XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Все зто говорит о ° 1 Смс Плие А.И., Сливина Н.А. ' Смс Трудонои~ин В.А., Пивоварова Н.В. 'гСмс Хеннинг Р.В. 2 — 9102 34 1. РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ТЕХНИКЕ том, что ЭВМ, освобождая нас от многих забот и обязанно отей, не освобождает во всяком случае от двух нз них — от необходимости владеть математикой и творчески мыслить'. Вопросы и задачи 1.1. Какие факторы определили расширение в последнее время областей применения математического моделирования в технике? 1.2. Что понимают под аналоговым моделированием? 1.3.
Перечислите содержание основных этапов „технологического цикла" математического моделирования технического объекта. 1.4. Каковы особенности построения РС (содержательной модели) ТО? 1.5. Что понимают под иерархией ММ по отношению к одному и тому же ТО? 1.6. Какую роль играет упрощенный вариант ММ ТО прн проведении вычислительного эксперимента? "Смс Феодосьев В.И. О969 г.) 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Из последовательности основных этапов математического моделирования (см. рис. 1.1) следует, что определяющую роль в нем играет математическол модель (ММ) изучаемого техиического обьекта Поэтому прежде всего следует уделить внимание основным свойствам ММ и требованиям к ней, а также классификации ММ.
2.1.Понятие математической модели Понятие математической модели (ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании, не имеет строгого формального определения. Тем не менее в это понятие вкладывают вполне конкретное содержание, с которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике. Более того, такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные разделы, являются, по существу, упорядоченными множествами ММ, построение которых сопровождается теоретическим обоснованием адекватного отражения этими моделями свойств рассматриваемых процессов и явлений.
Именно посредством ММ научные дисциплины взаимодействуют с математикой. По-видимому, к этому сводится смысл замечания Карла Маркса о том, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. Этапы развития многих естественно-научных направлений в познании законов природы и в совершенствовании техники— это построение последовательности все более точных и более полных ММ изучаемых процессов и явлений.
Однако история науки знает не только случаи последовательного уточнения той 2' 36 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ или иной ММ, но и случаи отказа от некоторых ММ вследствие расхождений прогнозируемых ими результатов с реальностью. Отвечающая реальности (адекватная) ММ является, как правило, большим научным достижением.
Она позволяет провести детальное исследование изучаемого объекта и дать надежный прогноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность ММ нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее использовании. В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс ММ, допускающих исчерпывающий количественный анализ. Одни и те же ММ находят подчас совершенно различные приложения. Известно, например, что закон Ньютона притяжения двух материальных точек и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе единиц измерения физических величин можно выразить одинаковыми формулами.
При помощи одной и той же ММ, содержащей уравнение Пуассона ~ и(М)+ДМ) =О, (2.1) где '7~ — дифференциальный оператор Лапласа, а и(М) и ((М) — искомая и заданная функции положения точки М Е Ъ в некоторой области У, можно изучать установившиеся процессы течения жидкости и распространения теплоты, распределение электрического потенциала, деформацию мембраны, механические напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой- либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. В каждой из перечисленных задач функции и(М) и ДМ) приобретают свой смысл, но их связь описывает общее для этих задач уравнение (2.1).
Приведенные примеры характеризуют свойство универсальности ММ. Благодаря этому свойству возникает „родство" между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие. 37 2.2. Структура математической модели Такую общность и универсальность ММ можно объяснить тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию.
Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта, и называют матпематичесной моделью*~ этого объекта. В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки. Кго универсальность французский математик Анри Пуанкаре (1854 — 1912) определил всего одной фразой: „Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем".
