XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4 Это свойство непосредственно следует из определения 4.2 и равенства (4.12). 1» Пример 4.4, Пусть С(1,м), ~ б Т = 10, оо), — скалярный винеровскиб процесс с коэффициентон диффузии оз. Он имеет ковариационную функцию К~(11,Гз) = о~ш1п(~1,1з), 1), Фз б Т. Таким образом, дК4(11,1з) ~о ) 11 <1з1 д11 (0> 1,>г,; и смешаннал вторая производная не существует, т.е. (см. теоре- му 3.7) рассматриваемый случайный процесс недифференциру- ем ни в одной точке в Т.
Но переходя к обобщенным функциям, к которым относится и о-функция Дирака, формально полу- чаем д К4(Г~ сз) = и в(»з — 11), я 11 т.е. в классе обобщенных функций проиэводнал винеровского процесса есть белый шум с интенсивностью с= оз/2к. Таким образом, из свойств спектральной плотности и интегрального представления 6-функции Дирака (4.11) следует (4.12). в Свойство 4.4.
Если ковариационнзл функция стационарного скалярного случайного процесса с(8,м), Ф б Т = (О,оз), имеет вид (4.12), то этот случайный процесс является белым шумом. 4.3. Белый шум 145 Свойство 4.5. Случайные величина, являющиеся сечениями белого шума, некоррелированы. М Это следует из (4.12), так как для любых 11,1з Е Т = [О, оо), 11 ~ 1з, имеем т = 1з — 1ч ~ 0 и Кл(т) = 2ясе(т) = О. Ге Свойство 4.6. Белый шум обладает бесконечной дисперсией. ° я Это вытекает из равенства Щ(8,ш)] = К~(0) = 2тс4(0) = оо, выполняющегося в силу (4.12). ~ Появление термина „белый шум" объясняется следующим.
Слово „белый" указывает на сходство с белым светом, у которого спектральный состав примерно однороден, а слово „шум" говорит о том, что подобные процессы впервые привлекли к себе внимание в радиотехнике, где их наличие приводит к возникновению шумов в линиях радиопередач. Белый шум обладает бесконечной дисперсией н практически не может быть реализован.
Но из физических соображений ясно, что любая динамическая система является инерционной и очень высокие частоты не могут оказывать значимого влияния на ее поведение. Это открывает возможность моделирования с помощью белого шума реальных случайных процессов. Например, белый шум часто используют для моделирования случайных процессов, имеющих постоянную (или почти постоянную) спектральную плотность в определенной полосе частот, пренебрегая поведением спектральной плотности вне этой полосы.
Подобные ситуации возникают при изучении многих физических явлений, связанных с воздействием отдельных молекул или электронов на макроскопические системы (например, во всех явлениях, родственных броуновскому движению). Подобные 146 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ Пример 4.5. Пусть скалярный случайный процесс С(1,м), 1 б Т = [О,оо), является стационарным и его спектральная плотность равна [с, [и~<1У; (О, ~и~ > Х. Рассматриваемый случайный процесс имеет ковариационную функцию Н К~(г) = се'" Ни = — я1п(Жт).
г -М (4.14) Чтобы ои обладал свойствами „белого шума", значение пара- метра Х должно быть достаточно большим, но в этом случае достаточно большой будет и дисперсия 1э[Д1,ы)) = КС(0) = 2с1У. А так как 2с 2с (Кс(т)~ = — [е1п(Жг)~ < —, ~т[ ~г[' то можно получить сколь угодно малое абсолютное значение коэффициента корреляции для любых двух сечений С(11,ы) и С(1з,и) при достаточно большом значении ~г~ = ~1з — В1). При фиксированном значении Ж абсолютное значение коэффициента корреляции сечений Д1мы) и С(8з,ы) значимо, когда величина )1з — 11~ достаточно мала.
