XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ и поэтому дискриминант этого квадратного трехчлена неотри- цателен. Это дает неравенство (М[о (ь»)»3(ь»)])~ < М[о (ь»)о(ь»)]М[3 (ь»)»3(»г)]. В случае скалярных случайных величин с»(ь») = он(ь»), »3(ь») = = 13 (ь») зто неравенство превращается для них в неравенство Шварца (М[о;(ь»)А(ь»)])г < М[аг(ь»)!М[,32(ь»)]. Используя его в векторном случае, получаем и и )[М[а(ь»)»3 (ь»)Я = ~» ~~» (М[ои(ь»)»33(ь»)]) < 1=! гм! н» Н И < ~ »» М[о~(ь»)]М[»фь»)] = ~~» М[о3(ь»)]~» М[»3~!(ь»)] = 1м! г=! г=! См! = М[о (ь»)о(ь»)] М[»3 (ьг),9(ь»)], что и завершает доказательство неравенства Шварца.
Чтобы доказать четвертое утверждение, достаточно воспользоваться очевидными равенствами: тч(С) = А(С)тС(С) +»Р(С), С Е Т; »1(С,ь») — т„(С) = А(С) ©С, ) — тС(С)), С ~ Т, и определением 1.5 ковариационной функции. Действительно, К„(С„Сг) = = М [А(С!) ф(С„м) — тС(С!)) ®С„м) — тС(Сг)) А (Сг)] = = А(С!) М [[с(С»,~) — »»»С(С!)) (с(Сг,~) — тС(Сг)) ] А (Сг) = = А(С,) И'С(С„С,) А'(С,). Для доказательства пятого утверждения положим С(С,ь») = С(С,ь») — тС(С), С с Т, !ЛЬ Математическое ожидание и коаариационнаа функции 39 н рассмотрим [[К,(!!+Ь„1,+Ь,) - К,(1„1,)Ц = о от о от = ЦМ[ь(й!+ Ь|,ь!) ь (!!+ Ьз,л!) — Щ,ь!) ь (сз,л!)][[ = о о о = [[М[Яй!+ Ь!,ь!) (Ле(йз+ Ьз,о~) — г(йз,л!)) + о о от + (С(Е! + Ь!~ЙР) — Я(Й$,л!)) С (1з,!е)][[ ~~ < ЦМ[Дг!+Ь,,о!)(Щ+Ьз,о!) — ~(Ез,!н)) ][[+ + ЦМ[(а!!+ Ь„» — 61„! )) ~'(!з, )]Ц < о о о о ео о((С!+Ь!)М[(с($2+Ьз,а!) — Я(оз)О!)) (4(ог+Ьг,ь!) — Доз,!а>))]+ о о о о + М[®й!+Ь|,л!) — Дй!,ср))~(Я(й!+Ь„ь!) -Ц!!,!о))]о'(1з,о!), где использованы неравенство треугольника [1у'] и неравенство Шварца.
А так как М[ф(С+Ь,а>) -ДС,л!)) ®1+Ь,о!) — ~(й,о!))] < < ЦМ[Щй+Ь,ее) — Щь!)) ДЕ+ Ь,!о) — Д1,ее)) ] Ц = Цкбм+ Ь,!+ Ь) — К1(1,!+ Ь) — К1(!+ Ь,!) + К,(с,1) Ц и по условию 11т К1(й+ Ь, !+ Ь) = 1пп К~(1+ Ь, С) = 11ш К~(1,1+ Ь) = К1(1, !) л-+о л-+о л-+о для любого ! Е Т, то утверждение 5 доказано полностью. Для доказательства шестого утверждения теоремы 1.1 рассмотрим выражение о1 ™ т М~(~ Я(!)~(С!,о!)) 1 = ~ ~~! Я(!)Мфй,,еи)~ (Сд,о!)] У(11= ие! ю=! Иа! =ЕЕ'1е)К (' ")'11 4О Е ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ А так как в левой части записано математическое ожидание неотрицательной случайной величины, то оно неотрицательно, и утверждение 6 доказано. 6 Замечание 1.1. По аналогии с коэффициентом корреляции двух скалярных случайных величин в теории случайных процессов используют понятие морреллаиоммой функции Кв.,ь (11>1г) /~г (1 ) / з (, ) Замечание 1.2.
