XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 16
Текст из файла (страница 16)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ аргумента )3(ы) этого числа от угловой частоты ы называют соответственно амплитудно частотной и фазочастотной характеристиками звена. С помощью этих характеристик комплексное передаточное число Я можно представить в виде Я =.4(ы)е'Р~ ). На рис. 3.5 соответствующими индексами отмечены эти характеристики для резистора, индуктивной катушки и конденсатора.
Рис. 3.5 Замечание 3.1. Подчеркнем еще раз, что рассмотренные двухполюсники идеализированы, так как при построении их ММ использованы упрощенные расчетные схемы реальных элементов электрических цепей (см. Д.З.З). К отмеченным выше допущениям следует добавить, что не учтена конечная скорость распространения электрических и магнитных полей, т.е. эти ММ являются кеазистаиионарными математическими моделями. Такое допущение не приводит к заметным погрешностям, если наименьшая длительность 1 ип протекающих в этих двухполюсниках процессов удовлетворяет условию 1ыао )) 1„,а„/с, где 1„„„— наибольший линейный размер электрической цепи, с = 2,9979 10а м/с — скорость света в вакууме. При выполнении этого условия можно пренебречь влиянием на характеристики двухполюсников волновых процессов в электрических элементах и соединительных проводах.
3.2. Простейшие элементы мехеиичеснин систем 95 Н линейной ММ процесса, описываемого периодической функцией времени, можно рассматривать отдельно влияние каждой гармоники в разложении этой функции в ряд Фурье, а в случае непериодического процесса — влияние функции Яиу)е'"'~, где Я(ау) — соответствующая спектральная функция [1Х]. Но использование гармоник и спектральных функций при больших значениях ш может привести к значительным погрешностям квазистационарных ММ*, поскольку при этом уменьшается значение 1„„„= 2я/иу.
3.2. Простейшие элементы механических систем При относительном перемещении отдельных элементов механической системы на поверхности их контакта возникают силы трения, препятствующие этому перемещению. Для уменьшения сопротивления трения к поверхности контакта подводят смазочный материал. Тогда скорость о скольжения одной детали относительно другой в первом приближении пропорциональна приложенной силе Р (рис. 3.6), т.е.
Р = й рЯи, где й р — коэффициент вяз- р и у,е — не у . Е у д нической системы в качестве потенциальной величины выбрать силу Р, а в качестве потоковой— скорость о, то записанное равенство можно рассматривать как аналог формулы (3.1) закона Ома (3.10) Р = ьтрЯту = Вмюу а величину В = Й рЯ вЂ” как аналог электрического сопротивления Н. Так как основными единицами измерения силы и скорости являются соответственно Н = — (ньютон) и м/с, се "Смл Ландау Л.Л., Лифшиц Е.М. 96 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Нс кг то величину Л измеряют в — = —, а коэффициент вязкого м Нс кг трения — в— из и2.с' При вращении, например, цапфы 1 вала 2 относительно вкладыша 3 подшипника скольжения 4 (рис.
3.7) вращающий момент М, приложенный к валу и измеряемый в Н. м, можно считать при вязком трении пропорциональным угловой скорости ш (единица измерения рад/с). Тогда вместо (3.10) следует написать ,13~ М вЂ” 'стр~" ш Нмш1 (3.11) где Ии 1 — диаметр и длина цапфы. В этом случае момент М будет потенциальной величиной, угловая скорость Рис.
3.7 ш — потоковой, а измеряемая в Н м с величина В' = и рЫ31/4 — аналогом электрического сопротивления А в (3.1). При движении против сил сопротивления вязкого трения совершается работа. Мощность, требуемая для преодоления вязкого трения при поступательном движении, равна И' р —— = Ри = й,рЯе~ = Л„,е~, а при вращательном — И~гр — — Мш = = й,ртп1зйоз/4 = Л„'ыз. Эта мощность является аналогом мощности тепловыделения на резисторе (см.
3.1). В технических устройствах различного назначения механическую связь между отдельными деталями и агрегатами характеризуют жесткостью узлов крепления, под которой понимают отношение силы, приложенной к такому узлу, к перемещению точки приложения этой силы. Простейшей расчетной схемой узла крепления некоторой детали 1 к неподвижному основанию 2 является пружина 3 (рис.
3.8), один конец которой присоединен к этой детали, а второй — к основанию. Жесткостью Рис. 3.8 97 3.2. Простейшие элементы механических систем пружины называют измеряемое в Н/м = кг/с отношение с = — Р/и, где Р— сила, приложенная к пружине в точке ее присоединения к детали, а и — перемещение этой точки в направлении действия силы. Изменение во времени $ силы Р приведет к изменению перемещения и. Если не учитывать силы инерции, возникающие при перемещении витков пружины, и принять значение с постоянным, то после дифференцирования равенства и = Р/с по времени получим ди 1 дР с1Р д1 с д1 " д1 ' (3.12) где и — скорость перемещения точки приложения силы Р. В этом случае величину С = 1/с, измеряемую в м/Н и называемую податливостью пружины, можно рассматривать как аналог емкости С, входящей в соотношение (3.3) для электрического конденсатора.
При растяжении или сжатии пружины она накапливает потенциальную энергию, равную работе силы Р, совершаемой при перемещении точки приложения этой силы: с2 Р2 П = Рди = сиди = — и = —. 2 2с О О 'Р. Рук (1635-1703) — английский естествоиспытатель. е — 9102 Эта энергия является аналогом энергии электрического поля в конденсаторе (см. 3.1). Так как и = ди/й, 1 = дЩд1 и скорость и — аналог силы 1 электрического тока, то перемещение и — аналог электрического заряда Я,.
