XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА еалиедпв(д) = 0,2созг(ид), К~(гд,гг) = 0,4соз(Ид) соз(Иг) и и— известная постоянная; б) с (д, од) = д+ о(од) соз д+ 11(од) здп д, д Е Т, где дд(ьд), (д (од) — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и Р(сд(од)) = 0,1, Р~3(од)] = 0,2. Ответ: а) то(д) = 0,1[1+ (2и) д з!п(2дд)], К„(дд,дг) = = 0,4и гздп(Ид) здп(д'дг), аог = 0,4и гздпг(И); б) тч(д) = О,бдг1 Кч(дд,дг) = 0,1зйп(дд) здп(дг) +0)2 [1 — соз(дд)] [1 — соз(дг)], о„(д) = =0,1здпг(д) +0,8здпг(0,51).
3,2Т. Пусть О(д,од), д Е Т = [О,оо), — скалярный стационарный в широком смысле дифференцируемый на Т случайный процесс. Выясните, является ли стационарным в широком смысле случайный процесс д д1(д,од) = ((д,од) ддд, д Е Т. о Ответ: да. 3.23. Пусть Яд,од), д Е Т = (О,со), — интегрируемый на Т скалярный случайный процесс с известной ковариационной функцией Кфд,дг). Найдите взаимную ковариациониую функцию Кя„(дд,дг), если д1(д,од) = ~(д,до) ддд, д Е Т. о Ответ: Кбр(дд,дг) = К~(дг,д)д1Й.
о 3.26. Пусть с(д,ьд), д Е Т = (О,оо), — винеровский скалярный процесс, выходящий из нуля. Докажите, что случайный про- Воаросы и задачи цесс является стационарным в широком смысле случайным процессом; найдите его математическое ожидание и ковариационную функцию. Ответ: то —— О, К„(т) = б ~е И вЂ” 12 ~е 4т( З.ЗО. Найдите дисперсию случайного процесса С(Ф,(о), с Е Е Т = (О,оо), если с(1,(о) + и~Ц1,(о) = е(1,(о), Ф Е Т, а е(с,(о), с Е Т, — скалярный нормальный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией К,(т) = = озе ('(, и, а, ол — неслучайные параметры, а ) О.
Ответ: оя т Зиз-а~ о а 1 ~с( ) (о1+ — — — — еш (ис) + -сое(И)) . из(из+аз) 2(из+аз) 2и 2и 2 3.31. Является скалярный случайный процесс С(с,м), 1 Е Е Т = (О, оо), зргодическим по отношению к математическому ожиданию, если где со((о) — случайная величина, распределенная по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсиен о2о Ответ: нет. 3.32. Выясните, является ли двумерный случайный процесс 4(Е,(о), Ф Е Т = 10, оо), эргодическим по отношению к математическому ожиданию, если 120 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА где Се(ы) — двумерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е, Е=( ), А=( ).
Ответ: нет. 3.33. Рассмотрим днфференцируемый на Т скалярный случайный процесс с(8,ы), Ф е Т, имеющий постоянное математическое ожидание и ковариационную функцию К~(11,~з) = =~т~е "~" "1 . Пусть а > О и ц(8,м) =Д1,ы), 8 е Т. Найдите К„(11,1з) и определите ее наибольшее значение. Докажите эргодичность случайного процесса ц(1,м), 1 б Т, относительно его математического ожидания. О т в е т: Кч(11, 1з) = 2сит~ ехр [-о(1з — й1) ~1 (1 — 2а(1з — 11) ~]; тахК„(11,йз) = 2аи~. 4.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В классическом математическом анализе теории рядов и интегралов Фурье объединяет гармонический ана тиз. Своим названием ои обязан простейшей периодической функции Д1) = Аеш(ип'+ ут), 1 Е И, которую в приложениях называют гармоникой. Константы А, ьт и ут представляют собой соответственно амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники. Одной из задач гармонического анализа является задача о представимости функции в виде суммы гармоник, каждая из которых соответствует определенной частоте. Множество этих частот образует спектпр функции, который играет существенную роль для решения широкого класса прикладных задач, поскольку, располагая спектром, всегда можно восстановить исходную функцию с наперед заданной точностью.
При изучении случайныг процессов гармонический анализ приобретает особо важное значение. В самом деле, ни одна из реализаций случайного процесса не может быть известна заранее. Однако заранее можно установить, как распределяется дисперсия случайного процесса по частотам составляющих его гармоник.
Такая информация не уступает по значимости спектру детерминированной, т.е. неслучайной функции. Использование этой информации при изучении стационарныг (в широком смысле) случайныг процессов составляет существо их спектральной тпеории. Напомним, что скалярный случайный процесс (вещественный или комплексный) С(~,то), ~ Е Т С Е, является стационарным (в широком смысле), если он обладает двумя свойствами: М[с(т,ьт)] = тт = сопеС, С Е Т; К~(Ст,сч) = М[че(ад,ьт) — тт) (че(йз,ьт) — тт)] = К~(т), Ст,сз Е Т, 122 4 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ где символ ~ означает переход к комплексно сопряженному выражению в случае комплексного случайного процесса, а гА 1з — 11.
