XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Аналогично можно поступить и с безразмерным коэффициентом Пуассона м. Важно лишь на заключительной стадии формирования безразмерных комбинаций определяющих параметров включить х, и а в число аргументов искомых функций. Столбцы матрицы размерностей, выраженных через к = = 4 стандартные единицы измерения, для оставшихся п = 11 определяющих параметров представлены в табл.
2.2. Таблица Я.Е Перестановкой столбцов эту матрицу можно представить как ступенчатую (табл. 2.3). Таблица Я.З Определитель, составленный из четырех первых столбцов, соответствующих параметрам 1, р, 2 и Те (см. табл. 2.3), отличен от нуля, так что ранг матрицы размерностей г = и = 4. Поэтому в силу П-теоремы из размерных параметров х1 — — 1, х2 Р1 хз 21 Х4 = Та, жа = Р, хе = б)> х7 = Я, х8 = ол) л9 = ж, яш = Л и хм = с можно составить й= и — к = 7 независимых безразмерных комбинаций.
Показатели 22, 2' = 1, 11, этих параметров в выражении для каждой из таких комбинаций вида (2.16) удовлетворяют однородной СЛАУ (2.17). 75 Д.2.1. Введеиие в теорию рлвмериоетей я1 = — 428 — 520 — 2ят — Зяд — 4зш — 2яы, л2 = лз иб Ят Яд и10> яз = 2зз+320+2ят+329+3210+22ы, 24 = Яз+ Яд + 210 + Я11 ° Эначения свободных неизвестных в правых частях этих равенств можно выбрать произвольно. Выбирая эти значения последовательно, так, чтобы одно из них равнялось единице, а остальные нулю, получаем из записанных равенств значения гт, у = 1, 11, показателей степени, с которыми определяющие параметры входят в семь безразмерных комбинаций вида (2.16). Эти значения представлены в табл. 2.4. Таблица 2.4 При помощи этой таблицы запишем выражения для безразмерных комбинаций: рл2 д23 П1= —, П2= —, ?4р ' ?зр ' л2д Пз ?2р ' П4 = селТ0> зз Тел 42Тдс П8=, Пт= 14 ' ?2 18Тдо П = —, ?з, Для нахождения фундаментальной системы решений СЛАУ казанный определитель примем в качестве базисного минора Уматрицы размерностей, поэтому неизвестные я?, у = 1, 4, будут базисными [???).
Учитывая ступенчатый вид матрицы размерностей, выразим базисные неизвестные через свободные: 2. МА ТЕМА ТИ ЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Обычно при исследовании упругих конструкций, одновремен- но подверженных механическому и тепловому воздействиям, используют несколько видоизмененную систему независимых безразмерных комбинаций — критериев подобия: П1 Р , П2П4 4,1слл , ПЗП4 Есле Пз Е)~' Пб Л1 ' П7 ср ' Пб сл) Пб= = ) Пб Л' П4 = сллТо, П7= П2 = Л2р Пб 1Л Пб —— — — — — ) П7 12ср Т= — = 71го,чьи,П1,П2,Пз,П4,В1,П~7), сн й; = †' = ЯРо,х;,и,П1,П2,ПЗ,П4,В1,П7), 4 = 1,2,3.
'В.Л. Кирпичев (1845 — 1913) — российский ученый в области теоретической механики и сопротивления материалов 'зСмл Шаповалов Л.А. *зЖ.Б. Бно (1774 — 1862) — французский физик 4Ж.Б.Ж. Фурье (1768 — 1830) — французский математик и физик. Первый из них, как правило, называют механическим критерием Кирпичева'1, а второй и третий — термомеханическими критериями подобия*2).
Безразмерную комбинацию П', характеризующую соотношение между термическими сопротивлениями конструкции и теплоотдачи к окружающей среде, называют зсрелтерелем Бело'3 и обозначают В1= 421/Л, а П~б— критерием Фурье, обозначаемым Ро = — и характеризуе4 Лс ори ющим скорость изменения температурного поля. В итоге, учитывая коэффициент Пуассона и и введенные в начале безразмерные координаты, искомые зависимости безразмерных температуры и проекций перемещения можно представить в виде Д.2.2. Предстакзеиие ММ в Веэраэмериой форме 77 Дополнение 2.2. Представление математической модели в безразмерной форме Выше (см.
2.5 и Д.2.1) рассмотрено применение П-теоремы к построению нолуэмнирических математических моделей (ММ) в виде зависимостей между безразмерными комбинациями параметров — критериями подобия. Эту теорему целесообразно использовать и для представления в безразмерной форме аналитических математических моделей, полученных теоретическим путем. Такая форма упрощает качественный анализ ММ и позволяет в удобном виде представить результаты ее количественного исследования. Проследим этапы приведения к безразмерной форме довольно сложной математической модели микроуровня, описывающей процесс взаимодействия твердого тела с вязкой сжимаемой средой (газом'), движущегося в ней с постоянной скоростью.
В частности, такая ММ описывает движение летательного аппарата в плотных слоях атмосферы. Гвз считаем совершенным, т,е. подчиняющимся уравнению состояния (3.32) Клапейрона — Менделеева в виде р = рЛТ, где р, р, Т вЂ” давление, плотность и температура газа, измеряемые в паскалях (Па = — ), килограммах на кубический м сз метр (кг/мз) и кельвинах (К) соответственно, ззс — газовая Дж Нм м постоянная, измеряемая в = = —. Изохорную текг К кг К сз.К плоемкость ск газа (или теплоемкость при постоянном объеме), измеряемую в тех же единицах, что и яс, примем не зависящей от его температуры, а коэффициент объемной вязкости газа— Равным нулю.
