XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Итак, нэ существования предела 1пп Оытд)-+1цтЯ + (тнс(д) пд~(т) — тдд~(дд)пд~(тд)[ = О следует существование предела !пп (К~(дд,тд) — Кд(д,т)(=О„ Оотд)-+1цт) т.е. Кт(д, т) непрерывна на Т х Т. Достаточность. Полагаем, что т~(д) и КЯ,т) непрерывны на Т и на Т х Т соответственно. В этом случае М[[ф(д,до) — Ят,до))л) = =М Ц Я),4- тг(д)) — ®т,ы) — пде(т))+ (то~(Ю) — тнд(т)) Ц вЂ”= а КД,)) + Кт(т,т) + (од~(д) — то~(т)) — 2К~(д, т). 82 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Таким образом, существует предел 1пп М~)~(с,м) — Яг,ы)[~] = О, что и требовалось доказать. Ф Пример З,З, Случайный процесс Дй,и) =а(ы)соя(рй)+~3(ы)е1п(срй), С Е Т= [О,оо)> из примера 1.3, имеющий параметры М[а(ы)] = т, М[11(м)) = = тд, О[а(м)) = о~, )Э[13(м)) = олэ, соч[а(и);11(ы)] = «, является непрерывным на Т, так как функция т~(С) 4 М[с(й,ы)) = т соя(уй) + тое1п(уй) непрерывна на Т, а функция К((Е11йэ) — М [ Яйьы) — т~(е1)) ф(йэ ~о) — тс(сэ))] = = оа соя(Ф1) сов(~Фэ) + «я1п[ф(11+ 1э)) + оря1п(уи1) е1п(~~йэ) непрерывна на Т х Т.
3,3, Дифференцируемость случайного процесса Определение 3.5. Скалярный случайный процесс второго порлдха ~(С,ы), 8 Е Т, называют диффереицируемым в тоиие 8о Е Т, если существует случайная величина с(1о,м), для которой Определение 3.6. Если скалярный случайный процесс второго порядка Я1,ы), 1 Е Т, является дифференцируемым в точке со Е Т, то случайную величину Д1о,ы) называют его производной в этой точие.
3.3. Днфференцнруемасть случайного процесса 83 Определение З.т. Если скалярный случайный процесс второго порядка С(С,м), С б Т, является дифференцируемым в каждой точке открытого множества То С Т, то его называют дифферентСируемым на множестпве То, а случайный процесс с(С,ы), С б То, — тьроизводноСС случаССноео процесса С(С,и), С б Т, на множестпве То. Теорема 3.7. Для того чтобы скалярный случайный процесс второго порядка С(С,ю), С б Т, был дифференцируем в точке Со б Т, а для случайной величины С(Со,ат) существовали матпематическое ожидание и дисперсия, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке была дифференцируема функция птС(С) и существовала вторая смешанная производная функции КС(Ст, Сз) при Ст = Сг = Со.
< Необходимость. Пусть скалярный случайный процесс второго порядка ЯС,ат), С б Т, дифференцируем в точке Со б Т, для случайной величины ((Со,ат) имеет место равенство (3.1), а также существуют М[ЦСо,ат)] и Щ(Со,ат)]. Воспользовавшись свойствами математического ожидання и ковариационной функции (см. доказательство теоремы 3.6), приходим к неравенствам и['а"'-'а' ' та..)']~ ) м [~( ' ) ~( '") - ~(ь, )~ ~ > | Со С ~ > ~ ~ ~ ~ ~ ш С вЂ” Со М[ДС,и)] — М[ДСо,а)] $~ С вЂ” Со А так как выполняется равенство (3.1), то существует предел М[~(С,м)] — М[~(Со,ат)] с-+тт С вЂ” Со Отсюда следует существование предела М[~(С,ы)] — МфСо,ат)] с~с, С вЂ” Со 86 3.
ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА или, что то же самое, й Кй(йд>йз) — Кй(йо>йз) — Кй(йд,йа) + К (йо>йо) 1пп + 1О>но)-+(доло) (йД вЂ” йа)(й2 — йа) М[Яйд д»)] — Мфйа и)] М[~(йз,д»)] — М[~(йо,д»)] йз — йа йд — йо -прайа, )] - (М[айа, )])'~ = О. Таким образом, существует предел Кй(йд, йз) — Кй(йо, йз) — Кй(йд, йа) + Кй(йо, йо) 1дпд О> Ла)-~1до,до) (йд — йо) (й2 йо) =Вфй„.)]. (3А) Кроме того, с учетом (3.3) имеем О = !1ш >>о(йо,йд,йз) = йд>ло)-+Но,до) [ ~ Дйд, а>) — 6йо,а>) 1>>яо)~~го,со) 11 йд — йо С (йз,>а) — С (йа,ад) Д й2 — йо 1пп [Кй(йд> йд)-Кй(йд >йо)] — [Кй(йо>йд)-Кй(йо,йо)] + йд> до)» йдо до) (йд — йо)2 [Кй(й2 > й2) Кй(йз> йаН [Кй(йо> й2) Кй (йо> йо)] (й, — йа)' 2 [Кй(йд,йз) — Кй(йа>йз)] -[Кй(йд>йо)-Кй(йо>йо)] (3.5) (йд — йо)(йз — йа) В фигурных скобках в правой части последнего равенства записана линейная комбинация ревностных аппроксимаций вторых смешанных производных для ковариационной функции Кй(йд,йз) в точке (йо,йо).
Позтому существование для нее нулевого предела при йд, йз -+ йо с учетом равенства (3.4) означает 3.3. Днффереицируеность случайного процесса 87 а Ггп~(11) — т1(йа) пгЕ(1г) — пге(10) А(со|с),~г) = ~ ~1 — 10 ~г — ~а В(1„1„1г) А с [К~(11111)-К((~1, 10)] — [К((~0, 11)-К((~0, га)] (11 -Еа)г Ж(~г, 1г)-%(13,10Н вЂ” Ж(10~1г)-К~(~0,10)] (Сг 10)г [К( (с) ~ с г) — К( (С01 й г)] — [К~(С!1 Со) — К~ (СО ъ со Я (11 — 10) (сг — 10) то существуют пределы 11п) А(йо,11,йг) = О 1),1г-+)с 1пп В(10,11,1г) = О. 1) )з-+)о Но тогда имеем О = 1пп [А(10,1),~г)+В(10,11,1г)] = 1),12 -+10 м))~Р, )-1)~ ) 6ч, )-1)ч, ) *] 1 МГ! существование вторых смешанных производных для К~(11, ~г) в точке (1о,1о) и выполнение следующих равенств: дс1д1г ~й)=1г=)о дсгд11 1)=1г=)о Д о с т а т о ч н о с т ь. Предполагаем, что условия (3 2), (3 6) выполняются.
В этом случае для доказательства равенства 3.1 достаточно проверить стохастпичесиий ирип)ерий Коши: ~~~(1),а)) — Я10,0)) ~(1г о)) — ~(1о,о)) 1пп М =О. 1,,1,-+1с [ ~1 — ~0 1г — 10 Это может быть реализовано повторением в обратном порядке цепочки равенств, приводящих к равенству (3.5). Действительно, если (3.2) и (3.5) выполняются и 88 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИ ЧЕСКОГО АНАЛИЗА Таким образом, существует случайная величина с(~е,и), такая, что верно равенство (3.1). > Следствие 3.2. Для дифференцируемого на множестве Т скалярного случайного процесса второго порядка С (1, м), 1 й Т, с математическим ожиданием т~(8) и ковариационной функцией К~(й1, гз) определен скалярный случайный процесс ((1,м), 1 б Т.