Если случайный процесс С(в,ы), ~ Е Т, принимает значение в измеримом пространстве Х С х.', то его называют момалемсиым случайным процессом. Для него полагают, что К~(вм1з) = МЩЕНИЕ) — тф1))*(ЦЬз,ы) — т~(1з))], где символ „*" означает операцию комплексного сопряжения. Таким образом, если ~(1,и), г Е Т, — комплексный случайный процесс, то а) К~(с1,в,) = (Кф„с,))"; б) К~(~„с,) = (К~,„(1„1,) + К~,~,(в,,сз)) + + г (К~,~,(в„1,) — К~,<, (~,,1,)), где с(1,м) = с1(1,ы) + вся(6,м), 1 е Т, а с1(1,м), в е Т, и сз(1ел), 1 Е Т, — скалярные случайные процессы. Пример 1.4.
Пусть А(м) = а(ы) + 16(ы) — комплексная случайная величина с нулевым математическим ожиданием, ~р Е К вЂ” неслучайный скалярный параметр и комплексный случайный процесс ~(1,ы), 1 Е Т, имеет вид ~(~,ы) 4 А(ы)евм = (а(ы) сов(р8) — 6(ы) в1п(~р~)) + +1(6(ы) сов(~р~) + а(ы) в1п(ф)), ~ Е Т = (О, оо). кг. Математическое оиидаиие и коаариаииоииаа функции 41 Тогда М[~(г,(о)) = М[А(ог) е'4"1 = М[А((о)]е'и' = О; 6=0+гОЕС; К~(г,,гг) = М[(А((о) ехр(иргг)) [А((о) ехр(г(рог))) = = М[А" ((о) А((о)) ехр[ир(Г2 — ог)) = = М[а ((о) + Ь ((о)) сое(Чг(гг — о 2 ) ) + + 1М[аг((о) + Ьг((о)) е1п(1р(гг — ог)).
Определение 1.6, Взомленоб ковариационноб фуммммей двух и-мерных случайных процессов ~(1,(о), е Е Т, и 21(г,(о), о Е Т, определенных на одном и том же множестве Т Е И и на одном и том же веролтиоспгиом пространстве (й,А,Р), принимающих значения в одном и том же изаеери,иом проспграистпве Х С Е", называют неслучайную матричную функцию К4„(сг,сг) типа и и п двух скалярных аргументов гг н 82, значение котоРой пРи фиксиРованных 22,22 Е Т Равно ковариации случайных векторов Д82,(о) и О(гг,(о), определяемой следующим образом: и" и" гДе У~о(т~у[гг,гг) — фУнкциЯ плотности веРоЯтностей (2п)- мерного случайного вектора [~ (гы(о) 21 (82,(о)) Согласно определению 1.6, на пересечении гтй строки и г'-го столбца взаимной ковариационной функции К~о(ог,82) находится скалярная функция Кб„(~2,22) = М[(6(гм ) — тб(г()) [О (12,' ) — и „(гг))] = = сом [~~ (о 21(о) ~ Ог(гг ои)] .
42 Е ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Взаимная ковариационная функция обладает следующими свойствами: а) К~„(~ысэ) = К„~(сэ,ю1); а~ ~~к„р„~,и < „с)?~,?,й~е; в) если ~Р1(й), уэ(1) — неслучайные и-мерные вектор-функции, А,(й), Аз(й) — неслучайные матричные функции типа и х в, определенные на Т С Е, и при й = 1,2 9(ц(~,м) = Аь(~) ()ь)(~,ы) + ~оь(1), ~ Е Т, где ~П)(1,м) и ~~э)(8,м) — в-мерные случайные процессы, определенные на одном и том же множестве Т С 1я, одном и том же вероятностном пространстве (П,А,Р) и принимающие значения в одном и том же измеримом пространстве Х С К", то Кчв1чпи(11,1э) = А1(сд) К~(пдп(С1,йэ) Аэ(йэ). Вопросы и задачи 1.1. Почему любое сечение и-мерного векторного случайного процесса является и-мерным случайным вектором? 1,2.
Существует ли связь между?У-мерным и (Ж вЂ” 1)-мерным законами распределения случайного процесса, где Ж > 2? Если эта связь существует, то укажите ее с использованием: а) функций распределения; б) функций плотности вероятностей. 1.3. Возможно ли в общем случае адекватное описание случайного процесса с помощью конечномерных законов распределения? 1.4. Можно ли определить математическое ожидание случайного процесса, если известна его: а) одномерная функция распределения; б) двумерная функция плотности вероятностей? 1,5.