Зависимость коэффициентов теплопроводности А газа и его сдвиговой вязкости з7 от температуры (единицы Вт кг. м кг измерения этих коэффициентов — — = — и Па с =— и,К з,К м.с *См:. Седов Л.И. (1977 г.) 78 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ соответственно), приближенно представим в виде Л Ч Гт ЛО чв ТО ор до; — +р — '=О, й дх; (2.18) г = 1, 2, 3, уравнениям движения в проекциях на оси координат [Х111] йц др 2 д 7 до,~ дЯВ) р — '=6; — — — — — р — з)+2 з, 1,2=1,2,3, (2.19) й ' дх, Здх,Л дх) дх и уравнению переноса энергии сур — +р — ' = — ~Л вЂ” ) +2Ч~~-Б; — — ~ — '), (2.20) 12 дх, д*;~ д;) ' " 3~д*;) ' где 1 — время, измеряемое в с; о; и 6; — проекции векторов и скорости газа и Ь плотности объемных сил на координатные оси (эти проекции измеряют в м/с и — соответственно); м~ с 1/дм до,Л С; = — ~ — + — ) — компоненты тензора скоростей дефор- 2 Лдхв дх;) маний, измеряемые в 1/с, б; = 1 при г = у' и 4 = О при г 2~ 2 где Лв и пв — значения Л и и при температуре То, которую имеет газ плотностью ро на достаточно большом расстоянии от тела.
Величину и часто называют динальичесним коэффициентом влзносгпи. Движение твердого тела с постоянной скоростью 0 относительно газа равносильно обтеканию неподвижного тела потоком газа, имеющим на достаточно большом расстоянии от тела скорость о, = — о. Выберем систему координат Ох1хзхз, неподвижно связанную с твердым телом так, чтобы направление скорости о, совпадало с положительным направлением оси Охь Тогда на поверхности Я твердого тела, имеющего характерный размер 1 и температуру Т, вектор и скорости газа будет нулевым в силу свойства вязкости газа [Х111].
В области вне тела параметры газа удовлетворяют уравнению неразрывности Д.2.2. Представление ММ в безразмерной форме 79 [в (2.18) — (2.20) использовано правило суммирования по повторяющимся индексам г', 2 = 1, 2, 3). Считая ось Охз направленной вертикально вверх, примем, что в (2.19) 51 = 62 =0 и 52 = -рд, где д — ускорение свободного падения, измеряемое в м/с~. оо 22 Можно показать*, что 2цфб; — ~ ( — ') > О, причем равенство нулю возможно при радиальном расширении или сжатии газа и при его движении без деформаций как абсолютно твердого тела.
Эти два слагаемых в правой части (2.20) равны суммарной объемной мощности энерговыделения за счет диссипации кинетической энергии газа в силу его вязкости. Отметим, что, хотя рассматриваемый процесс установившийся, т.е. параметры газового потока и твердого тела не изменяются во времени 2, полные производные по ~ в левых частях (2.18) — (2.20) не равны тождественно нулю, поскольку в случае неоднородных полей плотности, скорости и температуры их переносные (конвективные) производные отличны от нуля [Х???]. Из (2.18)-(2.20) и перечисленных допущений следует, что при фиксированных форме тела и его ориентации относительно системы координат процесс его взаимодействия с газовым потоком характеризуют и = 10 размерных определяющих параметров ху я =1 и: х1=?) х2=ро~ хе в ооо~ х4=ТВ1 хе=а~ *в = по, хт = Ло, хв = ??, хо = ар, хш = д, размерности которых можно выразить через к = 4 независимые стандартные единицы измерения м, кг, с, К.
Столбцы матрицы размерностей для этих параметров представлены в табл. 2.5. Таблица Я.Б "Смл Лойцлисной Л.Г. 80 З. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Матрица размерностей ступенчатая, а определитель, составленный из первых четырех ее столбцов, равен — 1, поэтому ее ранг т равен т = я = 4. Согласно П-теореме, из размерных параметров т7, 7 = 1, 10, можно составить 71 = и — й = 6 независимых безразмерных комбинаций.
Показатели г степеней этих параметров в выражении для каждой безразмерной комбинации вида (2.16) удовлетворяют однородной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида (2.17), матрица которой является матрицей размерностей. Примем ~;, у = 1, 4, в качестве базисных неизвестных и выразим их через свободные неизвестные я7, у = 5, 10, используя ступенчатый вид матрицы размерностей: З1 = Яв Я7 + Я10~ ЗЗ = — Я — Я7, зз = — зв — Зят — 288 — 289 — 2я10, Я4 = зв+ 87+ зв+Я9. Выбирая значения свободных неизвестных в правых частях этих равенств последовательно, так, чтобы одно из них равнялось единице, а остальные — нулю, получаем 07уядаментальяую систему решений однородной СЛАУ в виде шести наборов значения 87, у = Г1Т, показателей степени, с которыми определяющие параметры т входят в шесть безразмерных комбинаций вида (2.16).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
