XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ясно, что для величины, равной произведению размерных величин, показатели размерности равны алгебраической сумме соответствующих показателей сомножителей. Например, размерность мощности Я следует из выражения [д] [ ] П [ ]а„, [1]а~ [1]а] [1]а~ [1]-а[ [1] () > () > ((> (е) (о ]а [1]а( +а( [1]ас — а, где а(() = а(') = 1. В итоге получаем [ф = [т][1] [1] з = = Вт (ватт). 'Смл Шаповалов Л.А. *е * От латннского слова савйе)а — свеча. Д.2.1. Введение в теорию размерностей Отметим, что для принятой системы основных единиц измерения размерность любой величины может быть представлена лишь единственным образом.
Итак, существенное предполо,кение теории размерностей состоит в том, что размерность любой рассматриваемой величины х можно представить в виде так называемого степенного одночлена (. ) =П(5'1" а=1 (2.15) п =П* (2.16) где в — некоторые показатели степени, и найдем число й степенных одночленов этого вида при условии, что они являются независимыми (т.е. ни один из них нельзя представить произведением степеней других) и безразмерными. При помощи (2.15) где (Ц] — размерности й величин, принятые в качестве основных единиц измерения, аб — некоторые показатели степени. Наименьшую совокупность размерных и безразмерных величин, необходимых и достаточных для однозначного описания изучаемого ТО, в теории размерностей называют определяютиими параметпрами.
К ним относят геометрические и физические характеристики ТО и независимые переменные, включая пространственные координаты и время. Величины, зависящие от определяющих параметров, называют определяемыми параметпрами. Определяющие и определяемые параметры образуют совокупность основных параметпров данного ТО. Формирование совокупности основных параметров для некоторых ТО рассмотрено в примерах 2.1 — 2.3. Пусть рассматриваемый ТО характеризуют и основных параметров х ) О, т = 1.,п, для каждого из которых справедливо (2.15). Рассмотрим степенной одночлен 70 2.
МА ТЕМА ТИЧЕ ОКА Я МОДЕЛЬ выразим размерность П, равную единице, через размерности к величин, принятых в качестве основных единиц измерения: и; Й в в и »П»=П~П»'».")'=П~'» = .=Х-. о=1 1=1 1=1 1=1 Таким образом, условием равенства единице размерности степенного одночлена П является выполнение й равенств 171 = =О, 1=1,Й, или (2.17) а;дл = О, 1 = 1, Й.
Известно [П1», что однородная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (2.17) относительно и неизвестных л,, о' =1, и, с матрицей (а1 ) ранга г имеет набор из п — г линейно независимых решений, образующих фундаоленп1альную систему решений этой СЛАУ. Таким решениям соответствуют ровно и — г независимых степенных одночленов По, д = 1, и — т, размерности, равной единице, поскольку показатели степени л любого другого степенного одночлена П, будучи решениями СЛАУ (2.17), могут быть представлены линейной комбинацией решений из фундаментальной системы, а это означает, что П можно представить произведением степеней По.
Ранг т матрицы (св1 ), называемой матприцей разлверностей, при п ) к может принять наибольшее возможное значение, равное числу й ее строк. В этом случае из п основных параметров можно составить й = п — Й безразмерных комбинаций, т.е. степенных одночленов, что и является одним из утверждений П-теорел1ы (см. 2.5). Но в общем случае г ( й, и поэтому формулировку П-теоремы следует уточнить*: имеющую физический смысл зависимость между п основными параметрами, характеризующими изучаемый объект, можно представить в виде зависимости между П = п — т их независимыми безраз- 'Смл Лойнлноний Л.Г.; Шаповалов Л.А.
Д.2.1. Введение в теорию размерностей 71 мерными комбинациями, где т — ранг матрицы размерностей, элементами которой являются показатели в выражениях вида (2.15) для размерности этих параметров. Второе утверждение этой теоремы состоит в том, что при помощи безразмерных комбинаций — критериев иодобил— можно привести к безразмерному виду любую зависимость между и параметрами, имеющую физический смысл. Действительно, если такая зависимость содержит слагаемые, то их размерность должна быть одинаковой, а аргументы показательных, тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций (кроме, может быть, степенных) должны быть безразмерными. Поэтому такую зависимость путем элементарных операций можно представить в безразмерном виде. В большинстве прикладных задач т = й.
