XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 5
Текст из файла (страница 5)
а Г 1 С т(ат) ~(С1~ )=О, СЕТ, и т)(Сш)= СЕТ. ~ О, Сфт(ат), Эти скалярные случайные процессы являются стохастически эквивалентными. Действительно, при любом С Е Т имеем Р1с(С,ьт)фт)(С,ат)1 = Р)С=т(ат)] = О, так как в случае непрерывной скалярной случайной величины вероятность попадания в точку равна нулю. Любая реализация случайного процесса ~(С,ат), С Е Т, — тождественный нуль, а реализация случайного процесса т)(С,ат), С Е Т, имеет разрыв в случайной точке С = т(ьт) (рис. 1.2). п)с, ), с~т т с)ш) 1 Рис.
1.2 При решении различных задач теоретического и прикладного характера в ряде случаев бывает удобной замена исходного Пример 1.2. Пусть Т = (0,1] и случайная величина т(ы) распределена равномерно на множестве Т. Рассмотрим два случайных процесса: 1 2. Математическое ожидание и кояерияимоикая функция 31 случайного процесса стохастически эквивалентным. Тогда получаемые выводы с точностью до случайных событий, обладающих нулевой вероятностью реализации, могут быть отнесены к исходной задаче. 1.2. Математическое ожидание и коаариационная функции случайного процесса Совокупность всех конечномерных законов распределения случайного процесса является полной его характеристикой.
Но при решении многих прикладных задач по разным причинам ограничиваются использованием одно- и двумерных законов распределений случайных процессов и связанных с ними моментов первого и второго порядков, существование которых предполагается. Отметим, что моментами й-ео оорядма случайноео процесса называют соответствующие моменты его сечений. Определение 1.3. Иатематичесним ожиданием векторного случаймоео процесса с(1,м), 1 Е Т, называют неслучайную векторфункцию т~(1), значение которой при каждом фиксированном 1 Е Т равно математическому ожиданию случайноео вектора с(1,ы), являющегося сечением исходного случайного процесса, соответствующего рассматриваемому значению 1. Если Д(х)1) — одномерная функция плотности вероятностей и-мерного случайного процесса с(с,м), 1 Е Т, т.е.
плотность распределения (вероятностей) его сечения (возможно обобщенная), соответствующего рассматриваемому значению 1 с Т, то, согласно определению П1.13 математического ожидания случайного вектора, имеем 32 1 ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ где А(х/1) = Д(х~,,х„]1), пх = пх~пхз...пх„, Е(1, ) т~ (1) т~(1) = с„(1,ы) т„(1) и для любого фиксированного Й = 1, и имеем где )с,(хь(С) — плотность распределения (вероятностей) Й-й компоненты сечения исходного случайного процесса в момент времени 1Е Т.
Таким образом ть(8) = хь~~(х~1)сЬ= и Ихя = М[~я(~,си)] н окончательно Мф (1 ом)] 16Т. М[(„(1, ы)] 4~(1,ы) М[4(1, ю)] = М 4„(1, и) Математическое ожидание т~® случайного процесса С(с,м), ~ Е Т, можно интерпретировать как его усредненную траекторию. Если У: Х -+ У, где Х -- некоторое множество и У С С М „(Н), то при дальнейших рассуждениях будем говорить, что определена мотрмчмол функция типа т х и с областью определения Х и областью значений У С М „(Н) 1 2 Математическое ожидание и иоаариаииоииаа функция ЗЗ Определение 1.4. Коварпационмой матрицей (матрицей ковариаций) п-мерного случайноео процесса Д~,ы), 1 Е Т, называют неслучайную матричную функцию Ес(Ф) типа п х и, которая при каждом фиксированном 1 Е Т представляет собой ковариационную матрицу случайного вектора Д~,ы), являющегося сечением исходного случайного процесса, соответствующего рассматриваемому значению ~.
