XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Книга состоит из семи глав, параграфы в которых имеют двойную нумерацию (например, 4.5 — пятый параграф в четвертой главе); ссылки в тексте на параграфы и главы набраны полужирным шрифтом (например: см. 4.5). Анаюгично пронумерованы формулы и рисунки (например, (2.3) — третья формула в главе 2, рис. 3.2 — второй рисунок в главе 3). Ссылками на другие выпуски комплекса учебников служат их номера, записанные римскими цифрами и заключенные в квадратные скобки (например, (ХПЦ вЂ” ссылка на тринадцатый выпуск). Ниже приведен список основных обозначений, где наряду с их краткой расшифровкой указаны параграфы этой книги или номера других выпусков, в которых можно найти более подробное их объяснение. Далее следуют латинский и греческий алфавиты, где указаны написание и русское произношение букв.
В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель к этому, заключительному выпуску, содержащий в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все используемые в книге термины с указанием страницы, на которой термин определен или описан (на этой странице термин можно найти по выделенным полужирнььм курсивом словам).
Выделение термина в начале параграфа светлым курсивом означает, что в данном параграфе он отнесен к ключевым словам и для понимания излагаемого материала читателю должно быть известно значение этого термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой данный термин определен или пояснен. В этой книге, завершающей издание серии „Математика в техническом университете", приведен предметный указатель ко всему комплексу из 20 учебников (т.е. без этого, заключительного выпуска) с указанием тех номеров выпусков, в которых определен или наиболее полно описан соответствующий термин. Предметный указатель содержит свьппе пяти тысяч терминов, которые составляют словарный запас (так называе- ПРЕДИСЛОВИЕ мый тезаурус) расширенного курса математики в техническом университете.
Математическое моделирование опирается на знание практически всех разделов математики. Поэтому перед чтением этой книги необходимо в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. В конце каждого задания приведена ссылка на тот выпуск, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения.
Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (эти термины в основном тексте книги не выделены и в ее предметный указатель не входят). Задания для самопроверки 1. Как определить множества целых и рациональных чисел при помощи множества натуральных чисел? Что такое абсолютная величина [абсолютное значение) действительного числа и модуль комплексного числа? Что такое объединение, пересечение, разность и прямое (декартово) произведение множеств (подмножеств), дополнение множества? [1] 2.
Запишите с помощью неравенств условия принадлежности точки х промежуткам числовой прямой: отрезку [а, 6], интервалу (а, 6), полуинтервалу (а, 6], бесконечному интервалу ( — со, 6) и бесконечному полуинтервалу [а, +со). [1] 3. Приведите примеры составной и периодической действительных функций действительного переменного и укажите их области определения (существования) и значений.
Как расположены относительно начала координат графики четной и нечетной функций? Изобразите графики функции знака, возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций. Сколько нулей имеет 11 многочлен степени и? В чем различие между простым нулем и кратным нулем? [?] 4. Сформулируйте определения предела, производной и дифференциала действительной функции действительного переменного в точке.
Всякая ли функция, непрерывная в точке, является дифференцируемой в этой точке? Что называют нулем и стационарной точкой функции? Приведите примеры функций, имеющих точки: а) устранимого разрыва; б) разрыва первого рода; в) разрыва второго рода. Каковы свойства функции, непрерывной (дифференцируемой) на отрезке? Как вычислить производную сложной функции? Запишите формулу конечных приращений. Что называют вектор-функцией? [1], [П] 5. При каких усювиях функция, дифференцируемая в интервале, является в нем выпуклой (строго выпуклой) вниз или вверх? [П] б. Что такое абсолютная и относительная погрешности? [П] 7.
Каковы правила вычисления скалярного, векторного и смешанного произведений векторов? Что такое нулевой, единичный и коллинеарные векторы, радиус- вектор точки? [П], [П1] 8. Что такое прямоугольная, квадратная, транспонированная, блочная, симметрическая, нулевая, единичная, верхняя (нижняя) треугольная, ступенчатая, трех- диагональная, вырожденная и обратная матрицы, базисный минор и ранг матрицы? Что называют главной и побочной диагоналями квадратной матрицы? Чему равен определитель диагональной матрицы? При каком условии однородная квадратная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет ненулевое решение? Каковы особенности метода Гаусса исключения неизвестных? [П1] 9. Перечислите аксиомы линейного пространства, которым подчиняются линейные операции в этом простран- 12 ПРЕДИСЛОВИЕ стае.