Несложно проверить, что это равенство выполнено в примерах 2.1 — 2.3. Однако возможны случаи, когда т ( Й, что заставляет при применении теории размерностей проверять ранг матрицы размерностей. Пример 2.5. Известно', что в стержне с круглым поперечным сечением диаметра с( при растяжении силой Р возникает Р растягивающее напряжение о =,, а перемещение одного торца стержня относительно другого при сохранении материР1 алом свойств линейной упругости равно и = оЦЕ =, где ЕтР(4 ' 1 — длина стержня до нагружения и Š— модуль упругости материала стержня при растяжении.
Применим к этой элементарной задаче теорию размерностей. В данном случае единицами измерения четырех определяющих параметров Р, Е и с(, 1 являются ньютон (Н), паскаль (Па) и метр (м) соответственно, а двух определяемых параметров о и и — паскаль и метр. Размерности п = 6 основных параметров выразим через Й = 3 основные единицы измерения: длины (м), массы (кг) и времени (с). Тогда получим матрицу Размерностей, столбцы которой представлены в табл. 2.1. *Смс Феодосьев В.В. (1999 г.) 72 2.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Таблица 2.1 Так как вторая и третья строки матрицы размерностей пропорциональны, то ее ранг т = 2 < к = 3, и, согласно П-теореме, в данном случае основные параметры образуют й = и — т = = 4 независимые безразмерные комбинации. В качестве таких комбинаций можно взять П1 = 1/И, Пз = Р/(Его), Пз = а/Е и П4 = и/с1 и, используя их, приведенные выше две зависимости между основными параметрами представить в безразмерном 4 4 виде: Пз = — Пз и П4 = — П1Пз. Отметим, что если вместо П4 в качестве безразмерной комбинации выбрать П4 — — и/1, то получим П4 — — — Пг, т.е. крите- 4 рий геометрического подобия П1 останется неиспользованным.
При таком выборе безразмерных комбинаций остается в силе формулировка П-теоремы, приведенная в 2.5: для представления в безразмерном виде зависимостей между основными параметрами достаточно взять й = п — Й = 3 безразмерные комбинации Пг, Пз и П~4. С увеличением значений и и Й для построения безразмерных комбинаций основных параметров целесообразно использовать процедуру получения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ вида (2.17). При этом следует стремиться к выбору такой системы решений, которая бы позволяла включить каждый определяемый параметр не более чем в один критерий подобия. Это же требование желательно выполнить и по отношению к каждому из определяющих параметров, являющихся независимыми переменными (например, время и пространственные координаты, когда они входят в число основных параметров, или определяющие параметры, изменяемые при проведении эксперимента, результаты которого представляют Д.2,1.
Введение в теорию размерностей 73 в виде иолуэмиирической матаематической модели). Для выполнения этого требования удобно располагать столбцы матрицы размерностей в соответствии с такой последовательностью расположения основных параметров: определяемые параметры, изменяемые при проведении эксперимента определяющие параметры, время и пространственные координаты, неизменяемые определяющие параметры. Пример 2.6. Закрепленная неподвижно конструкция, изготовленная из изотропного линейно упругого материала с модулем упругости на растяжение Е, коэффициентами Пуассона* р, линейного расширения сх„и теплопроводности А, удельной теплоемкостью с и плотностью р, подвержена воздействию силы Р(1) и теплового потока ф$), изменяющихся во времени 1 по заданным законам.
На поверхности конструкции с характерным линейным размером 1 происходит теплообмен, характеризуемый коэффициентом теплоотдачи а, с окружающей средой, имеющей температуру То, совпадающую с начальной температурой конструкции в момент времени 1= О. Возникающие в конструкции поле температуры Т(1, х;) и поле вектора перемещения и(1,хе) зависят от времени и координат х;, 4 = 1,2,3, прямоугольной декартовой системы координат Ох1хзхз. В данном случае температура Т конструкции и проекции и; вектора перемещения на оси координат являются определяемыми параметрами. Их сразу можно представить в безразмерном виде: Т = Т(То, й= и111, г' = 1, 2, 3. Через них при необходимости можно выразить компоненты о,1, г', 1 = 1, 2, 3, напряжения в материале конструкции, также представленные в безразмерной форме о;д — — о11/Е.
Если ввести безразмерные координаты х = хф как аргументы искомых функций безразмерных температуры и проекций вектора перемещения, то х; можно не включать в число определяющих параметров, так как добавление или отбрасывание столбцов, состоящих из нулевых злемен- *С Д. Пуассон (1781 — 1840) — французский механик, физик и математик. 74 2. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ тов, не изменяет ранга матрицы размерностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