Если Ях[~) — одномерная функция плотности вероятностей п-мерного случайного процесса ((~,~о), ~ Е Т, то Е~(~) = М[(~(й,ы) — т~(~)) (Ц1,ы) — т~(й)) ] = где ~1 [с,ы) т1 (8) х1 те[С) Ь:, х Ь ~„(й, ю~) т„(С) х„ 0~ )=' Е~(Е) = [Ео(й)) Е Мп[Ф), Ео(й) = М[ф,(Е,ы) — т,(1))(~,(й,ы) — т~(Е))] = Е„(й), и поэтому ковариационная матрица п-мерного случайного процесса Ц~,ы), ~ Е Т, является симметрической.
Ее диагональные элементы имеют вид Елр,(с) = Мфл[с,ы) — тл[Е)) ] =Р[4л(~,м)) = о~,.Я, Таким образом, при каждом фиксированном 1 к Т значение Ель[~) равно дисперсии скаллрной случайной величины, являющейся к-й компонентой сечения исходного случайного процесса, 34 Е ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ соответствующего рассматриваемому значению г. При йф ) по- лучаем, что Е„(1) = М[(6(Ю, ) — тЯ)ЯЯ(о) — т,(Г))) = = сои~~,(г,(о),РоЯ(о) ), т.е. при каждом фиксированном С Е Т значение Е, (1), й ф (, равно ковариации двух скалярных случайных величин, являющихся г-й и у-й компонентами сечения исходного случайного процесса, соответствующего рассматриваемому значению г.
При решении прикладных задач используют понятие дисперсии а~~(1) и-мерного случабноео процесса ~(1,(о), ~ е Т. По определению полагают, что о4(Г) =Щ(С, )) ='~~ о~„(С), ьш! т.е. она равна следу БрЕ4(~) ковариационной матрицы этого векторного случайного процесса. При этом очевидно, что а4Я = М[Фоо) тг(~)) ((И,(о) — те(Г))] Определение 1.5. Ховариациоииоб функцией и-мерного случайного процесса Д8,(о), г Е Т, называют матричную функцию К4(81,8з) типа п х п двух скалярных переменных 1( и ~з, значение которой при фиксированных 81,1з Е Т равно ковариации двух случааных векторов ~(г(,(о) и Д~з,(о), определяемой следующим образом: Ке(й(,гз) 4 М[(((йм >) — тф()) фгя,(о) — тг(кз)) — ( (Р >-~И ((( Р)- а(П (( й(р)Ч )(~ ~ )~Чп)~Чп), и~ иа т где х(ь( = (х,(ь~ ...
х„(ь1) б 1ь" и Д~(х(П,х(з~(г1,йз) — двумерная функция плотности вероятностей (возможно обобщенная) исходного случайного процесса. п2. математическое ожидание и коаариаииоииаа функции 35 Согласно определению 1.5, на пересечении й-й строки и ~'-го столбца ковариационной функции Ке(~1,~з) и-мерного случайного процесса с(1,м), ~ Е Т, находится скалярная функция Кб(,(й1,сз) — = МИа(~ыо>) т,(~1))ЫзРг ~о) — ем~(~з))] двух скалярных переменных ~~ и ~з. Ее значение при фиксированных ~ы 8з Е Т равно ковариании двух скалярных случайных величин Ярым) и ~~(Фяы), обладающих математическими ожиданиями т,(е1), еп,(ез) и являющихся з-й и у-й компонентами н-мерных случайных векторов С(~1,м) и С(~з,м) соответственно, т.е.
Кба (~1,~з) = соче[~ (~ыо~) се (~з1~о)1. Пример 1.3. Пусть а(ы) и,З(м) — скалярные случайные величины с числовыми характеристиками: М[а(ы)] = хп; М[~У(м)] = тн,' Р[о(м)] = се~; аа[д(м)] = о2; саиг[а(м),~3(ы)] = м. Определим математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса ~(1,ы) = а(м) сое(у1) + 13(ы) яп(~р1), 1 Е Т = [О, оо), где у Е И вЂ” постояннал.
