XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ковариационная функция Ке(г) угла крена корабля д(1,ьо), 1 Е Т, имеет вид Ке(г) = ое д~~~сое(цг). Определите вероятность того, что в момент времени ~з = = 11 + т угол крена будет больше 15', если д(1,ю), 1 Е Т,— скалярный нормальный стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и д(1ыи) = 5', т = 2с, са = 30 градз,,9 = 0,02 1/с, и = 0,751/с. О т в ет: Р(д(С1+ гм) > 15'(д(ймы) = 5 ) = 0 0037. У к а з а н и е: использовать результаты решения задачи 2.9.
2.11. Использование эхолота с корабля, испытывающего бортовую качку, возможно, если угол крена корабля д(~,м), 1 Е Т, удовлетворяет условию: (д(г,м)( < де. Определите вероятность того, что второе измерение возможно через те секунд после удачного первого измерения, если угол крена корабля— скалярный нормальный стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной функцией Ке(г). Ответ: Р((0(е+ „)( < бе((п(с, ) ~ < бе1 = ехр — а(х х н а до (хз+ хзз)Ке(0) — 2х1хзКе(те)~ 2[Кз(0) — К (г )) -до -ео У к аз а н и е: использовать результаты решения задачи 2.9.
2,12. Пусть ~(8,ьо), 8 Е Т, — гауссовский стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной функцией Ка(т). Определите 65 Вопросы и задачи математическое ожидание случайного процесса а 1 ~ 4(1,ы)Я1+т,оз) ~ 2 ~ ~~(С„~о)6с+г,о~)И ' считая т параметром. Ответ: М(В(~,оз)) = х 1агссоя)-К~(т) К 1~0)). 2.13.
Пусть ~(~,ю), 1 б Т = )О, 6), — винеровский скалярный процесс, выходящий из нуля и имеющий единичный коэффициентом диффузии. Докажите, что Р 1пчах с (1, ы) > а1 = 2Р ~Д5, м) ) а] = ~/ — / ехр ~- — ) Нх. а 3. ЭЛБМБНТЫ СТОХАСТИЧБСКОГО АНАЛИЗА Стлоиаскаический анализ — зто раздел математыкп, в котором случайные функции п пх обобщения изучают методамп математического анализа. Термпн „стохаствческпй анализ" часто употребляют для наименования лишь основ стохастического анализа, объедыняющых теорыю пределов, дпфференцпальное ы интегральное исчисление ы их непосредственные приложения.
Понятие сходимосты является основополагающпм не только в класспческом математическом, но и в стохастическом аналпзе. В теории случайных иронессое рассматрпвают различные впды сходимостн ы, как следствие, различные виды непрерывности, дпфференцпруемости и т.д.
Напомним, что в теорпп вероятностей используют следующие впды сходпмостп. Говорят, что последовательность случайных величин Яь(и))~' сходится к случайной величине с(ь~): 1) по вероятности, если для любого с > О существует 1пп Р(Щы) — Ям)~ > с] = О; 2) сильно, ылп почти наверное, еслп Р(1пп ~а(м) =~(м)~ = 1; 3) в среднем квадратичном, если 1пп М(ф,(ь~) — с(м))~) = О. Далее используем лишь одно понятие сходымосты — сходымость в смысле среднего квадратпчного, илы СК-сходимость.
Это связано с тем, что понятие СК-сходимосты является напболее приемлемым с точки зрения прыложеный. В соответствып 3.1. Сяоднмость в смысле среднего квадратичного 67 с этим авторы сочли возможным сохранить стандартные обозначения математического анализа и в дальнейшем изложении опускать пояснения типа „в смысле средней квадратичной сходимости", если это не может вызвать недоразумений. Следует также отметить, что при использовании СК-сходвмости изучение векторных случайных процессов в значительной степени сводится к изучению их координатпных случайных процессов, а анализ существования предела, непрерывностпи, дифференцируемостпи и интегрируемостпи скалярных случайных процессов — к нзучению соответствующих свойств нх математических ожиданий н ковариационных функций, 3,1.
