XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Как и в случае несжимаемой жидкости, при турбулентном режиме течения газа зависимость сопротивления трубопровода от расхода газа становится нелинейной. Если для идеального (невязкого) газа, движущегося с изменяющейся во времени $ скоростью в(1), пренебречь изменением его плотности р по длине 1 участка трубопровода с поперечным сечением площадью Я, то в соответствии со вторым законом Ньютона ЯЬр = рЯ вЂ”, или Ьр = ܄—, где Ь„=1/Я вЂ” ве- ,1.е(С) Ит личина, аналогичная индуктивности катушки в (3.4).
Учет изменения плотности по длине трубопровода приведет к более сложной зависимости перепада Ьр давления от скорости изменения расхода т газа. Дополнение 3.2. Ламинарное течение вязкой жидкости в трубопроводе Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе с произвольным поперечным сечением площадью Я. Примем, что течение является установившимся, т.е. не зависит от времени, а частицы жидкости движутся по прямолинейным траекториям, параллельным образующей трубы (это соответствует ламинарному режиму течения).
Ось Ог прямоугольной декартовой системы координат Охуг направим вдоль образующей по течению жидкости. Тогда вектор т п = (О 0 с,) скорости жидкости будет иметь лишь одну отличную от нуля составляющую в,. Температуру жидкости считаем д.з.г. Ламинарное течение вязкой жидкости в трубопроводе 121 постоянной (изотермическое течение), так что плотность р и „зффициент о сдвиговой вязкости жидкости постоянны. Пренебрежем влиянием объемных сил, в том числе влиянием сил тяжести. Из уравнения неразрывности ч'и = О следует, что о* = О, до, дя те.
ия = и,(х,у). Кроме того, из проекций на координатные оси уравнения Навье — Стокса имеем Из первых двух равенств следует, что давление р зависит лишь от х, причем — = сопвФ, поскольку левая часть третьего равендр дх ства от х не зависит. Для участка трубы длиной 1 обозначим ЬР =Р1 — Рг где Р1 и Рг — значения давлений жидкости на входе в этот участок и выходе из него. При установившемся течении сила ЬРЯ уравновешена силами вязкого трения жидкости о стенки трубы, поэтому — = — —.
В итоге для функции др Ьр дх о, = и (х,у) получаем уравнение Пуассона дг„ дг„ + дхг дуг о1 (3.43) с граничным условием о, = О на контуре поперечного сечения трубы в силу прилипания вязкой жидкости к стенкам. Пример 3.2. Наиболее просто решить (3.43) в случае, когда жидкость протекает в плоской щели шириной 26.
Такую щель можно считать предельным случаем трубы с прямоугольным поперечным сечением, длина одной из сторон которого Равна 26, а длина второй стороны неограниченно увеличивается. Если ось Оу направить перпендикулярно стенкам щели, поместив начало системы координат Охуз в середине щели,то получим †"' = О. Тогда искомой будет функция и,(у), удовледх творяющая ОДУ вЂ” * = — — второго порядка, которое следует 'р"* = «ре 122 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ из (3.43).
Решением этого ОДУ в случае граничных условий о, = 0 при у = ~6 является и,= — (Ь вЂ” у ). сар г г 2п1 Объемный расход жидкости через щель, приходящийся на единицу ее длины вдоль оси Ох, равен а 2~р63 Яж = илау= 3Ч1 ' -Л (3.44) Для среднеи скорости жидкости в щели имеем й, = — = —. 26 ЗЧ1 Пример 3.3. Пусть контуром поперечного сечения трубы является эллипс с уравнением (т/а) + (у/6) = 1. Тогда граничному условию и, = О на контуре будет удовлетворять функция .2 2 и, = А(1 — — — 2). После ее подстановки в (3.43) получим Ьр — 2А( — + — ) = — —, аз 62 п1 ' и, найдя коэффициент А, запишем гр аг6 т у Объемный расход жидкости через трубу с эллиптическим поперечным сечением площадью Я равен сГр а262 Г г тг уг т Яж = и,~ЬИу=— 1(1- — — — )~1 Гу.