Имеем т~(й) = М[о(ы) сое(ун) + ~У(о>) яп(ус)] = = М[а(ы)! сое(ф) + М[~3(м)]яп(ф) = тисов(ф) + таян(ф). Пусть далее о о(и) 4 о(о~) — еоо; Д(~о) Ь ф(м) — п1о. Тогда о о с (С, м) = Я, ы) — тЕ(й) = а(м) сое(~рй) + м(ы) е1п(ун). Зб С ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ В этом случае Кс(см сг) = М(с(сс,с ~) с(сг,ш)] = М((о(ш)) ] сов(фс) сов(игсг) + л о + М[о(ш) Д(ш)](сов(<рСс) в)п(рСг) + вш(угСс) сов(дС2)) + + М((Яш)) ]вСп(рСс) всв(уС2) = о сов(рСс) сов(~рС2) + + хвСп[р(Сс+ Сг)]+ о„,вш(фг) всп(12С2).
В частности, если случайные величины о(ш), Сэ(ш) являются неноррелированными (ге= 0) и ог = ог = аг, то КС(Сс,Сг) = о сов[иг(С2 — Сс)]. Теорема 1,1. Пусть С(С,ш), С Е Т, — и-мерный случайный процесс, для которого существует ковариационная функция КС(Сс, Сг). Тогда 1) КС (СС~С2) — 'ССС(С21С1)~ й) КС(С, С) = БС (С); 3) евклидова норма ковариационной функции, т.е.
корень квадратный из суммы квадратов ее элементов, удовлетворяет неравенству Коши — Буняковского 11А'~й ' 6< Ям СлЪ 4) если д(С) — неслучайная и-мерная вектор-функция скалярного аргумента С Е Т, А(С) — матричная неслучайная функция типа и х н, определенная на Т, и тр(С,ш) = А(С)ДС,ш) + ц)(С), С Е Т, то в этом случае Кч(с„с,) = А(сс) Ке(см сг) А (сг); 5) если ковариационная функция Кс(с,,сг) непрерывна в точках диагонали сс — сг квадрата Т х Т, то она непрерывна в любой другой точке этого квадрата; 1 2 Математическое ожидание и коаариациониая функция 37 б) для любого та ) 1 и для любого множества (11~а 1 Е Т точек отсчета квадратичная форма Е~ т-ч т т 7 Хр)К~(1„1,)ХВ1, Е(ь) =(211 ...
2оь) ЕИ", /с=1,ит, ия1 им1 мт переменных лм, 1= 1, п, /с = 1, и1, является иеотрицательно определенной. й Первое утверждение следует непосредственно из определения ковариационной функции и свойств операции транспонирования матриц, так как ятЕ (Ф1,12) — (М1(Ч(е1,о1) — та~(11))(С(12,1о) — т((12)) ] 1 = М[(С(12>«~) ™с(12))®11,ы) — ™е(11)) ~ = яте(е2~11) ° Второе утверждение следует непосредственно из определения 1.4 ковариационной матрицы и определения 1.5 ковариационной функции случайного процесса, так как 1~4(1А) = М ((Я,1о) — и2С(1)) (С(1,о1) — п1((1)) 3 = 1т(1).
Третье утверждение следует из меравемсптва Шварца для математического ожидания ~[М[о(ы))3 (1е)Я < М[о (а1)о(ы)) М[13 (1о)13(1о)), в котором ()=( ()" ()) д()=(А()."А()), если считать, что о(ы) а с(е1 1о) т((11) дИ а 612 1о) т((12) ° Для доказательства неравенства Шварца предположим, что Л Е К вЂ” неслучайный параметр. Тогда для любого Л 0 < М [(о(1о) + Л 3(ы) ) (о(1о) + Л 3 (1о) )] = = М[о (афхЩ+ 2ЛМ[о (ы)13(ю)) + Л2М[д (1е)ф(о1)) 38 !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