Сходимость в смысле среднего квадратичного (СК-сходимость) Определение 3.1. Пределом и-мерного случайноео процесса С(1,от) = ф(1,ьт) ... 4'„(1,~)), 1 ЕТСЯ, при 1-+то Е Т в смысле СК-сходимости называют случайный вектпор т1(ьт) Ь = (т11(ьт) ... т1„(ьт)) и обозначают Ьп ((1, ат) = т1(и), если существует предел 1пп М[Щ1,ат) — тт(ьт) ИЦ = О, где М(1 )-ц( )М евклидова норма п-мерного случайного процесса Я1,ьт) — д(и), 16Т. Приняв за основу понятие СК-сходимости, мы тем самым определили выбор нормы (1Ч) для анализа случайных процес- б8 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА сов: В соответствии с этим, в данной кннге ограничимся рассмотрением только таких случайных процессов, для которых указанная СК-норма является конечной.
Случайные процессы, удовлетворяющие этому условню, называют случайными процессами епъороао порлдка. Таким образом, видим, что в основе понятия сходимости в смысле среднего квадратичного лежит понятие СК-нормы, которую мы ввели как неотрицательную скалярную функцню параметра (, Е Т. Убедимся в том, что при любом фиксированном 1 Е Т эта функция действительно определяет норму. Для этого рассмотрим множество Нт(ла) и-мерных случайных процессов второго порядка, определенных на Т С И, и будем счатать, что случайные процессы С(1,а)), ~ Е Т, и О(Г,(л), ~ б Т, нэ этого множества равкы, если ЦДГ,м) — О(й,ь))Ц,„= О, й Е Т.
В этом случае множество Нт()а) со стандартными операциямв сложення своих элементов и нх умножения на число является линейным пространством, а п-мерный случайный процесс второго порядка с(~,(о), (, Е Т, является нулевым, т.е. является » нейтральным элементом линейного пространства Нт(й), еслн Пусть теперь для любых двух элементов ~(~,ь)), Г Е Т, н п(1,()), 1 Е Т, ланейного пространства Нт(й) определена скалярная функция параметра г Е Т: К(Е,ы) ОН,М)) „4 МК (г м) ОИ м)1:— * уу,(а,у~Г)даду, н«н» ЗЛ. Сходнмость в смысле среднего квадратичного 69 где Як,у ~1) — одномерная функция плотаносгаи веролгпностей (2п)-мерного случайного процесса Непосредственной проверкой читатель может убедиться в том, что при каждом фиксированном 1 Е Т скалярная функцяя (, .),„удовлетворяет аксиомам скалярного умножения: 1) для любого Яс,ы) Е Нт(И) имеет место неравенство (Д~,м), ~(~,ы)),„> О, причем равенство (с(й,м),Дй,ш)),„= О выполняется тогда и только тогда, когда ДС,ы) = О; 2) для любых Щы), О(й,м) Е Нт(К) и С Е Т имеет место равенство (ай,ю?, п(Е,М)),„— (п(С,М),йй,м)),„, 3) для любых ДЕ,ы),О(С,м) Е Нт(Е), Л Е Й и й Е Т имеет место равенство (Лс (с, ы), О(й, ы) ) „= Л (с (с, ы), п(й, и) ),„; 4) для любых 4(В,ы),О($,со),о($,м) Е Нт(В) и 1 Е Т имеет место равенство ЯС,и) + п(й,ы), о(й,ы)),„= (с(й,м), а(Е,м)),„+ (п(Х,ы), о(й,ы)),„.
