XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Так, с увеличением частоты колебаний переменного тока, протекающего по проводнику, возрастает неравномерность распределения плотности электрического тока в поперечном сечении проводника. В проводнике округлым поперечным сечением плотность тока возрастает с увеличением расстояния от оси (см. пример 6.2). Это равносильно уменьшению эффективной площади поперечного сечения и увеличению сопротивления проводника по сравнению с его сопротивлением при протекании постоянного тока. Такое явление носит название поверхностноео эффекта или скин-эффекта (от английского слова вЫп — кожа, оболочка). Возникающее при этом переменное магнитное поле наводит в проводнике вихревые токи, что вызывает дополнительный нагрев проводника.
Увеличение сопротивления проводника при высокой частоте переменного тока связано также и с излучением в окружающее пространство энергии электромагнитных волн*. "Снл Атабеков Г.И. Д.З.З. Оо адекватности моделей типовых элементов 129 Учет перечисленных эффектов возможен лишь на основе расчетной схемы (РС) резистора с распределенными параметрами.
Все же в некоторых случаях удается уточнить ММ элемента, усложняя ее, но оставаясь в рамках его РС с сосредоточенными параметрами. Пример 3.5. Оценим погрешность ММ резистора, вызванную изменением его сопротивления В при изменении температуры Т. Для этого рассмотрим совместно ММ резистора как электрического двухполюсника и ММ тепловой системы, в которой резистор является элементом, преобразующим электрическую энергию в тепловую. Пусть резистор имеет полную теплоемкость С и поверхность площадью Я, участвующую в теплообмене с окружающей средой температурой Те (интенсивность теплообмена определим коэффициентом шеплоотдачи сс). Зависимость сопротивления резистора от температуры в линейном приближении представим в виде В = = Ве(1+ЯТ вЂ” Т0)), где В0 — значение сопротивления резистора при температуре Т = Те, а !3 > Π— температурный коэффициент сопротивления.
Если задана разность ЬУ потенциалов на резисторе, то мощность тепловыделения в нем в соответствии с (3.2) будет равна (!3 У) (л!У) В В0(1 + ~3(Т вЂ” Т0)) При установившемся режиме теплообмена иэ равенства И' = = а(Т вЂ” Т0)Б можно получить квадратное уравнение ~1У 2 НЗ.Т)2+ит-(ЬУ) =О ВООК относительно разности температур !лТ = Т вЂ” Те. По физическому смыслу ЬТ > О, или Т > Те. Поэтому установившееся значение температуры резистора 1( Р(~и) 1 Т = То+ — — 1+ 1+ 4, (3.54) 2!3 ~ В, Я (' 5 — 9! 02 130 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ а соответствующее значение его сопротивления р(,г~у)г В(ЬУ) = — 1+ 4 + 1 2 ~ ВзаЯ Таким образом, сопротивление резистора в рассматриваемом случае зависит от ЬУ.
Это означает, что зависимость от Ь11 силы 1 электрического тока, проходящего через резистор, ЬП нелинейна: 1 = Пусть в начальный момент времени 1 = 0 приложения постоянной разности Ь11 потенциалов температура резистора равна Тз. Изменение температуры Т резистора во времени описывает ОДУ первого порядка, которое можно записать в виде ОДУ с разде- ляющимися переменными С. ~~Т '".', -Ь+~1 Т)ЬТ аЯ й 1+ рЬТ или с учетом (3.54) (1/11+ ЬТ) й(ЬТ) аЯ (Ьт- ЬТ) (ЬТ+ 1111+ ат) С, где ЬТ = Т вЂ” Тз. Отсюда, используя начальное условие ЬТ = 0 при 1= О, находим ЬТ- ЬТ /1+ ЯЬТ+ ЬТ)'~ ~+дат ( 1+ 2рЬТ аЖ~ Ьт ~ 1+~ЗЬт ! "Р1, 1+Рот С./' Полученная зависимость позволяет оценить промежуток Ф.
