Главная » Просмотр файлов » XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике

XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 13

Файл №1081441 XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 13 страницаXXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441) страница 132018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Аналогично можно поступить и с безразмерным коэффициентом Пуассона м. Важно лишь на заключительной стадии формирования безразмерных комбинаций определяющих параметров включить х, и а в число аргументов искомых функций. Столбцы матрицы размерностей, выраженных через к = = 4 стандартные единицы измерения, для оставшихся п = 11 определяющих параметров представлены в табл.

2.2. Таблица Я.Е Перестановкой столбцов эту матрицу можно представить как ступенчатую (табл. 2.3). Таблица Я.З Определитель, составленный из четырех первых столбцов, соответствующих параметрам 1, р, 2 и Те (см. табл. 2.3), отличен от нуля, так что ранг матрицы размерностей г = и = 4. Поэтому в силу П-теоремы из размерных параметров х1 — — 1, х2 Р1 хз 21 Х4 = Та, жа = Р, хе = б)> х7 = Я, х8 = ол) л9 = ж, яш = Л и хм = с можно составить й= и — к = 7 независимых безразмерных комбинаций.

Показатели 22, 2' = 1, 11, этих параметров в выражении для каждой из таких комбинаций вида (2.16) удовлетворяют однородной СЛАУ (2.17). 75 Д.2.1. Введеиие в теорию рлвмериоетей я1 = — 428 — 520 — 2ят — Зяд — 4зш — 2яы, л2 = лз иб Ят Яд и10> яз = 2зз+320+2ят+329+3210+22ы, 24 = Яз+ Яд + 210 + Я11 ° Эначения свободных неизвестных в правых частях этих равенств можно выбрать произвольно. Выбирая эти значения последовательно, так, чтобы одно из них равнялось единице, а остальные нулю, получаем из записанных равенств значения гт, у = 1, 11, показателей степени, с которыми определяющие параметры входят в семь безразмерных комбинаций вида (2.16). Эти значения представлены в табл. 2.4. Таблица 2.4 При помощи этой таблицы запишем выражения для безразмерных комбинаций: рл2 д23 П1= —, П2= —, ?4р ' ?зр ' л2д Пз ?2р ' П4 = селТ0> зз Тел 42Тдс П8=, Пт= 14 ' ?2 18Тдо П = —, ?з, Для нахождения фундаментальной системы решений СЛАУ казанный определитель примем в качестве базисного минора Уматрицы размерностей, поэтому неизвестные я?, у = 1, 4, будут базисными [???).

Учитывая ступенчатый вид матрицы размерностей, выразим базисные неизвестные через свободные: 2. МА ТЕМА ТИ ЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Обычно при исследовании упругих конструкций, одновремен- но подверженных механическому и тепловому воздействиям, используют несколько видоизмененную систему независимых безразмерных комбинаций — критериев подобия: П1 Р , П2П4 4,1слл , ПЗП4 Есле Пз Е)~' Пб Л1 ' П7 ср ' Пб сл) Пб= = ) Пб Л' П4 = сллТо, П7= П2 = Л2р Пб 1Л Пб —— — — — — ) П7 12ср Т= — = 71го,чьи,П1,П2,Пз,П4,В1,П~7), сн й; = †' = ЯРо,х;,и,П1,П2,ПЗ,П4,В1,П7), 4 = 1,2,3.

'В.Л. Кирпичев (1845 — 1913) — российский ученый в области теоретической механики и сопротивления материалов 'зСмл Шаповалов Л.А. *зЖ.Б. Бно (1774 — 1862) — французский физик 4Ж.Б.Ж. Фурье (1768 — 1830) — французский математик и физик. Первый из них, как правило, называют механическим критерием Кирпичева'1, а второй и третий — термомеханическими критериями подобия*2).

Безразмерную комбинацию П', характеризующую соотношение между термическими сопротивлениями конструкции и теплоотдачи к окружающей среде, называют зсрелтерелем Бело'3 и обозначают В1= 421/Л, а П~б— критерием Фурье, обозначаемым Ро = — и характеризуе4 Лс ори ющим скорость изменения температурного поля. В итоге, учитывая коэффициент Пуассона и и введенные в начале безразмерные координаты, искомые зависимости безразмерных температуры и проекций перемещения можно представить в виде Д.2.2. Предстакзеиие ММ в Веэраэмериой форме 77 Дополнение 2.2. Представление математической модели в безразмерной форме Выше (см.

2.5 и Д.2.1) рассмотрено применение П-теоремы к построению нолуэмнирических математических моделей (ММ) в виде зависимостей между безразмерными комбинациями параметров — критериями подобия. Эту теорему целесообразно использовать и для представления в безразмерной форме аналитических математических моделей, полученных теоретическим путем. Такая форма упрощает качественный анализ ММ и позволяет в удобном виде представить результаты ее количественного исследования. Проследим этапы приведения к безразмерной форме довольно сложной математической модели микроуровня, описывающей процесс взаимодействия твердого тела с вязкой сжимаемой средой (газом'), движущегося в ней с постоянной скоростью.