При этом, если ц(й,ы) 4 ~(1,м), 1 Е Т, — случайный процесс второго порядка, то ать) д К~($1 ~12) д К((11ре2) т„(~) = —, К„(11, 1з)— ае ' " ' дй~д1~ дг~д1~ Следствие 3.3. Если С(~,и), 1б Т, — дифференцируемый в Т стационарный скалярный случайный процесс второго порядка с математическим ожиданием т~ = сопвФ и ковариационнон функцией К~(т), т =1з -11, а ц(1,м) =Я1,а~), й б Т вЂ” случайный процесс второго порядка, то Пример 3,4. Рассмотрим скалярный случайный процесс Я1,ы) = о(м) сов(<рС) +,9(м) в1п(уй), 1 й Т = [й, оо), где о(м) и ~3(м) — независимые случайные величины с матемз; тическими ожиданиями т и тр соответственно, одянаковыми дисперсиями, равными а~, а ~р е И вЂ” известная постоянная.
В этом случае (см. пример 1.3) т~(й) = т сов(срй) + тлв1п(~рй), К~(11,1з) = азсов[ср(йз — й1)). А так как существуют производные — = у[тдсов(уФ) — т е1п(уя)), 1 й Т, йт((1) д'К~(й„йз) д К((11~аз) з з =а ~р, 1ЕТ, д11д 2 с,=ь=с д12д 1 ц=м=ь 3.3. Двффереицируемость саучвйнога процесса то исходный случайный процесс является дифференцируемым на множестве Т. При этом, если О(1,м) =С(1,ы), 1 б Т, то тп„(1) = <р[тдсое(<р1) — ш е1п(ф)~, Кч(1~,13) = оз рз север(йз — 1~ )), и можно утверждать, что скалярный случайный процесс О(1,м), 1 Е Т, также является дифференцируемым на множестве Т, т.е.
определен скалярный случайный процесс Я1,м), 1 Е Т и т.д. Пример 3.5. Пусть с(1,ю), 1 е т, — стационарный скалярный случайный процесс с ковариационной функцией К1(т) =о ехр( — о ~1т~), т=1з — 1~. На первый взгляд этот случайный процесс не является дифференцируемым, так как при т = О функция К~(г) не имеет даже первой производной. Но прн более внимательном рассмотрении с учетом существования и равенства пределов 1пп К~'(т) = и~а~ = 11ш К"(т) -~+о ~ -+ о убеждаемся в ошибочности этого вывода. Пример 3.6.
Пусть Яс,и), 1 б Т = [О,оо), — пуассоновский процесс с параметром Л > О. В этом случае, согласно определению 2.7, для любых 1~,1,13 Е Т, 1~ < 1 < ~з, случайные величины Джюса) — с(1,ы) и с(1,ю) — ~(йз,м) являются независимыми и распределены по закону Пуассона с параметрами Л(Ф вЂ” 1~) и Л(13 — 1) соответственно. Рзссматряваемый случайный процесс не является днфференцируемым ни в одной точке 1 Е Т. Это объясняется тем, что не удовлетворяется стохастический критерий Коши: 90 3.
ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА так как из независимости случайных величин Д1ь(о) — С($,(о), Дй,о)) — ЯСз,ы) следуют равенства и м[(((ш„, )-((1, ))(((ш, )-((шь ))]= с),и ~( йп М [~(1ь(о) -Я1,(о)] М [Ц1,(о) — ~(1з,(о)] = О () л~-+( и для Ь= 1,2 М [(Цйе, (о) — с(1,(о)) ~] = 1л [Щ,(о) — Д1, (о)] + + [Мф1(„(о) — Д1,(о))) = Л(йя — Ф)+Л (1я — й) . 3.4. Интегрнруемость случайного процесса Определение 3.8. Скалярный случабныб процесс в)норого порядка ((С,(о), 1 Е Т = (а, Ь), называют июиегрируемым на множестве Т с весом )р(1,С'), где )р(1,1)) — неслучайная функция, определенная на Т х Т, если существует скалярный случайный процесс О(1,(о), Ь Е Т, такой, что независимо от выбора разбиения П=П(а,Ь) =(~яД о0(1' )" ~СТ, а =1о(1~ < < 11 < Ф1~ < Фз < ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
