XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 17
Текст из файла (страница 17)
,21гЙ! Нетрудно показать, что комплексные случайные величины Фь(о1), Й Е е, являются некоррелировенными, имеют нулевые математические ожидания и дисперсии О(Фь(1с)] =- М[Ф;,(1с)Фь(ц1)) = — ~, Й б л,. Кроме того, нх можно представить в виде 2 Г . 2я'Й21 Фь(о1) = — / С(г,о1) ехр~-! — ) г!2, Й с Е. — !/ ~ !) о При этом КЕ(т) = ~) ЛЭ(Фь(о1)) ехр (г — ).
Если н, = — — часгпотп Й-й гпрнонинц то при 1-++оо гкй ! приходим к случаю непрерывного изменения частот и переходим от ряда Фурье к интегралу Фурье. При выполнении 136 4 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ определенных условий этот переход приводит к интегральному представлению ковариационной функции К~(т), и становится естественной задача об аналогичном представлении стационарного скалярного случайного процесса ЦГ,ы), Г б Т = (О, со).
Определение 4.2. Если ковариационнал функция К4(т) стационарного скалярного случайного процесса С(г,м), Г б Т = (О,оо), является оригиналом интегрального преобразования Фурье, т.е. на любом конечном интервале ( — (, 11 она удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемой в Е, то ее изображение 44(и) = — К4(т)е " с1т 2л',/ называют спентпра ььноб плотпностью этого случайного процесса.
Приведем некоторые свойства спектральной плотности. Свойство 4.1. Если ковариационнал функция К4(т) стационарного скалярного случайного процесса С(Г,ы), ~ б Т = [О, оо), является оригиналом интегрального преобразования Фурье и л~ (и) — его спектральная плотность, то К4(т) = а4(и)е'" Ыи. Свойство 4.2. Если исходный случайный процесс является вещественным, то: а) 44(и) ) О; б) лс(-и) = а4(и); в) 11щ 44(и) = О; м~еоо 4.2. Стацаоварпые случайные процессы с непрерывным спектром 137 1 Г г) зе(2) = — ~ К4(т)соз(ит)йФ; о д) К4(т) = 2 з4(р) сое(ит) Йт; о е) Р[С(1,ы)] = К4(0) = 2 з4(и) йи.
о Из свойства 4.2 е) следует, что спектральная плотность зс(и) представляет собой плотность распределения дпсоерспи случайноео процесса по частотам его гармоник. Спектральная плотность зс(и) стационарного скалярного случайного процесса Цй,м), 1 б Т = [О, оо), является аналогом последовательности [Р[Фь(ы)]), т.е. является аналогом последовательности (пь2) дисперсий некоррелированных случайных амплитуд гармоник исходного случайного процесса. Пример 4.3.
Пусть стационарный скалярный случайный процесс Д1,м), 1 Е Т = [О, оо), имеет ковариационную функцию Ке(т) = пяе где о > 0 и п2 = К4(0) = Щ(1,ы)]. В зтом случае спектральная плотность случайного процесса равна зл(и) = — / Кл(т)е '" Ит= — / е ~~ '" Йт= 2я „/ 22' .1 о се п2Г г 1о-ь )т 1 -1а+сее1т 1 2х~, / -сю о <тзт 1 1 оп2 2х ~а — 1р о+ 1иl н(а2+ и2) 138 4, СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ При увеличении параметра а вне е-окрестности нуля значения ковариационной функции Клгг) уменьшаются, а график спектральной плотности ял(и) становится все более пологим (рис. 4.2).
При этом оз Г а и' и! з4(и) Ни = — / — Ни = — агсСЕ-~ = о~ = К4(0) л 1 аз+из л а~ т.е. площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком спектральной плотности и осью Ои, численно равна дисперсии исходного стационарного скалярного случайного процесса (см. свойство 4.2 спектральной плотности). 41 ае(и) Ке(т) Рис. 4.2 В различных приложениях теории случайных процессов величину Кл(0) =Щ(1,м)] зачастую интерпретируют как энергию стационарного скалярного случайного процесса, а величину ял(и) — как плотность энергии на единицу частоты. Термин „энергия стационарного случайного процесса" обязан своим появлением реализациям стационарных случайных процессов в электротехнике (напряжение или сила электрического тока).
В этом случае величина л~(и) Ыи пропорциональна энергии, приходящейся в среднем на гармоническое колебание частоты и, так как энергия электрического тока пропорциональна квадрату амплитуды соответствующей гармоники. 4.2. Стнцнонарные случайные процессы с непрерыннын спектром 139 Дг,ог) = ~ Фь(гн)е'""', 1 Е Т; Ь=-оо 2пй „2~г нь = —, Лил = иь — иь-г = — ,' 1' Фь(ог) = — ~($,гн)е '" й; е М(Фь(гн)] = 0; соч(Фь(ог);Ф„(ог)) = О, й ф' г; Кг(г) = ~~г ЪЙФ~(гн)Фь(гн))е'"' . (4.8) Если ввести в рассмотрение случаг1вую фуигсцпю 4(иь,го,!) = — ~ Ц1,ог)е *""г1г, г о то, согласно (4.8), имеем Если 1-++оо, то Ьиу,-+ О и значения частот рь заполняют всю числовую прямую, т.е, реализуется переход от дискретного соекцгра к непрерывному.