Что называют базисом и размерностью линейного пространства? Каковы аксиомы расстояния между элементами метрического пространства и нормы элементов нормированного пространства? В чем состоит отличие этих пространств? Дайте геометрическую интерпретацию неравенства треугольника в трехмерном евклидовом арифметическом пространстве Ж~. Что такое ортонормированный базис в К"? [?], [?Ч] 10.
Как найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора в конечномерном линейном пространстве? Что такое собственное подпространство линейного оператора, характеристические многочлен и уравнение матрицы? Какую квадратичную форму называют положительно (отрицательно) определенной? Сформулируйте критерий Сильвестра. [?Ъ'] 11. Что называют частной производной и производной по направлению? При каком условии смешанная производная не зависит от последовательности дифференцирования? Запишите формулу Тейлора для скалярной функции многих переменных и матрицу Якоби для векторной функции многих переменных и для координатной функции.
Что понимают под внешней нормалью к кусочно гладким кривой или поверхности, ограничивающим некоторую область? Каковы особенности метода Ньютона решения нелинейных уравнений и их систем? [Ч] 12. Что такое первообразная и неопределенный интеграл? Напишите формулу интегрирования по частям и формулу Ньютона — Лейбница. Чему равна производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу? Что такое абсолютно сходящийся несобственный интеграл? В чем различие интегралов Римана и Лебега? [ЪЧ], [?Х] 13.
Что понимают под элементарным объемом? Что называют кратным [в том числе двойным и тройным), криволинейным и поверхностным интегралами, скалярным 1З и векторным, безвихревым, потенциальным, соленоидальным и лапласовым полями, потоком и циркуляцией вектора, телесным углом? Напишите выражения для операторов Гамильтона и Лапласа в декартовой прямоугольной системе координат. Как при помощи оператора Гамильтона записать операции дивергенции, градиента и ротора? Напишите формулу Остроградского — Гаусса. [Ч1Ц 14. Что называют линейным обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)? В чем различие между общим и частным решениями ОДУ? Что называют расширенным фазовым пространством и интегральной кривой? Сформулируйте условие Липшица и теорему Коши существования и единственности решения ОДУ первого порядка.
Что называют нормальной автономной системой ОДУ и ее положением равновесия? Как найти корни характеристического уравнения нормальной однородной системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами? Для какого порядка нормальной системы ОДУ фазовая траектория лежит в фазовой плоскости? В чем различие между задачей Коши и краевой задачей? Что такое начальные и граничные условия? В чем различие между методами Бернулли и Лагранжа решения линейного ОДУ первого порядка? Как найти общее решение линейного неоднородного ОДУ второго порядка? Какое решение нормальной системы ОДУ называют устойчивым по Ляпунову и асимптотически устойчивым? Запишите систему уравнений первого приближения длл нормальной системы ОДУ.
~ЧПЦ 15. Что такое сходящийся числовой ряд? При каких условиях функциональный ряд сходится на данном множестве поточечно, равномерно, абсолютно, условно? Что такое Радиус сходимости степенного ряда? Запишите частичную сумму и остаток ряда Тейлора. В чем различие между ортогональной и ортонормированной системами функ- 14 ПРЕДИСЛОВИЕ ций? Как вычислить коэффициенты Фурье разложения функции в ряд Фурье? Что называют гармоникой ряда Фурье? При каких условиях существует представление функции интегралом Фурье в комплексной форме? Каков механический смысл спектральной функции? [?Х] 16. Что называют действительной и мнимой частями, модулем, аргументом и главным значением аргумента комплексного числа, действительной и мнимой осями комплексной плоскости? Как при помощи формулы Эйлера перейти от показательной формы представления комплексного числа к тригонометрической, алгебраической и геометрической формам его представления? Что называют аналитической функцией, простым полюсом, порядком полюса и вычетом функции комплексного переменного? [Х] 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