При этом из общих свойств коеариационных функций (см. 1,2) следует, что если С (1,ы), 1 б Т С 1ч, — скалярный стационарный случайный процесс, то Х)фй,ы)] = К4(0); К4(г) = К4 (г); )К4(г)~ (» Щ(с,ыЦ = К4(0). Спектральная теория позволяет заменить исследование исходного стационарного случайного процесса исследованием его изображения при интегральном преобразовании Фурье, являющегося случайной функцией некоторого вспомогательного переменного, которое во многих приложениях имеет размерность частоты.
А так как применение интегрального преобразования Фурье зачастую существенно упрощает выкладки, то оно получило широкое распространение как в теоретических, так и в прикладных исследованиях. 4.1. Стационарные случайные процессы с дискретным спектром В этом разделе, говоря о стационарных случайных процессах, будем иметь в виду с~иационарные случайные процессы е широком смысле. Одним из основных вопросов является представимость стационарных случайных процессов в виде конечных или бесконечных сумм гармоник с различными часпюспами и случайными амплитудами. Опредаиенне 4.1.
Случайный процесс Щм) = о(ю)1о(С), с б Т СИ, где о(ы) — случайная величина, акр(1) — неслучайная функция, определенная на множестве Т, называют элеменепарным случайным процессом. Пример 4.1. Рассмотрим скалярный случайный процесс 2хк1, 2кк1 Я„(1,м) Й~~ оь(ы) сое — +11ь(ы) е1п —, 1ч Т =(ОД (4.1) ьы1 е.1. Стационарные случайные процессы с лнскретным спектром 123 представляющий собой конечную сумму элементарных случай- ных процессов.
Предиолагвл, что М[5п(1,ы)] = О, о Е Т, (4.2) найдем условия стационарности случайного процесса 5„(с,м), сЕТ, Из определения 4.1 элементарного случайного процесса 5„(с,м), Ф Е Т, и свойств ллатемптпческоео покидания (см. П.1) имеем 2ккт 2кйг М[5„(г,со)] = ~~~ М[аа(м)] сов — + М [па(ол)) в1п —. в=1 Поскольку тригонометрические функции из этой суммы линей- но независимы на отрезке [О, 1] [1Х], то условие (4.2) выполнено тогда и только тогда, когда М[аь(м)] = МЩм)] = О, /с = 1, о. (4.3) Кв„(С),~з) ™[5о(г1,м)5о(гз,м)! = = ~~) ~ М[аь(ы)а„,(и)] сов — сов + 2кЖ~ 2л т8з ам1 о1=1 2лИ1 . 2кт1з +М[Д,(м),В (ы)1в1п — в1п + 1 2лй11, 2лт~з + М [аь(м))3 (м)] сов — сйп 2л йГ1 2л тФз + М [Да(ы)а (м)] в1п — сов —. Далее, в соответствии с определением коварипционкой функции, свойствами математического ожидания (см.
П.1) и равенства- ми (4.2), (4.3), имеем 124 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ Преобразуя произведения тригонометрических функций в их суммы или разности, получаем, что ковариационнал функция а будет зависеть лишь от г = 1з — 11, т.е. Кя„(11,Фз) — = Кя„(~з — Ф1) тогда и только тогда, когда В[ол(ы)] = В[ва(ыи = о2, й = 1, и; соъ~[аь(м);а (м)] = сочины);О (м)] = О, й, т = 1, и, й ~ т; соч[аа (м); Д (ы)] = О, й, т = 1, и.
Следовательно, случайный процесс 5„(с,м), 1 б Т, вида (4.1), удовлетворяющий условию (4.2), является стационарным тогда и только тогда, когда оь(ы), Еь(ы), к = 1, и, являются некоррелироеанны,ни случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсией В[оа(м)] = В[да(ы)] = па~, В=1,н. Заметим, что в этом случае Кя (г) = ~ о~~соя —, В[5„(1,ы)] = Кя„(О) = ,'~ о~~, яап ь=1 где ~таз — дисперсии случайных амплитуд аь(м) и,9ь(м), соотзяй ветствующих частоте —. 1(1 Пусть скалярный стационарный случайный процесс С(Ф,ы), 1 б Т = [О, 1], имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную функцию Кй(г) = К~(1з — й1), которал является непрерывной на отрезке [-1, 1] и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле. Принимал во внимание четность ковариационной функции К4(г), имеем ! 2 кйг 3 пйг К4(г) = ~~ <тассе —; о~а — — / К~(г)соа — йт; й = О, оо. я=0 о «. ь стационарные случайные процессы с лнснРетны Р м снент ом 125 Далее предполагаем, что в этих разложениях отсутствуют нечетные гармоники, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