Так как ковариационнал функция Перейдем к рассмотрению вопроса о существовании интегрального представления стационарного скалярного случайного процесса Дг,ог), г е Т = [О,оо), с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией К~(т), являющейся оригиналом интегрального преобразования Фурье. При атом в соответствии с проведенными рассуждениями нетрудно показать, что для любого конечного 1 > 0 имеют место равенства: 140 4.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ К4(г), согласно принятому допущению, является оригиналом интегрального преобразования Фурье, то можно доказать, что существует предел 1пп ч'(иа,ы,1) = 4(и,ш) = — /Щм)е '"'й (4.9) е-++со и ( о при 1-~ оо. Таким образом, для стационарного скалярного случайного процесса С(е,м), 8 Е Т = [О, оо), получаем интегральное представление с(Ф,ы) = Яи,ы)е'"'Йи, 1 Е Т, (4.10) где ~6(и,ы) — изображение интегрального преобразования Фурье для этого случайного процесса.
Следует отметить, что случайная функция ф(и,ы), и Е И, связана с последовательностью (Фа(шЦа и в определенном смысле янляется аналогом последовательности случайных комплексных амплитуд гармоник при переходе к непрерывному спектру частот. Определим математическое ожидание и ковариационную функцию случайной функции ф(и,м). В соответствии с (4.9) имеем ~1 Г М[О (и, ы)] = М ~- / ~(1,м) е ьа о 1 Г = — ~ М[с(й,ы)]е '"1й=0, и ЕЕ, о 4.2.
Стаддиоиариые случайные процессы с иепрерыииыи спектром 141 так как М(с(с,од)~ = О, д с Т. Если воспользоваться интегральным представлением б-ддунк- нии Дирака 6(х) = — / едл ддЛ, / б(х)е '" сЬ= 1, (4.11) г 2я / то, полагал г = дг — дд, приходим к следующему представлению ковариационной функции Ке(и, рд): Ке(и, ид) = М [др'(и,од) др(рд,од)д) = (1 ГГ = М~ — ) ~ Ц$д,ьдН(дг,од) ехр(брдд — диддг) д1ддд1дг о о 1 Г Г = — г~ Р МЯд,дс)Щ,дс)1ехр[-брд(дг-дд)+д(и — ид)дд1сдддпдг= о о 1 Г Г = — / ~ К~Я вЂ” дд) ехр[-дрд(дг — дд)1ехр [д(и — ид)сд1дддд йг = "11 о о 1 Г~ = — ( — К~(г)е г""йт ед "'Р1пдд = 2я .д' 12х / = ле(ид)6(р — ид). Из проведенных рассуждений вытекает следующая теорема. Теорема 4.3.
Если ковариацяонная функция К1(г) стационарного скалярного случайного процесса с(с,ьд), д Е Т = (О> оо), обладающего нулевым математическим ожиданием, является 142 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ оригиналом интегрального преобразования Фурье (т.е. удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале ( — 1, 1) и абсолютно интегрируема в Е), то существует скалярная случайная функция ф(и,м), и Е Й, такал, что м[у1(и,м)]= О, и б к; ке(и,и1) = з4(и1)6(и — ид); с(8,ы) = ф(и,ы)е'" Йи, Й Е Т. С позиций теории интегральных преобразований Фурье интегральное представление (4.10) стационарного скалярного случайного процесса Я4,м), 1 б Т, удовлетворяющего условиям теоремы 4.3, указывает на то, что он является оригиналом экспоненциального интегрального преобразования Фурье.
Но в зтом случае случайнзл функция 16(и,м), и б 1ь, — его изображение и должно иметь место равенство (4.9): 1 Г 4>(и,ю)= — ~ С(с,и)е ' ~П1, «бхь. о Если т~ ~ О, а все остальные условия теоремы 4.3 выполняются, то интегральное представление случайного процесса С(1,о~), 1б Т, принимает вид Щм) = т4+ Ци,м)е' ~Ми, 8 б Т. В условиях теоремы 4.2 имеет место равенство л4(и)Ии= К~(и,и4)дийи1. 143 4.3.
Белый шун Действительно, Щ(1,м)) = К4(О) = в4(и) Ни, и, кроме того, в4(и1) аи1 6(и — и1)аи = в~(и1) йи1. 4.3. Белый шум Определение 4.3. Скалярный случайный процесс ~(Ф,м), 1 Е Т = (О, оо), называют бе.еььм шумом, если он является стационарным (в широком смысле) и обладает постоянной спектральной плотностью с, называемой интпенснвностью белово шума.
Рассмотрим свойства белого шума. Свойство 4.3, Ковариационнал функция Кй(т) для белого шума имеет вид К4(т) = 2кс6(т). (4.12) Полученный результат можно интерпретировать следующим образом. „Средняя энергия" стационарного скалярного случайного процесса может быть получена путем „суммирования" квадратов модулей амплитуд гармоник, соответствующих всем частотам. 144 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ Ч Если скалярный случайный процесс С(8,ы), 1 б Т = (О,оо), является белым шумом, то для любого действительного и (4.13) вл (о) = с = сопвФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