Как связаны между собой дисперсия и ковариационнэя матрица случайного процесса? 43 Вопросы я задачи 1.8. В чем заключается принципиальное отличие ковариационной функции случайного процесса от его ковариационной матрицы? 1.7. Можно ли ввести корреляционную функцию для скалярного случайного процесса? В случае положительного ответа, сформулируйте ее основные свойства. 1.8. Постройте семейство реализаций (траекторий) скалярного случайного процесса с(1,ы) = (1+1 ) и(ы), с Е Т = (а, 6], где и(ы) — скалярная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром р = 0,5. Ответ: (1+1з) лп; п= 0,1,2, ... 1.0.
Докажите, что конечномерные распределения стохастически эквивалентных случайных процессов совпадают. 1.10, Являются ли стохастически эквивалентными скалярные случайные процессы с(1,м), 1 е т, и п(1,сс), 1 е т, если Т=(а, 6] и: э ) тр (1, ы) Ь С (1, м) (,У (1 — а) — э'(1 — (а + 6) /2] ); б) 0(1,м) = с(1,ы)(1 — 6[1 — (а+ 6)/2]], где,У(1) — единичная функция, а 6(С) — Б-функция Дирака.
Ответ: а) нет; б) да. 1.11. Пусть а(ы) и,З(ы) — неотрицательные скалярные случайные величины с известным совместным законом распределения, а скалярная случайная величина 7(ы) не зависит от иих и равномерно распределена на отрезке (0,2п]. Докажите, что любое конечномериое распределение скалярного случайного процесса 61,ы) = о(со) сое(13(ы)1+7(и)], с Е Т С й, не зависит от сдвига по времени, т.е. для любых У > 1, 1ь Е Т, й = 1, %, и 6 б К, такого, что 1ь + й Е Т, lс = 1, Ю, имеет место Е ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ тождество гС(хы,хвс[СО...,СН) = РС(хы...,хн~С, +П,...,СН+6). 1.12. Для случайного процесса из задачи 1.8 определите математическое ожидание и дисперсию. О т в е т; тС(С) = 1/2(1 + Сз); АСС(С) = 1/2(1 + Сз)з. 1.13.
Определите математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию скалярного случайного процесса ~(С,м) ж 2и(м) в1п(пС) + Зп(я)С + 5, С Е Т, где п — известный неслучайный параметр, а и(ы) и и(ы) — скалярные случайные величины с известными числовыми характеристиками: М[и(ы)] = 1; М[е(ы)] = 2; О[и(и)] = 0,1; 1Э[е(ы)] = =0,9; р(и(м); п(я)) = -0,3. Ответ: тС(С) = 2в1п(пС) + 6С'+ 5; сгсз(С) = 0,4в1пз(пС) +8,1С~ — 1,08С'в1п(иС); КС(СЫСз) = 0,4в1п(иСс) в1п(пСз) + 8,1фз ~— — 0,54(Ссяп(Из) +Сз~яп(ИС)). 1.14.
Пусть известны числовые характеристики двумерного т случайного вектора и(я) = (ис(ы) из(ы)): М[и(ь~)] = ', сои[и(ы)] = Найдите математическое ожидание, дисперсию и ковариацион- ную функцию скалярного случайного процесса ЦС,м) = ис(ы) совС+ из(ы) япС+ С, С Е Т. Ответ: тС(С) = — 0,5совС+япС+С; стСС(С) = ЗсовзС+2,9в1п~С вЂ” 2яп2С; КС(СИ Сз) = ЗсовСс совСз + 2 9в1п Сс в1пСз — 2яп(Сс + Сг) ° Воиросы и задачи 1.15. Найдите математическое ожидание, ковариационную функцию, дисперсию и одномерный закон распределения скалярного случайного процесса Д1,ю) = с»(ю)1+)1((»)1, 1 Е Т = [О, оо), где о(ы) и,З(а») — независимые скалярные случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией аз = 0,25. Ответ: т~(Е) =0; К~(йыйз) =0,25Е»Ез+025Щ; с»<(й) = 0,251~(1+1~); ~~(х[Е) =,, ехр 1.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