В частности, такая ММ описывает движение летательного аппарата в плотных слоях атмосферы. Гвз считаем совершенным, т,е. подчиняющимся уравнению состояния (3.32) Клапейрона — Менделеева в виде р = рЛТ, где р, р, Т вЂ” давление, плотность и температура газа, измеряемые в паскалях (Па = — ), килограммах на кубический м сз метр (кг/мз) и кельвинах (К) соответственно, ззс — газовая Дж Нм м постоянная, измеряемая в = = —. Изохорную текг К кг К сз.К плоемкость ск газа (или теплоемкость при постоянном объеме), измеряемую в тех же единицах, что и яс, примем не зависящей от его температуры, а коэффициент объемной вязкости газа— Равным нулю.

Зависимость коэффициентов теплопроводности А газа и его сдвиговой вязкости з7 от температуры (единицы Вт кг. м кг измерения этих коэффициентов — — = — и Па с =— и,К з,К м.с *См:. Седов Л.И. (1977 г.) 78 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ соответственно), приближенно представим в виде Л Ч Гт ЛО чв ТО ор до; — +р — '=О, й дх; (2.18) г = 1, 2, 3, уравнениям движения в проекциях на оси координат [Х111] йц др 2 д 7 до,~ дЯВ) р — '=6; — — — — — р — з)+2 з, 1,2=1,2,3, (2.19) й ' дх, Здх,Л дх) дх и уравнению переноса энергии сур — +р — ' = — ~Л вЂ” ) +2Ч~~-Б; — — ~ — '), (2.20) 12 дх, д*;~ д;) ' " 3~д*;) ' где 1 — время, измеряемое в с; о; и 6; — проекции векторов и скорости газа и Ь плотности объемных сил на координатные оси (эти проекции измеряют в м/с и — соответственно); м~ с 1/дм до,Л С; = — ~ — + — ) — компоненты тензора скоростей дефор- 2 Лдхв дх;) маний, измеряемые в 1/с, б; = 1 при г = у' и 4 = О при г 2~ 2 где Лв и пв — значения Л и и при температуре То, которую имеет газ плотностью ро на достаточно большом расстоянии от тела.

Величину и часто называют динальичесним коэффициентом влзносгпи. Движение твердого тела с постоянной скоростью 0 относительно газа равносильно обтеканию неподвижного тела потоком газа, имеющим на достаточно большом расстоянии от тела скорость о, = — о. Выберем систему координат Ох1хзхз, неподвижно связанную с твердым телом так, чтобы направление скорости о, совпадало с положительным направлением оси Охь Тогда на поверхности Я твердого тела, имеющего характерный размер 1 и температуру Т, вектор и скорости газа будет нулевым в силу свойства вязкости газа [Х111].

В области вне тела параметры газа удовлетворяют уравнению неразрывности Д.2.2. Представление ММ в безразмерной форме 79 [в (2.18) — (2.20) использовано правило суммирования по повторяющимся индексам г', 2 = 1, 2, 3). Считая ось Охз направленной вертикально вверх, примем, что в (2.19) 51 = 62 =0 и 52 = -рд, где д — ускорение свободного падения, измеряемое в м/с~. оо 22 Можно показать*, что 2цфб; — ~ ( — ') > О, причем равенство нулю возможно при радиальном расширении или сжатии газа и при его движении без деформаций как абсолютно твердого тела.

Эти два слагаемых в правой части (2.20) равны суммарной объемной мощности энерговыделения за счет диссипации кинетической энергии газа в силу его вязкости. Отметим, что, хотя рассматриваемый процесс установившийся, т.е. параметры газового потока и твердого тела не изменяются во времени 2, полные производные по ~ в левых частях (2.18) — (2.20) не равны тождественно нулю, поскольку в случае неоднородных полей плотности, скорости и температуры их переносные (конвективные) производные отличны от нуля [Х???]. Из (2.18)-(2.20) и перечисленных допущений следует, что при фиксированных форме тела и его ориентации относительно системы координат процесс его взаимодействия с газовым потоком характеризуют и = 10 размерных определяющих параметров ху я =1 и: х1=?) х2=ро~ хе в ооо~ х4=ТВ1 хе=а~ *в = по, хт = Ло, хв = ??, хо = ар, хш = д, размерности которых можно выразить через к = 4 независимые стандартные единицы измерения м, кг, с, К.

Столбцы матрицы размерностей для этих параметров представлены в табл. 2.5. Таблица Я.Б "Смл Лойцлисной Л.Г. 80 З. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Матрица размерностей ступенчатая, а определитель, составленный из первых четырех ее столбцов, равен — 1, поэтому ее ранг т равен т = я = 4. Согласно П-теореме, из размерных параметров т7, 7 = 1, 10, можно составить 71 = и — й = 6 независимых безразмерных комбинаций.

Показатели г степеней этих параметров в выражении для каждой безразмерной комбинации вида (2.16) удовлетворяют однородной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида (2.17), матрица которой является матрицей размерностей. Примем ~;, у = 1, 4, в качестве базисных неизвестных и выразим их через свободные неизвестные я7, у = 5, 10, используя ступенчатый вид матрицы размерностей: З1 = Яв Я7 + Я10~ ЗЗ = — Я — Я7, зз = — зв — Зят — 288 — 289 — 2я10, Я4 = зв+ 87+ зв+Я9. Выбирая значения свободных неизвестных в правых частях этих равенств последовательно, так, чтобы одно из них равнялось единице, а остальные — нулю, получаем 07уядаментальяую систему решений однородной СЛАУ в виде шести наборов значения 87, у = Г1Т, показателей степени, с которыми определяющие параметры т входят в шесть безразмерных комбинаций вида (2.16).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,18 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6551
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее