XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 8
Текст из файла (страница 8)
54 Л НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Таким образом, В~($ — з) = соч[с(й,ы) — с(з,м); Цй,ыЯ = = соч[~(й,ы);~(Ф,м)] — соч[С(з,м);~(й,м)) = = Е~(й) — сочил,са); (~(й,ы) — ~(з,м))+~(з,ы)] = = Е~(й) — соч[Яз,ы);Дй,м) — ~(з,ог)~— — соч[~(з, ы);~(з, м)) = Е~ (Ф) — Е~(з), т.е. ковариационная матрица приращения С(1,м) — С(з,ы) равна разности ковариационных матриц соответствующих сечений С(1,м) и Яз,и) исходного случайнаео процесса. ф Если воспользоваться формальным определением функции В~(~ — з), приведенным в примере 2.3, то при з ( Ф и з, ~ ) 0 В~(й) =сочфй,м) -~(О,м);~(й,м) — ~(О,ь~)[, В~(з) = соч[ч(з,м) — ЯО,и);Де,ы) — с(О,ы)1.
Но в зтом случае В~(й — з) = соч[фй,и) — с(О,м))— — ®з,м) — ~(О,м)); (Я(~,ы) — ЯО,ы)) — (Дз,м) — ~(О,м))~ = = В((й) + В((з) — 2 соч[~(з,ы) — ~(О,ы); ДЕ,ы) — ~(О,ыД = = В~(Ф) + В~(з) — 2соч[6з,м)~ 681са) — 60!ы)1 А так как соч[~(з,ь~); Дй,ы) — Щс")3 = = соч[~(з,м); (~(Ф,ь) — 6з,м))+ (~(з,ь) — 4(0,ь~)1 = = соч[С(з,ы); Яз,ы) — с(О,ы)! = = соч[(Яз,ы) -~(О,м))+~(0ы); Яз,~) -60,~.)3 = В((з), то приходим к равенству В~(ь — з) = В((~) — В~(з), 55 ЗА. Вииеровсиий процесс которое имеет место для любых 1, в Е Т, удовлетворяющих неравенству в < 1. Можно показать, что если В~(1) — непрерывная функция, то В~(1) = А~. Кроме того, для процесса с ортогональными приращениями Я,ш), 1 к Т, такого, что с(О, ш): — Р, имеют место равенства В,(1) = Е,(1) = АС.
Значит, коварнацноиная функция равна ( ) (А1, 8))8; 1Ав, в(1, илн К~(вД = Аш1п(1;в). 2.4. Виперовскнй процесс Определеиае 2.5. Если С(1,ш), 1 б Т = (О, оо), — н-мерный случайный процесс, то его называют еимеровским процессом, выходящим из О, если выполнены три условия: 1) ДО,ш) = О; 2) для любых Ф ) 1 и 1ь к Т, й = 1, Ф, таких, что О < 11 < < гз «... Сл~, случайные векторы Дгыш), С(гз,ш) — ~(1ыш), ..., 4(1м,ш) — 4(~м ыш) являются независимыми; 3) для любых 1,,1з Е Т, таких, что О ( 81 < 8з, случайный вектор С(йз,ш) — С(1ыш) распределен по нормальному закону с нулевым математическим покиданием и кооариационной матрицей (1з — 11)азу„, где Х„б М„(Е) — единичная матрица.
Винеровскнй процесс, или процесс броуновского движения, имел большое значенне при разработке теории случайных процессов. Многие распределения, используемые в теории упра- 56 2 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ вленця, можно моделировать процессами, порождаемыми винеровскими процессами. В 1827 г. английский ботаник Р. Браун заметил, что маленькие частицы диаметром около микрона, погруженные в жидкость, находятся в постоянном хаотическом движении. В 1905 г.
А. Эйнштейн объяснил зто движение как результат столкновения частиц с молекулами жидкости. Он разработал математическую модель броуновского движения и определил число Авогадро, равное числу молекул в объеме, занятом молем газа. Строгий математический анализ броуновского движения дал Н. Винер в 1923 г. Эвристически броуновское движение можно объяснить следующим образом.
Рассмотрим отдельную частицу, погруженную в жидкость, обозначив через (~ (~), Сз(8), сз(~) ее координаты в момент времени 8 > О. Будем считать, что в начальный момент времени ~ = 0 она находится в начале координат, т.е. ~ь(0) = О, Ь = 1,2,3. Движение частицы на любом конечном временном интервале является результатом изменения импульса (количества движения) вследствие практически бесконечно большого числа независимых друг от друга соударений с молекулами жидкости. Позтому естественно считать, что применима центральная предельная теорема (ХЧ1).
Кроме того, можно допустить, что: а) смещения частицы в ортогональных направлениях происходят независимо; б) ~ь(Е), Ь = 1,2,3, распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией аз(е); в) смещение частицы в каждом Ь-ом ортогональном направлении на различных непересекающихся временных интервалах 0 < ~1 < ... < ~И представляется независимыми случайными величинами ~$,(с~), сь(йз) — ~ь(й1), ..., (ь(с~ч) — ~ь(йи ~); г) смещение частицы в каждом Ь-ом ортогональном направлении на временном интервале (8, 8+ Ь), равное сь(~+ Ь) — Я1), имеет ту же функцию распределениц что и смещение сь(Ь)— -~ь(О), где ~ь(0) = О. 57 2.4. Вииеровский процесс Отметим также, что дисперсия аз(~) = ВЬ(~Н обладает любопытным свойством: о'(с) =о'~, й >О, где постоянную ог интерпретируют как мозффициенпь дии5- фузии.
Деяствительно, согласно допущению в), случайные величины Сь(й) и Еь(С+ й) — 5,(й) являются независимыми. Поэтому ОЬР+ ЙН = ОЬ( Н+ оЬ( + й) - а(4Н), или о'(с+Ь) = '(с)+пЬ(с+А) — ~ь(с)). А так как, согласно допущению г), ОЬ('+ Ч -6ьНН = пЬ("Н то оз (С+ Ь) = сг2 Н) + о 2 (6), откуда и следует отмеченное свойство (см. пример 2.3). Заметим, что этот результат является следствием из рассмотренных свойств процессов е ортогональными прираи4ениями. Замечание 2.1.
Если в определении винеровского процесса условие Д(0, ы) = 0 заменить условием С(0, ы) = х, где х Е Х С яь", то получим определение винеровского процесса, выходящего из точки х. Замечание 2.2. Если Я1,ы), ~ Е Т, — винеровский процесс с коэффициентом диффузии о~, то случайный процесс с(с,ы)/~lоз, ~ б Т, называют етпаидаргпным винеровемим процессом. Для любых 8м 8з Е Т, таких, что 0 < 41 < 8з, случайный вектор ~(сг,ы)~~~~~ — Я(11,м)ъ~Р распределен по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей (сз — 41)1 . 4~ 58 и некОтОРые типы случлйных пРОцессОВ Следует также отметить два характерных свойства винеровскнх процессов.
1. Винеровский процесс является процессом со сгпационарными приращениями. 2. Если Я$,м), 1Е Т, — винеровский процесс и оз — его коэффициент диффузии, то для любых Ф~,Фз Е Т, таких, что О < 11 < $ю ковариационная функция равна Н~(11 1з) =11 о'1, так как винеровскнй процесс является процессом с независи- мыми приращениями. Пример 2.4. Докажем, что винеровскяй процесс является нормальным процессом. Для упрощения дальнейших рассуждений ограничимся рассмотрением скалярного винеровского процесса Я1,м), 1 Е Т = = [О, оо), предполагая, что он является стандартным, Докажем, что для любых М > 1 и Щ~~ с Т, таких, что О < 11 < 1з < ...
< < 1н, случайный вектор с(ы)=(61О ) Ж ) ". 6~мы)) распределен по нормальному закону. Пусть далее 1е=О,' пь(и) ЙЯюш) — Я1ь ыы), й=1,Ф; О( ) = (ц1( ) цз( ) ". Оч( )) Согласно определению 2.5 винеровского процесса, плотность распределения (аеролгпносгпей) случайного вектора ц(ю) является плотностью Ф-мерного нормального распределения [ХУ1), которая в данном случае имеет вид (2 ) -1/з з ~и(я1 "° ям) = Д ехр[ 2( )) ° ля! 1ь-сь, [ 21ь-сь, 59 г.л. Марковские процессы Если ввести в рассмотрение матрицу 1 О О ...
О О -1 1 О ... О О А= Π— 1 1 ... О О ЕМУ(К), О О О ... -1 1 то, согласно общей теории построения законов распределения функций случайных величин [ХЧ1), с учетом очевидных равенств ц(ы) = Ас(ы), 4еФ А = 1 имеем Я~(ум уг," ум) = — Яу) = Д(Ау) = Д(ум уг — У1, ", ум — у~ч-~). Таким образом, если уо Ь О, то 1Ч-мерная плотность распреде- ления (вероятностеи) Л(У1 Уг "° ~уй) = (2н)-1/г ~ (у„у„,)г1 ехр— 2е~ — ш ~] является плотностью 1в'-мерного нормального распределения, что и требовалось доказать.
2.5. Марковские процессы В теоретических и прикладных исследованиях, связанных с марковскими процессами, для их конечномерных (Ж-мерных) функций плотности вероятностей Д~ (хрр..., харч~ (йп..., й~ч) используют сокращенные обозначения Дхр р х~гр..., х~~д1). ОО г. нккоторык типы случяйных нроцкссок Определение 2.6. Пусть ~((,ы), ( Е Т С И, — и-мерный случайныйй процесс„конечномерные функции плотности в ероятностей которого (возможно обобщенные) У(х(ц,х(г1,...,х(н1) заданы для любых Ф > 1 и (ь Е Т, /с = 1, Ф, таких, что (1 < < (г « ...
(н. Если при этом условная функция плотности вероятностей имеет вид У(х((ч1~х(н ц,...,х,) = — ~(х(н1)х(н ц), то с(8еы), ( Е Т, называют марковским процессом. В связи с тем, что марковские процессы занимают особое положение в теории случайных процессов и ее приложенвях, они будут рассмотрены отдельно. На данном этапе отметим лишь, ' что любой канечномерный закон распределения марковского процесса выражается через его двумерный закон распределения, так как ~(х(ц,...,х(н1) = = Я(н1)х((ч-11 ." х(ц) У(х(ц,".,х(н-ц) = У( (%1! х(К ц) Х(х(1)Ъ ' ' '5х(М 1)) = ~(х(н1 $х(~ч ц) ((х(н цех(м г1)...г (х(г1 $х(11) ~(хп1).
Пример 2.5. Пусть с((,ы), ( Е Т, — винеровсний скалярный процесс, выходящий из нуля. Для винеровского скалярного процесса Ф-мерная функция плотности вероятностей ~~(хы...,хн ~(ы...,(н) равна (см. пример 2 4) Дхы..., хн) = М 2 =П 1 ( (хь — хь 1) ~ ехр (- ' (в = 01 хо = О. ,, „япч 7,,д ~ 2а,-ч,~1' 61 З.б.
Пувссавояским процесс Поэтому Дх)ч[х))) 1,х)ч з,...,х1) = / (х1, хЗ,..., х)))) / (х1, хз,..., х)ч) ,/ (х1, хз,..., х))) 1) Дх1, хз,..., х)))) 2/х))) 1 (х/)) — х))) 1)11 ехр — = Дх))) [х))) 1) 2)22)2~ 22 ) [ 2)2~ — 22 ) ) и, согласно определению 2.6, винеровский процесс является марковским процессом. 2.6.Пуассоновский процесс Р [С(222)2)) — С (212 Ы) = /С/ е ( з 1) /с ~ /ч')./ (О/. Замечание 2.3. Пуассоновский процесс играет важную роль в различных приложениях теории случайных процессов, в частности, в теории массового обслуживания. Определение 2.7. Пуассоноеским процессом с параметром А ) 0 называют скалярный случайный процесс ~(8,ц)), / Е Т = [О, оо), обладающий следующими свойствами: 1) с(О,ц)) = 0; 2) для любых 12/ > 1 и гь б Т, /с = 1, %, таких, что 0 = со < < 11« ...
/)ч случайные величины Д/ь, а)) — Д/ь 1, ц)), й = 1, /1/, являются независимыми; 3) для любых Ф1,/з Е Т, таких, что О < 11 < 11, случайная величина С(/з,ы) — Д/1,а)) распределена по закону Пуассона с параметром Л(/з — 81), т.е. 62 3. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Вопросы и задачи 2.1. Докажите, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот. 2.2. Является ли винеровский процесс: а) гауссовским процессом; б) марковским процессом? 2.3.
Определите Ф-мерный закон распределения пуассонов- ского процесса. 2.4. Какими общими свойствами обладают винеровские и пуассоновские процессы? 2.5. Докажите, что пуассоновский процесс является марковским. 2.6. Пусты~ — неслучайный параметр, а а(и) и 13(ы) — некоррелированные скалярные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковой дисперсией, равной сгз. Является лн скалярный случайный процесс С(1,ы) = а(ы)в1п(И)+,8(м)сов(И), 1Е Т С 1ь: а) стационарным в широком смысле; б) стационарным в узком смысле? Ответ: а) да, так как для такого процесса тф) =О и К~(Г1,1з) = овсов[и(1з — 11)1; б) в общем случае нет, так как 1 Л(*1р*з) ы 2) — ~ . г, ) Х (в1п [и(гз — 11 )1 х1ап(Из) — хзвш(И1) хз сов(Из) — х1 сов(И1) х1 д в1п [и(1з — 1~)~ в1п [и(Сз — С1)1 2.7, Решите задачу 2.6, если известна совместная функция плотности вероятностей случайных величин о(ы) и д(ы): Вопросы и элдачн Ответ: а) да, так как для такого случайного процесса ш~(Е) = 0 и Кл(М),1а) = (3/8)соя)и(йа — С))~; б) нет, так как ,)4(Х12х2 ~ 2! 222) = 24(Х1я)п(Иа) — хая1п(и1~)~ (х~ сол(и11) — хясов(и1а)) и/я)п ~и(йл — С1)1~ 2.8.
Является ли случайный процесс п(1,п)) = Я1,п)) + и(п2), $ Е Т С Е, стационарным в широком смысле, если С(2,п)), г Е Т, — стационарный случайный процесс и: а) для любого фиксированного 8 Е Т случайные векторы Д1,п2) и п(а)) являются независимыми; б) п(п)) = Дйе2е)), гДе 1е б Т. Ответ: а) да; б) нет. 2.9. Пусть 4(1,а)), 1 Е Т, — скалярный нормальный стационарный в узком смысле случайный процесс. Найдите одномерную и двумерную функцпи плотности вероятностей этого случайного процесса. Ответ: 1 ~ (х — ш4)а1 '* ',/2 К2)2)'"~Г 2К,)2) )' е' Я* *~)2,чк)=-Э*, ) )= 2 К2)2) — К,') )' где [(х) -)п4) + (ха — ш4)~) К~(0) — 2К4(т) (х) -т4) (ха — т4) -2 (Кз(0) — Кэ(т) ~ 64 а некОтОРые типы случАЙных пРОцессОВ 2,10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
