением В получим ~~уя(е) = Ф)ле = толеа1п(и>е+ >ро). (З.б) Таким образом, для резистора сила тока и падение напряжения имеют одинаковую начальную фазу колебаний (говорят, что они совпадают по фазе), т.е.
зти величины одновременно достигают нулевых, максимальных и минимальных значе- 92 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рис. 3.4 ний (рис. 3.4). В атом случае средняя за период Т = 2я/ы колебаний силы тока мощность тепловыделения на резисторе равна т т ' (,) г(,) 1,1„(,~~,), 1 10™ г ° 2 14п Т/ т ./ 2 т.е. она вдвое меньше наибольшего мгновенного значения мощности, соответствующего прохождению через тот же резистор постоянного тока силой 1з. Если изменяющийся по закону (3.5) ток течет через катушку с индуктивностью 1, то в соответствии с (3.4) на катушке возникнет падение напряжения й1 / я~ МОЯ = Ь вЂ” =~о11з соя(ьИ+~ро) =~а11оз1п~ ы1+~ро+ -) ° (3 7) сй 2) Учитывая (З.З), несложно установить, что для протекания такого тока в цепи, внешней по отношению к конденсатору емкостью С, падение напряжения на конденсаторе должно изменяться по закону 1о 1о я '1 Ь11с(~) = — — соз(а~+ <ро) = — ейп~сп+ де — — ) (3 8) шС шС 2) Итак, для конденсатора изменение падения напряжения отстает по фазе на я/2 от изменения силы тока, а для индуктивной катушки, наоборот, опережает на я/2 (см.
рис. 3.4). 3.1. Электрические днукнолюсники 83 Используя показательную форму представления комплексного числа и формулу Эйлера [Х], вместо (3.5)-(3.8) запишем комплексные предстпавления соответствующих функиий: 1(1) = ?ш(1е' '), ЬБнЯ =?т(ЬОяе™), М1ь(с) =?ш(Лье' '), клас(е) =?ш(ЬОсе' '), где 1 = 1ое'4'е Ын = 1отсе'~е ЬОь = ш11ое'(Яе~ кl~) и ЬУс = — 1 ейке к~~~/(ыС) — комплексные амплитпУды силы тока и соответствующих падений напряжения, ? = — 1, ?шг — мнимая .г часть комплексного числа я. Отношения Яу, = =ш1е =иеЬ, иг/2 Т (3.9) 2з?1с е ' '12 гс = 1 ыС ыС называют комплексными сопротивлениями соответствующих электрических двухполюсников или импедансами (от латинского слова 1шрее?1о — препятствую).
При изменяющемся по закону (3.5) токе говорят об актпивном сопротпивлении ?? резистора, индуктпивном сопротивлении ш1 катушки и емкостпном сопротаивлении 1/(шС) конденсатора. Последние два термина объединяют общим термином иреактпивное сопротивление". Ксли резистор, индуктивную катушку и конденсатор рассматривать как звено, преобразующее входной сигнал (силу тока 1($)) в выходной сигнал (падение напряжения), то соответствующее комплексное сопротивление называют комп.лексным передатпочным числом такого звена или комплексным коэ44иниентпом усиления. Зависимости модуля А(ее) комплексного передаточного числа и главного значения 94 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