2.2. Структура математической модели В достаточно общем случае изучаемый технический объект (ТО) количественно можно охарактеризовать векторами х Ела", д Е К и у Ел1н внешних, внутренних и выходных параметров соответственно. Одни и те же физические, механические или информационные характеристики ТО в моделлх различного уровня и содержания могут выполнять роль как внешних или внутренних, так и выходных параметров. Например, для электронного усилителя выходными параметрами являются коэффициент усиления, полоса частот пропускаемых сигналов, входное сопротивление, рассеиваемая мощность, внешними — сопротивление и емкость нагрузки, напряжения источников питания, температура окружающей среды, а внутренними — сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов*з.
Но если в качестве ТО рассматривать отдельно взятый транзистор, то такие его 1 Смл Математический энциклопедический словарь. г Смл Норенкое И.Л. 38 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ характеристики, как отпирающее напряжение и коллекторный ток, следует уже отнести к его выходным параметрам, а в качестве внешних надо будет рассматривать токи и напряжения, задаваемые коммутирующими с ним элементами усилителя. При создании ТО значения выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку ТО, тогда как внешние параметры характеризуют условия его функционирования. В сравнительно простом случае математическая модель (ММ) ТО может представлять собой соотношение у = ~(х,д), х Е К, д Е К~, у Е К", (2 2) где у — векторная функция векторного аргумента.
Модель в виде (2.2) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу. В инженерной практике решение прямой задачи часто называют поверочным расчетом. При создании ТО возникает необходимость решать более сложную так называемую обратную задачу: по обусловленным техническим заданием на проектирование ТО значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. В инженерной практике решению обратной задачи соответствует так называемый проектировочный расчет, часто имеющий целью оптимизацию внутренних параметров по некоторому критерию оптимальности. Однако при построении ММ ТО функция у в (2.2) обычно заранее не известна и ее предстоит установить.
Это наиболее сложная так называемая задача идентификации ММ (от латинского слова Ыепййсо — отождествляю, которому в данном случае придают смысл „распознаю"). Задача идентификации может быть решена путем математической обработки информации о ряде таких состояний ТО, для каждого из которых известны (например, измерены экспериментально) значения выходных, внутренних и внешних 39 3.3. Свойства математических моделей Ци(х)) = О, (2.3) где Ь вЂ” некоторый оператор (в общем случае нелинейный), Π— нулевой элемент пространства, в котором действует этот оператор, я — вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты, а и— вектор ?разовых переменнььх, включающий те параметры ТО, которые характеризуют его состояние.
Но даже если возможно получить решение (2.3) и найти зависимость и(х) от х, то далеко не всегда удается представить ММ ТО в явном относительно вектора у виде (2.2). Поэтому именно (2.3) определяет в общем случае структуру ММ ТО, а (2.2) является более простым частным случаем такой модели. 2.3. Свойства математических моделей Из сказанного ранее следует, что при изучении реально существующего или мыслимого технического обьекта (ТО) математические методы применяют к его математической леодели (ММ).
Это применение будет эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих свойств. Полнотпа ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности ТО, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели проведения параметров. Один из таких способов связан с применением ,егрессионного анализа [ХЪ'1?].
Если информация о внутрен„х параметрах отсутствует или же внутреннее устройство ТО лишком сложно, то ММ такого ТО строят по принципу черного яи4ика — устанавливают соотношение между внешними и выходными параметрами путем исследования реакции ТО на внешние воздействия. Теоретический путь построения ММ состоит в установлении связи между у, х и д в виде операторного уравнения 40 2. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ вычислительного эксперимента. Например, модель может достаточно полно описывать протекающие в объекте процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели.
Так, ММ резистора в виде хорошо известной формулы 11 = ХЛ закона Ома* обладает свойством полноты лишь с точки зрения установления связи между падением электрического напряжения 11 на резисторе, его сопротивлением В и протекающим через него током силой 1, но не дает никакой информации о размерах, массе, теплостойкости, стоимости и других характеристиках резистора, по отношению к которым она не является полной. Отметим попутно, что в рассматриваемой ММ сопротивление В резистора выступает в роли его внутреннего параметра, тогда как если задано 11, то 1 будет выходным параметром, а 11 — внешним параметром, и наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