2п1 а + 62 / ~ 6 ) Я Я Отсюда для гидравлического сопротивления такого участка щели получаем Гар 3П1 В, = — = —. Яж 262 д.3.2. Ламинарное течение вязкой жидкости в труоопроводе 123 Заменяя переменные интегрирования х = ох, у = ау и т2 = — ля+ у, нзходим гсоЗЬЗг1р 4гфа2 + Ь2) (3.45) и гидравлическое сопротивление трубы ,~~р 4г11(о2+ Ь2) Яж яОЗЬЗ (3,46) Так как в данном случае Я = ггаЬ, то средняя скорость жидкости равна В случае трубы с круглым поперечным сечением а = Ь = т„из (3.45) следует (3.28), а из (3.46) — полученное в 3.4 выражение В, = — г, причем средняя скорость жидкости ия = —.
Зи1 пртг тт3г Зн1 В технической литературе принято гидравлическое сопротивление трубопровода с круглым поперечным сечением радиуса г, характеризовать коэффициентом Л„входящим в выра- жение — 2 Ьр = ˄— р — '. "2г, 2 (3.47) Отсюда при е, = — ' получаем а г Зе1 64 Л г (3.48) где Ве = 2пет,р(г1 — число Рейнодьдса. Для оценки сопротивления цилиндрических труб с произвольным поперечным сечением площадью Я используют (3.47) и (3.48), но вместо 124 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ диаметра 2г„круглой трубы подставляют так называемый ги дравличесиий диаметар д„= 4Я/П, где П вЂ” „смоченный': жидкостью периметр контура поперечного сечения.
Для круглой трубы гидравлический диаметр совпадает с диаметром ее поперечного сечения. Однако такая оценка может оказаться слишком грубой. Например, подстановка в (3.47) и [3.48) вместо 2г„гидравлического диаметра 0, = 4 26/2 = 46 для плоской щели шириной 26 приводит с учетом равенств В, = — [см. пример 3.2) и Не = = — к выражению "*тт Р тт 64 1 ю, 64т1 1 ит 2т11 2тт1 Яж тт1 — — — — — — — — и.= — — = — Я, Не т1г 2 иг46р 46 2 6з бз 26 6з что в 1,5 раза меньше значения Ьр, которое следует из (3.44). Этот пример показывает, что гидравлическое сопротивление трубопровода при ламинарном течении надежнее находить путем непосредственного решения уравнения (3.43). Двусторонние оценки гидравлического сопротивления можно получить при помощи двойственной вариационной задачи, соответствующей уравнению (3.43). Известно [ХУ], что его решение и,*(х, у) минимизирует функционал ,7[и,] = ' — — и, тт'Я = = — /(( — ) «-( — ) )ШЯ вЂ” — /,НЯ (349) на множестве функций и, = и,(х,у), удовлетворяющих условию и, = О на контуре Г поперечного сечения цилиндрической трубы, непрерывных на Я = Я О Г и имеющих кусочно непрерывные производные в Я.
Используя формулу Остроградского— Гаусса ['т"П], для минимального значения функционала,У[и,] Д.З.2. Ламинарное течение няэкой жидкости в трубопроводе 125 находим (Ч *)2 Я Г вЂ” и*~7зи*сБ — — / и,'дЯ = — — Я = — —, (3.50) А~ (~ее) ~ / ' 201 2оЫ,' Я Я где и — единичный вектор внешней нормали к контуру Г. Рассмотрим непрерывно дифференцируемую в Я векторную функцию у(х,у), удовлетворяющую уравнению '7у(х,у) = —, (х, у) ЕЯ. (3.51) На множестве таких функций функция,~* = — 0~7ия* максими- зирует функционал [ХЧ] у уз / г с'~ / 202 (3.52) причем его максимальное значение /[у*] совпадает с и"[ия], т.е.
с учетом (3.50) имеем Таким образом, используя допустимые для функционалов ,7[ив] и 1[у] функции и,(х,у) и,~(х,у) соответственно, можно при помощи (3.53) получить двусторонние оценки истинного значения величины, включающей гидравлическ р- (~М )' ое соп о2тфд, ' тивление В„цилиндрической трубы с произвольным поперечным сечением площадью Я. Пример 3.4.