Чтобы найти предел ковариационной функции (4.14) при Ж вЂ” ~ +оо, введем функцию К~(т) Й ~ К~(Л)НЛ=2с~ ИЛ=2с / — Иы. Г е1п(ХЛ) Г ьйп,и ,/ л 1 р случайные процессы мы также будем называть „белым шумом", отмечая кавычками условность такого подхода. 147 4.3. Белый шум Так как о СО то нетрудно убедиться, что существует предел О, т(О; 1ип И4(т) = хс, т= О; 2пс, т>О. Формально дифференцируя полученную функцию, приходим к 6-функции Дирака: 1ип К4(т) = 2ггс6(т).
лг-+со Рассмотренный случайный процесс является одной нз возмож- ных моделей „белого шума". Помимо ограниченного в некоторой полосе частот (см. пример 4.5), часто используют скалярный случанный процесс (см. пример 4.3) с ковариационной функцией Кг(т) =ггое 11, о> О, и спектральной плотностью „2 лс(и) = аз+из' В этом случае 1ип л4(и) = 1 й-++ее и 1ип К4(г) = 2гг6(т).
а-+есо Некоррелированность случайных величин, являющихся сечениями белого шума в различные моменты времени — одна 148 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ из основных причин его широкого применения. При использовании ограниченного по полосе шума мы все же получаем значимое абсолютное значение козффициента корреляции для случайных величин, являющихся сечениями случайного процесса при близких значениях 81 и ~з, что зачастую существенно затрудняет анализ полученных результатов. Использование белого шума в теории случайных процессов во многом аналогично использованию 6-функции Дирака в теории линейных систем и математической физике.
4.4.Преобразование стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему В 3.5 уже рассмотрена задача о преобразовании случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему и отмечались трудности, возникающие при ее решении. Спектральная теория стационарных /в широком смысле) случайных процессов открывает новые возможности исследования подобных задач. Они аналогичны возможностям теории интегральных преобразований применительно к решению задач математической физики и задач Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений. В зтом разделе под стационарным случайным процессом будем понимать стационарные случайные процессы в широком смысле.
Теорема 4.4. Пусть Т = [0,оо), а Цй,ш), С б Т, и ц(й,ш), ~ е Т, — стационарные скалярные случайные процессы со спектральными плотностями в~(и) и в„(и) соответственно. Пусть случайный процесс Я~,ш), ~ Е Т, является и раз дифференцируемым иа множестве Т. Если 4.4. Преозрааоаацше стационарного случайного процесса ... 149 то имеет место равенство зп(Р) = Рзпз4(Р). 4 Для доказательства теоремы достаточно воспользоваться свойствами 4.1, 4.2 д)-е) коварцаццокиой функции, определением спектральной плотности и ее свойствами 4.2 а)-г). Действительно, если с1(~,м) = ', 1Е Т, о ~К"С(1,м) то имеет место равенство (см. следствие 3.3) 12пУ ( .) тзп или, что тоже самое, Ызп 7 сии ап(р) Нр = ( — 1)п — / е™сз~(р) й = 1)п ( )2и 1ит ( ) 4 ьис 2п откуда и вытекает нужный результат.
Законность дифференцирования под знаком интеграла следует из существования и-й производной для исходного случайного процесса, что эквивалентно сходимости несобственного интеграла [Ч11 р пзз(р) йр. Теорема 4,5. Если ((Г,м), ~ Е Т = [О, ао), — стационарный п раз дифференцируемый на Т скалярный случайный процесс 150 4. ОПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ со спектральной плотностью я~(и) и ьь эр(й,ьь) = ~~ Ьь — „ь~(С,ьь), Ь Е Т, ь=е где Ьы Ь = О, о — известные постоянные, то п(1,аь), Ь Е Т,— стационарный скалярный случайный процесс со спектральной плотностью ьь е (и) = ~~ Ьь(йи)" «~ е~(и).