Так как линейное пространство Нт(И) с введенным скалярным произведением является евклидовым пространством, то при любом фиксированном 1 Е Т норма может быть введена стандартным способом (1У?: 70 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА и при этом автоматически удовлетворяются все аксиомы норны: 1) для любого с(»,м) е Нт(Е) имеет место неравенство ЦД»,м)Ц,„) О, причем Цс(»,и)Ц,„= О, » Е Т, тогда и только тогда, когда Я»,и) = О; 2) для любых с(»,ы) Е Нт(В), » Е Т и Л Е 1а имеет место равенство ЦМ(» а~)Цск = !Л!И(»1и))Цыо» Е Т~ 3) для любых с(»,ы), О(»,ы) е Нт(Я) и» Е Т имеет место неравенство треугольника ЦЦ»,м) + г»(»,ы)Ц,„< ЦЦ»,и)Ц,„+ ЦО(»,и)Ц,„. Заметим, что СК-норма и порождающее ее скэлярное произведение, введенное на линейном пространстве п-мерных случайных процессов Нт(Е), обладают известными свойствами [1Л»).
В частности, для любых с(»,м), О(»,м) Е Н;,(К) выполняется неравенство Коши — Буняковского !(~(»,с>), О(» ~~))ск! ~(ЦЙ»,~)Цсн ЦО(»,~)Цск, » Е Т. Теорема 3.1. п-мерный случайный вектор О»М) О( )= ъ( ) является пределом и-мерного случайного процесса 3. Ь Сходиность в снысае среднего квадратичного 71 при 1 -тле Е Т тогда и только тогда, когда для любого й = = 1,тт случайная величина т1ь(от) является пределом при 1 -+ 1о скалярного случайного процесса Я1,ы), 1 Е Т. ~ Необходимость. Обозначим через о Ъ (1р, й) = (Е Е Т С Й: 0 < !Й вЂ” 1о/ < Я проколотую о-окрестность точки 1о Е Т.
Пусть существует 11т С(8,м) = т1(ьт), т.е. для любого е > 0 существует о(с) > О, такое, что М~Щ,м) — т1(м)!! ] < е, ~ Е У(~е,6). А так как для любого 1с = 1, и имеет место неравенство (~,(1,.) „(.))~ < ~~. ~~„(~,.), (.)~ =(( (1,.),(.)((~, та аа то очевидно, что о Мфь(1,от) — т1ь(ит)( ~ < с, 1 Е 1' (1е16), 1с = 1, н. Таким образом, из существования предела 11щ С(1,ат) = т1(ьт) следует существование пределов 11тп Щ,ьт) =т1ь(ьт), 1=1, н.
т-+м Достаточ ность. Пусть для 1с =1, н существует предел 11тп ~ь(1,м) = т1ь(ьт), т.е. для любых я > 0 и lс = 1, и существует ду,(с) > О, такое, что М[(6с(1)( ~) — та(ьт)Ц < —, 1 Е $~(1е,йь). н' 72 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Если б(с) 4 пип (бл(е)), /см1,в то при Ф б У(1е,б) в Мф(~,ы) — ц( )Йз) =М~~> ~~л(~, ) — ~р(~)~з~ = Лаи в = ~~ь М[~~у,(й,а) — пуф(ш)! ~ (с. л=1 Таким образом, из существовании пределов 1ип ~л(й,м) = пл(м), /с = 1, и, с~с, следует существование предела !ип Щм) = ц(ы), и теорема доказана. ф !ип ~( )(С,и) =Д~>ы), с ЕТ, если существует предел 1ип М(Ц 1(~,м) -Я1,а~)~) ~ =О, 1б Т, где 1(т)1(~~ ы) С1(й,м) Определение 3.2.
и-мерный случайный процесс Ц1,м), ~ б Т С 1а, называют пределом посхедоеапзелъпостпи и-мерных с~ьучайных процессов ф 1(~,и), Ф Е Т С Щ ~ и обозна- чают З.Ь Сходимость в смысле среднего квадрвтичиого 73 Теорема 3.2. и-мерный случайный процесс С(1,о»), 1Е Т, является пределом последовательности н-мерных случайных процессов ф !(»,о»), Ф Е Т1» тогда и только тогда, когда для любого Й = 1, гг скалярный случайный процесс сь(1,»о), 1 Е Т, является пределом последовательности скалярных случайных процессов ф !ь(1,ь»), 1 Е Т) < Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