Зависимость вида (3.12) характерна для многих элементов, материал которых при нагружении сохраняет свойство линейной упругости. Так, например, продольную деформацию линейно упругого стержня с поперечным сечением площадью Я при растяжении силой Р можно считать одинаковой по всей длине 1 стержня (рис. 3.9) и равной в соответствии с законом Гука* 98 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ о Р Я Е вЂ” — где о = Р/Я вЂ” ме- Е ЕЯ' Р ханическое напряжение в поперечном сечении стержня, Š— модуль и упругости материала стержня при растяжении (модуль Юнга*~), изРис.
3.9 меряемые в паскалях (Па = Н/м ). При этом торец стержня, подверженный действию силы, переместится относительно закрепленного торца на расстояние и = е1 = РЦ(ЕБ). При сравнительно медленном изменении во времени 1 силы Р, позволяющем пренебречь силами инерции, получим сьи 1 ЙР— сьР ос ЕЯй й' ло 13 лР лР— = и = — — = ф—, с11 ЗЕЛс Ш "сМ ' (3.14) где С„=13/(ЗЕ,1 ).
*'Т. 1Онг (1773-1829) — английский ученый. '~Си.: Феодосьев В.И. (1999 г.) где величина С = Ц(ЕБ) является аналогом емкости С в (3.3). Из курса сопротивления материалов*2 известно, что поперечная сила Р, приложенная к концу консольной упругой балки длиной 1, жестко защеми ленной другим концом (рис.
3.10), Ев' вызывает прогиб 1о = Р13/(ЗЕВ,), где,У вЂ” зеометрический момент инериии поперечного сечения балки относительно главной центральной оси этого сечения, перпендикулярной плоскости изгиба, в которой лежит нейтральная ось балки и действует сила Р. Так,,7 = Ы4/64 для круглого сечения диаметра о' и,7 = Ь63/12 для прямоугольного сечения шириной Ь и высотой )ь. При изменении во времени 1 силы Р приходим к зависимости, аналогичной (3.12) и (3.13): 3.2. Простейшие елелееиты мехаиичесхих систем 99 Рис.
3.11 Если один из концов упругого стержня длиной 1 с круглым поперечным сечением диаметра д жестко закреплен, а ко второму приложен крутящий момент М„р (рис. 3.11), то угол закручивания стержня будет ер = †, где ср — модуль сдви- М р1 т2' га материала стержня,У„= — — полярный момент инерции 32 сечения стержня. Дифференцированием по времени 1 находим (Ь~ 1 НМ р АМ р й СУр й й 13.15) ои о"р Р=т — = Ь й й' (3.16) где С' = —. При закручивании стержня в (3.15) потенциальо ной величиной является крутящий момент М„р, а потоковой— угловая скорость ш поворота того конца стержня,к которому приложен этот момент. Таким образом, при различном выполнении упругих элементов механической системы между скоростью перемещения (нли угловой скоростью) и скоростью изменения приложенной силы (или крутящего момента) справедлива зависимость, аналогичная соотношению 13.3) для электрического конденсатора.
Соотношение, аналогичное (ЗА) для индуктивной катушки, в случае поступательного движения тела массой т с изменяющейся во времени скоростью и следует непосредственно из второго закона Ньютона в виде 100 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Здесь масса т тела служит аналогом индуктивности Ь катушки. При вращении тела относительно фиксированной оси с переменной угловой скоростью м получим о ~~а' М=,У вЂ” =Ь' —, Ь'=,У, (3.17) <Й сМ' где М вЂ” вращающий момент относительно этой оси. В (3.17) аналогом индуктивности является момент инерции д тела относительно оси вращения. Кинетическая энергия при поступательном движении равна К = гпиз/2 = Ь„из/2, а при вращательном — К = дыз/2 = Ь'ыз/2. Величина К является аналогом энергии магнитного поля индуктивной катушки (см.
3.1). Количество движения (импульс) тела массой т, имеющего скорость и, равно ти, а момент количества движения (момент импульса) вращающегося тела — Ло. Продолжая аналогию с индуктивной катушкой, приходим к выводу, что аналогом импульса при поступательном движении тела или момента импульса при вращении тела будет потокосцепление Ф = Ы катушки индуктивностью Ь, через которую протекает электрический ток силой 1 (см. 3.1).
Аналогию между математическими моделями (ММ) типовых элементов механических систем и электрических двухполюсников называют электпромеханическои. Ее удобно использовать при построении ММ сложных механических систем, состоящих из большого числа взаимодействующих между собой элементов. 3.3. Некоторые элементы тепловых систем Под тепловыми будем понимать технические системы, в которых происходит накопление и перенос тепловой энергии. Аналогами разности электрических потенциалов (напряжений) и силы тока в тепловой системе являются разность (перепад) ЬТ температур и тепловой поток Я, измеряемые в кельвинах (К) и ваттах (Вт) соответственно. 1О1 З.З.
Некоторые элементы тепловых систем Ь ЬТ ев Я вЂ” = ЯВ, Ло (3.18) аналогичную закону Ома (3.1). Величину В, = 6/(ЛЯ) в (3.18) называют термическим сопротпиелением плоской стенки. Если стенка состоит из нескольких плоских слоев, то при заданных температурах на внешних поверхностях стенки В, в (3.18) следует рассматривать как суммарное термическое сопротивление, равное сумме термических сопротивлений всех слоев. При неидеальном тепловом контакте между слоями в эту сумму должны войти контактные термические сопротивления [ХП1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