времени, после истечения которого температуру резистора Д.З.З. Об адекватности моделей типовых элементов 131 можно с относительной погрешностью б считать установив- ЬТ вЂ” ЬТ шейся, т.е. < б: ГгТ 1+)~ЬТ С / 1 (~ЬТ 1+)3(2 — б)ЬТ вЂ” ~1п — — 1п 1+ 29ЬТ аЯ ~, б 1+(~ЬТ 1+(~ЬТ ы ьи При 1 > 1, отличие силы 1 = — = тока, протеТг Ло(1+(эсгТ) кающего через резистор, от установившегося значения Х = глУ представим в виде Во(1+ ДЬТ) Ы 1+ 0ит Мйт — ит) б~3ит 1 1+ 0ЬТ 1+ (3 (ЬТ вЂ” (ЬТ вЂ” ЬТ))) 1+ (1 — б)(~ЬТ Если зависимостью сопротивления резистора от температуры можно пренебречь, т.е.
принять |э = О, то значение силы 1е = ЬУ/Ле тока, протекающего через резистор, не зависит от времени. При этом установившееся значение температуры ре(Д1~) г зистора равно Т = То + и с относительной погрешностью ЛосгЯ б оно достигается за промежуток времени С, 1 10 = — 1 — > 1* сгЯ б после приложения к резистору постоянной разности г."гУ потен- циалов.
Уточнение ММ электрического конденсатора и индуктивной катушки (см. 3.1) позволяет оценить возможные погрешности, вызванные утечками заряда в реальном конденсаторе и сопротивлением реальной катушки. Пример 3.6. Реальный конденсатор емкости С, имеющий в некоторый момент времени 1 = О, принимаемый за начальный, электрический заряд Я„постепенно теряет этот заряд (причиной являются утечки заряда через окружающую среду 132 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ и несовершенство электрической изоляции между обкладками конденсатора).
В ['й111] приведен пример уточнения РС и ММ конденсатора путем введения тока утечки силой 1„пропор циональной текущей разности потенциалов тлУ(т). Это равносильно предположению, что конденсатор в отличие от идеализированной РС, в которой внутреннее сопротивление полагают бесконечно большим, обладает некоторым конечным внутренним сопротивлением Л, (рис. 3.20, а). ПО) — ~ 1 Рис. 3.20 Если использовать первый из законов Кирхгофа для суммы сил токов в разветвлениях электрической цепи применительно к схеме на рис.
3.20, а, то получаем 1+ 1, = О, или, учитывая (3.1) и (3.3), приходим к ОДУ первого порядка т111(т) 11(т) С вЂ” + — =О. й В, (3.55) Его решение при значении 11(0) = Ув в момент времени $ = О, принимаемый за начальный, имеет вид 1т'(т) = 11оехр( — — ). В,С Разность электрических потенциалов на обкладках уменьшится более чем в 100 раз при условии 1 > В,С1п100 - 4,611„С. Выясним влияние изменяющейся по закону 1'(1) = 1ев!пай силы тока внешнего источника (1в — амплитуда колебаний силы тока, ш — угловая частиотпа колебаний) на напряжение 11(1) на одной обкладке неидеального конденсатора с заземленной Д.З.З.
ОО адекватности моделей типовых элементов 133 другой обкладкой (рис. 3.20, б). Теперь применение первого за- кона Кирхгофа приведет к равенству 1+ 1, = 1', что с учетом (3.55) соответствует неоднородному ОДУ сК1(1) 11(с) С + — = 1о з1по(1. й В, (3.56) 13 начальный момент времени 2 = 0 примем, что У(0) = О. Тогда в решении (оСВ21ое (Дн с) 1 У(с) — + (в(пи)1 — и)СВ, сов и)1) этого ОДУ первое слагаемое в правой части при 1 -+ +со будет стремиться к нулю и изменение напряжения будет определять втоРое слагаемое в виДе О(1) = А(и)) 1о Я(п(и)1+ )3(и)) ), гДе ал(или- тудно-частотная и 4азочастотная характеристики А( ) =, в( ) = ~е(- са.) (3.57) В ~~( св.)' А; Рис.