Оценим гидравлическое сопротивление тру- ью Я= 4а~ бы, имеющей квадратное поперечное сечение площадью Я = 4а . Начало системы координат Оху поместим в центре квадрата 126 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ так, что уравнениями его сторон будут х = ха и у = ха. Распределение скорости жидкости в таком сечении представим функцией е, = С(а2 — х2)(а2 — у2), С = сопяс, удовлетворяющей граничному условию ст, = О на стенках трубы. Подставляя эту функцию в (3.49), получаем а а ,У = — (4х2(а — у ) + 4у2(а — х2)2) ссхссу— 2.1 4т 9 т11 — С вЂ” (а — х2)(а — у )ссхсСу = — С а — — С вЂ” а .
д,т" Из необходимого условия — = О минимума функционала наи- дС дем коэффициент С = — —, а затем вычислим значение 1 = 6 Др 16 т11 ' В качестве функции, на которой допустимо рассматривать функционал (3.52), примем у" = — 17(х + у ). Подставляя ее в ДР 2 2 (3.52), получаем 1 = — — ~ — ~ / ! 4(х2+у2) с1хс1у =— 2т12 ~ 41 ) / ! 3(т11)2 Таким образом, с учетом (3.53) имеем (а2Др)2 (Др)2 5(а2Др)2 3(т11)2 2т1И, 18(т11)2 или 1,5тт1(а4 ( Рс,, ( 1,8т11 /а4 Для трубы с прямоугольным поперечным сечением известно точное аналитическое решение уравнения (3.43) в виде ряда*, 'См.; Лойцянский Л.Г.
Д.З.З. Об адекватиооти моделей типовых элементов 127 приводящее к зависимостям а4Ьр 16 1024 г их 1 Зкх д = — /(х), У(х) = — — — Р1 — + — а — +...~, 401 ' 3 яох ~ 2 Зз 2 "'/' где х ) 1 — отношение сторон прямоугольника, одна из которых имеет длину 2а, а значения функции /(х) представлены в табл. 3.1. Таблица 3.1 х 1 2 3 5 10 12 100 оо /(х) 2,253 3,664 4,203 4,665 5,000 5,059 5,299 5,333 Отсюда для квадратной трубы (х = 1) получаем с~р 401 401 аах/(х) а4 2,253 ' аа' что достаточно близко к полученной выше верхней оценке значения В . Для квадратной трубы со стороной 2а гидравлический диаметр равен Ит = 4Я/П = 4 — = 2а. Тогда из (3.47) и (3.48) при 8а 2т, = Ы„и й, = Я /Я находим 64 1 й~ 32ЦЫ ГЯи~з 91 Ке дт 2 Я„атлР ~ Я ) а~ и Л„= Ьр/Ч = 201/а4, что примерно на 11% выше полученной верхней оценки для гидравлического сопротивления и почти на 13% выше значения В„, которое следует из точного решения.
Дополнение 3.3. Об адекватности математических моделей типовых элементов Простейшие типовые элементы, рассмотренные в предыдущих параграфах (см. 3.1-3.4), являются идеализированными по отношению к реальным элементам технических систем. 128 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Поэтому применение математических моделей (ММ) макроуровнл простейших типовых элементов для описания реальных систем вызывает неизбежные погрешности. При использова. нии ММ макроуровня конкретного типового элемента важно располагать хотя бы грубой оценкой возможной погрешности.
Один из способов получения такой оценки связан с количественным анализом уточненной и более детальной ММ этого элемента, учитывающей свойства и эффекты, которые не были учтены при построении ММ макроуровня. Одной из причин возникновения погрешностей при использовании ММ макроуровня является пренебрежение пространственным распределением параметров, характеризующих свойства типовых элементов и протекающие в них процессы (см. замечания 3.1-3.3). Даже основанная на законе Ома ММ макро- уровня такого простого элемента, как резистор, для выявления ее области адекватности часто требует рассмотрения математических моделей микроуровня физических процессов в резисторе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
