XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров ТО, составляющих вектор т ц у = (У1 У2 ° Уь Ун) Е ж Пусть у, и уу — найденное при помощи ММ и реальное значения 4-го выходного параметра. Тогда относительная погрешность ММ по отношению к этому параметру будет равна м Р Уь У1 Е; = ' р ', 1 = 1,П. у.
В качестве скалярной оценки вектора т Е = (Е1 Е2 ° ° ° Е1 ° ° ° Ен) Е ж можно принять какую-либо его норму, например 2 или е= шах)е;!. 'Г.С. Ом (1787 — 1854) — немецкий физик. 2.3. Свойства математических моделей 41 Поскольку выходные параметры ТО при помощи ММ связаны с его внешними и внутренними параметрами, то е, как количественная характеристика точности модели этого ТО, будет зависеть от координат векторов ш и д. А дене атпностпь ММ вЂ” это способность ММ описывать выходные параметры ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения Д. Пусть при некоторых ожидаемых номинальных значениях внешних параметров ТО, составляющих вектор ж„о„, из условия минимума е путем решения задачи конечномерной оптимизации ~Х?Ч] найдены значения внутренних параметров, составляющие вектор д„о„и обеспечивающие минимальное значение е,„;„относительной погрешности ММ.
Тогда при фиксированном векторе д„„можно построить множество Х=(жЕ??~:е<б) СК~, называемое областпью аденватпностпи данной ММ. Ясно, что Х = И при о < е„„„, а чем больше заданное значение б > е тем шире область адекватности ММ, т.е. эта ММ применима в более широком диапазоне возможного изменения внешних параметров ТО. В более общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны в данном конкретном случае. Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик того же ТО.
В ряде прикладных областей, еще недостаточно подготовленных к применению количественных математических методов, ММ имеют главным образом качественный характер. Эта ситуация типична, например, для биологической и социальной сфер, в которых количественные закономерности не всегда поддаются строгой математической Формализации.
В таких случаях под адекватностью ММ естественно понимать лишь правильное качественное описание поведения изучаемых объектов или их систем. 42 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Экономичностпь ММ оценивают затратами на вычислительные ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации ММ на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от размерности пространства фазовых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других факторов. Очевидно, что требования экономичности, высокой точности и достаточно широкой области адекватности ММ противоречивы и на практике могут быть удовлетворены лишь на основе разумного компромисса.
Свойство экономичности ММ часто связывают с ее простотой. Более того, количественный анализ некоторых упрощенных вариантов ММ может быть осуществлен и без привлечения современной вычислительной техники. Однако его результаты могут иметь лишь ограниченную ценность на стадии отладки алгоритма или ЭВМ-программы (см. 1.2 и рис. 1.1), если упрощение ММ не согласовано с расчетной схемой ТО. Робастность ММ (от английского слова гоЬпяФ вЂ” крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента.
Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в ММ функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью. Иногда стремление увеличить полноту ММ приводит к снижению ее робастности вследствие введения дополнительных параметров, известных с невысокой точностью или входящих в слишком приближенные соотношения. Продухтивносгпь ММ связана с возможностью располагать достаточно достоверными исходными данными.
Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании ММ. В противном случае ММ будет 43 2.4. Структурные и функциональные модели непродуктивной и ее применение для анализа конкретного ТО теряет смысл.
Ее можно будет использовать лишь для оценки характеристик некоторого класса ТО с гипотетическими исходными данными. Наелядность ММ является ее желательным, но необязательным свойством. Тем не менее использование ММ и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.
В дальнейшем на конкретных примерах будут проиллюстрированы отмеченные выше свойства ММ (см. 3 и 6). 2.4. Структурные и функциональные модели Различные особенности и признаки математических моделей (ММ) лежат в основе их типизации (или классификации). Среди таких признаков выделяют характер отображаемых свойств техническоео объекта (ТО), степень их детализации, способы получения и представления ММ. Один из существенных признаков классификации связан с отражением в ММ тех или иных особенностей ТО. Если ММ отображает устройство ТО и связи между составляющими его элементами, то ее называют структурной математической моделью.
Если же ММ отражает происходящие в ТО физические, механические, химические или информационные процессы, то ее относят к функциональным математическим моделям. Ясно, что могут существовать и комбинированные ММ, которые описывают как функционирование, так и Устройство ТО. Такие ММ естественно называть структурно-функциональными математическими моделями. Структурные ММ делят на тополоеические и ееометрические, составляющие два уровня иерархии ММ этого типа.
Первые отображают состав ТО и связи между его эле- 44 2. МА ТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ментами. Топологическую ММ целесообразно применять на начальной стадии исследования сложного по структуре ТО, состоящего из большого числа элементов, прежде всего для уяснения и уточнения их взаимосвязи. Такая ММ имеет форму графов, таблиц, матриц, списков и т.п., и ее построению обычно предшествует разработка структурной схемы ТО. Геометрическая ММ дополнительно к информации, представленной в топологической ММ, содержит сведения о форме и размерах ТО и его элементах, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебрологические соотношения, определяющие принадлежность областей пространства телу ТО или его элементам.
Такую ММ иногда задают координатами некоторого множества точек, по которым интерполированием можно построить ограничивающие область линии или поверхности. Границы области задают и кинематическим способом: линию — как траекторию движения точки, а поверхность— как результат перемещения линии.
Возможно представление формы и размеров области совокупностью типовых фрагментов достаточно простой конфигурации. Такой способ характерен, например, для метода конечных элементов ~Х???], широко используемого в математическом моделировании. Геометрические ММ находят применение при проектировании ТО, разработке технической документации и технологических процессов изготовления деталей (например, на станках с числовым программным управлением). Функциональные ММ состоят из соотношений, связывающих между собой фазовые переменные, т.е.
внутренние, внешние и выходные параметры ТО. Функционирование сложных ТО нередко удается описать лишь при помощи совокупности его реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия (сигналы). Такую разновидность функциональной ММ относят к типу черного ящика и обычно называют имитационной матпемагпической моделью, имея в виду, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования л.о. Теоретические и эмпирические модели ТО, не раскрывая и не описывая существа протекающих в нем процессов. Имитационные ММ находят широкое применение в технической кибернетике (от греческого слова этпфериаи— управляю рулем) — научном направлении, изучающем системы управления сложными ТО.
По форме представления имитационная ММ является примером алеоритпмическот1 матпематпической модели, поскольку связь в ней между внешними и выходными параметрами ТО удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде ЭВМ-программы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