я=о ~ Так как С(1,аь), Ь Е Т, — стационарный случайный процесс, то его математическое ожидание оьС является величиной постоянной и ьь М(О(1 ~)] = М [ЕЬь — „~ Ф ы)] = я=о ,ььь — Ь Ьь — „л М[Цс,ьь)] = Ь„тп~ = сопвС. ьь=е Согласно теореме 4.3> с(ь,аь) = ть+ ьЬ(ьь,аь)е'"'ььР, 8 е т. А так как случайный процесс с(~,ьь), Ь Е Т, является о раз дифференцируемым на Т, то, как и прн доказательстве теоремы 4.3, приходим к равенству Рь-ь — с(1,аь) = / ееа(ьи)™ьЬ(ьь,ьа) йг, Ь = О, и, и, как следствие, получаем ьь ь Ьь, Ь = ь„, ь ) '"' [~'ь, Ьь Ь" '] ььЬ., Ь ь., ь ь т.
я=о 4А. Преооразоаанне стацнонарного случайного процесса . 151 Таким образом, с учетом равенства М[л)(«,м)) = Ь„пл~ и теоремы 4.3 имеем К,(г) = К,(~,1+ г) = о =м[(/""'~ь,о о"-'»~О, и,) «=о 00 и (| ОО»'О~аООГ '0(, >л )] = «=о оо ~ Е ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ ~ 1 ~ и ) ~ ~ ~ с Х Е\»е+\(» — »\ )Ф /~ Ь ГЛ \О «Х «=о О х (~~ Ь«((и)" )М~лЬ'(и1,ы)лЬ(и,ы)]й~л(и= «=о ОО 00 ~ *-+*( -")(т-ь; »- ), «=о ~ Е ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ П ~ ~ ~ ~ и ~) ~ ° Х х (~ь Ь«((и)" «)в«(и1)б(лч — и)йи~йи= «=о ~ ~ и ~ ~ ~ « ~ и ~ « ~ г и е"'~ЯЬ«(ьи)" «~ лл(и)Ни, «=о откуда и следует искомый результат.
~ На практике встречаются весьма разнообразные варианты преобразований стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему. Рассмотрим достаточно общий случай. Пусть с(с,04), Ф е Т= [О, оо),— стационарный пл раз дифференцируемый на Т скалярный случайный процесс с математическим ожиданием олл и спектральной плотностью л((и), а скалярный случайный процесс л)(0,04), 8 Е Т, является и раз дифференцируемым на Т и удовлетворяет 152 4.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ уравнению ~~-й Ст-т ~с ~аь — „тс(с,ш) = Я~Ь,— с(с,ш), с > О, (4.15) в=а т=о в котором аь (1=О, и) и Ь, (у =О, т) — известные постоянные. Случайный процесс тС(С,ш), С Е Т, можно рассматривать как стационарный скалярный случайный процесс с математическим ожиданием от„и спектральной плотностью вч(и) лишь при достаточно больших значениях времени С, т.е. лишь после затухания переходных процессов. В зтом случае имеем з з а„т„= Ь тС и Яаь(Си)™~ в„(и) = ~ЯЬ„(Си) '~ вС(и), ь=о т=е откуда тя — — — тпС, в„(и) = )Ф(Си)[~вС(и), (4.16) ав где функцию тл ~; ЬС(Си)"' т Ф(Си) = ~„ (4.17) ~; аь(Си)" " ь=е называют частпотпкоСС еарактперистпикоСС дикамическоСС скстпемы, которая описывается дифференциальным уравнением (4.15).
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим два примера. Пример 4.6. Рассмотрим задачу прохождения белого шума 4(С,ш), С Е Т = [О, оо), через линейную динамическую систему первого порядка, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением тС(С,ш) + отС(С,ш) =С(С,ш), где о Е ях — известный параметр, а случайный процесс С(С,ш), С Е Т = [О, оо), имеет постоянную спектральную плотность. 4.4. Преобразоаание стационарного случайного процесса ... 153 Согласно равенствам (4.15), (4.16) и (4.17), 1 с ]1и+ а]~ из+ а~ Реально скалярный случайный процесс Я1,оу), 1 Е Т, не является белым шумом, но его можно аппроксимировать „белым шумом" со спектральной плотностью (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