3.21 цепи, состоящей из параллельно соединенных конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением В„соответствуют так называемому простому апериодическому звену (рис. 3.21). При В, -+ со из (3.57) следует А(ы) -+ — и,О((о) — ~ — —, т.е. 1 т о)С 2' приходим к характеристикам идеализированного конденсатора (см. рис. 3.5).
134 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Отметим, что (3.57) можно получить путем вычисления пол ного комплексного сопротивления параллельного соединения конденсатора и резистора (см. 4.1) 1 1 Л. 1 — ноСгс. + ~ ~ С 1+иоСК, ~ 1+( СК,) ' Ея. Г Я. где Ян. = В„и Яс = — — ' — комплексные сопротивления ре- мС зистора и конденсатора соответственно (см. 3.1).
Представляя при помощи формулы Эйлера [Х) Я в виде комплексного передаточного числа получаем (3.57). Пример 3.7. Реальная индуктивная катушка, имеющая индуктивность Ь, обладает некоторым сопротивлением В* ) О. РС такой катушки изображена на рис. 3.22, а. Если к катушке ключом К присоединить внешний источник постоянного напряжения У* (рис. 3.22, б), то в цепи возникнет электрический ток, сила 1(1) которого будет изменяться во времени. При этом сумма падений напряжения при обходе контура электрической цепи с учетом (3.1) и (3.4) в соответствии со вторым законом Кирхгофа равна нулю: 1(1) Л' + ЬУ(1) — У' = 1(1) В' + Ь вЂ” У' = О. Ы(1) аг и" Рис.
3.22 Д.З.З. Об адекватности моделей типовых элементов 135 Отсюда получаем линейное ОДУ первого порядка Ь вЂ” + Л'1(1) = 1/", И(Ф) й (3.58) решение которого при начальном условии 1(0) = 0 имеет вид 1-е 'В /~ 1(й) = 1/' (3.59) При 1-+ со сила тока стремится к установившемуся значению У*/А*. С точностью до 1% от этого значения процесс изменения силы тока можно считать завершенным при выполнении условия е 'и /в < 0,01, или 1 > (Ь/В*) 1п100 -4,б(Ь/В*). Если в момент времени 1 = 1* при значении 1* силы тока ключ К перевести в правое положение (см. рис.
3.22, б), то вместо (3.58) при обходе вновь замкнутого контура получим однородное ОДУ, решением которого при условии 1(Ф*) = Г будет 1(~) 1»е — (с-с )В*/ь Полное комплексное сопротивление цепи из последовательно соединенных катушки индуктивностью Ь и резистора сопротивлением Л* равно (см. 4.1) Я= Яь+ Ян* —— ыЬ+В* = А(ш)е'~~ 1, Рис.
3.23 где Яь = ЫЬ и Ян = В" — комплексные сопротивления кау «р р, А( )=л'~Т+( с~я'с — уд частотнаяхарактеристика этой цепи, а /3(со) = агс18(соЬ/В')— ее фазочастотная характеристика (рис. 3.23), если в каче- 136 3. МА ТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ стае входного сигнала рассматривать изменяющуюся по закону 1*(е) = 1йл1пео1 силу тока, а в качестве выходного — падение напряжения в этой цепи.
При В* — ~ О получаем А(оэ) + мЬ н 13(оэ) — ~ —, что соответствует характеристикам идеализированной индуктивной катушки (см. рис. 3.5). Итак, постоянный ток, проходящий через индуктивную катушку, не вызывает электродвижущей силы (ЭДС) самоиндукции, но в этом случае необходимо учитывать отличное от нуля сопротивление ге* реальной (неидеализированной) катушки (см. рис. 3.22, а ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
