XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Процесс сипели — разииоиеиил и циклический процесс 183 или, что то же самое, Л„,„, рь+1 = — 'Рь, й = 1, « — 1. Ль+1,1 Таким образом, Л12 Р2 = Р1 Л21 Лгз ЛггЛгз ЛР' ЛЛР" 32 21 32 (5.12) Ло-1,о Л12Л23Л34 ° Ло-1,о Ро= ' Ро-1= Р1 Ло и — 1 Л21ЛзгЛ43' ° ° Ло о — 1 и для окончательного реше 1ия исходной задачи, т,е, для нахождения вектора предельных вероятностей состояний, достаточно соотношения (5,12) подставить в (5.1). В результате находим (5.13) Подставляя (5.13) в 15.12), получаем -1 ь о-1 Л Рь+1 =П "+ 1+~ П вЂ” "+, й=1,« — 1 (5.14) 1 1 я=11=1 1+ Определение 5.9. Марковский процесс с дискретными СОСТОЯНИЯМИ (51)ли1, НаЗЫВаЮт 44им ВииЕСКиМ «РОиЕССОМ, если он имеет размеченный граф состояний, изображенный на рис.
5.9. При этом, если такой процесс является к тому же однородным, то его называют одкородкым 44ик вииеским «рогзессом. 184 Л, МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ЦЕПИ гг гг ацд аа+г л л л 1 г Рис. 5.9 Характерным признаком циклических процессов является кольцевая (циклическая) связь возможных состояний с односторонними переходами (см. рис. 5.9). Согласно виду размеченного графа состояний однородного циклического процесса, матрица Л плотностей вероятностей переходов системы 5 из одного состояния в другое имеет вид Л„г 0 0 0 0 -л о Лгг — Лгз о л — Л«-г,«0 о о ... л„,„— л„ Лггрг — Лгзрг = О, Лгзрг — Лзгрз = О, Л«-г,«-гр« — г — Лт~-ц«Р«-г = О, л„,,„р„, — л„,р„= о, л„р, — л„,р„ = о, из которой следует, что л Рг~ Лги+1 1=1,п — 1; лм Рг 1 л„, По известной матрице Л можно записать однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора предельных вероятностей состояний: б.4.
Процесс гибели — резииоиеиил и циклический процесс 185 Таким образом, с учетом условия (5.1) имеем /с = 1, и — 1; (5.15) В соответствии с формулами (5.15) н определением 5.7 можно показать', что для однородного циклического процесса среднее время пребывания системы в состоянии Яь равно 1 Л,л+, ' 1 А„ и=1,п — 1; (5.16) Но в этом случае, согласно (5.15), (5.16), получаем й = 1, ц. (5.17) 'См.." Веивзцееи Е.
С. Пример 6.8, ЭВМ может находиться в одном нз следующнх состояннй: 5~ — исправна, работает; Яз — неисправна (остановлена) и идет поиск неисправности; Яз — неисправность обнаружена и идет ремонт; ол — ремонт закончен н идет подготовка к пуску.
Необходимо определить предельные вероятности состояннй рассматриваемой системы, если известно следующее: среднее время безотказной работы ЭВМ равно 12 часам; для ремонта ее приходится останавливать в среднем на 6 часов; поиск неисправностей длится в среднем 0,5 часа; подготовкак пуску занимает 1 час. 186 Л МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ЦЕПИ Рассматриваемая система л, е, е, е, имеет граф состояний, изо- 24 браженный на рис. 5.10, так как по условию среднее вреРис. 5.10 мя 1в сутках) ее пребывания в каждом из возможных состояний равно: 41 — 1/2, 11 — — 1/48, 1з —— 1/4, 14 = 1/24. Для определения предельных вероятностей достаточно воспользоваться формулами 15.17): 24 1 12 2 Р1 ) Рз — ~ Рз ~ Р4— 39' 39' 39' 39 Вопросы и задачи 5.1.
В чем состоит принципиальное отличие марковского процесса с дискретными состояниями от цепи Маркова? 5.2. Чем неоднородная цепь Маркова отличается от однородной? 5.3. Как с помощью матрицы переходных вероятностей для цепи Маркова можно определить вероятности состояний после ~' шагов, если цепь Маркова является: а) однородной; б) неоднородной? 5.4. Запишите систему уравнений Колмогорова для марковского процесса с множеством возможных состояний (51)"„ Почему зта система является избыточной? В каких случаях вероятности состояний определяются однозначно? 5.5.
Всегда ли задача Коши для системы уравнений Колмогорова имеет неотрицательное решение? 5.6. Пусть система 5 — это автомашина, которая может находиться в одном из следующих состояний: з1 — — исправна, работает; Яз — неисправна, ожидает осмотра; Яз — осматривается; з4 — ремонтируется; Яз — списана. Как выглядит граф состояний системы л'? 0 т ве т: граф состояний системы представлен на рис.
5.11. 187 Вопросы и задачи Рис. 5.11 5,Т. Постройте граф состояний системы о из примера 5.1, если отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Ответ: граф состояний системы представлен на рис. 5.12, прн зтом использованы обозначения: о1 — оба узла работают; Я 2 Я а Яз — первый узел работает, а второй восстанавливается; Яз — второй узел работает, а первый Яз Я4 восстанавливается; 54 — Оба узла Восстанавливаются. Рис.
5.12 5.8. Из таблицы, содержащей все целые положительные числа от 1 до т включительно, наудачу последовательно выбирают числа. Система находится в состоянии 5, если число 1 является наибольшим нз выбранных. Найдите вероятность того, что после выбора иэ таблицы и чисел наибольшее число будет равно й, если перед зтим наибольшим было число 1. О, (~ )а Ответ: ра~ —— 5.9, Для однородной цепи Маркова заданы матрица переходных вероятностей и вектор вероятностей состояний на нулевом шаге: 0 1 0 1 Р= 0,6 0 0,4, р(0) = 0 О,З 0,5 0,2 0 188 Б.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ЦЕПИ Найдите векторы вероятностей состояний после первого и второго шагов. О т в е т: р(1) = (О 1 0); р(2) = (0,6 0 0,4) . 5.10. Известна матрица Р переходных вероятностей однородной цепи Маркова. Определите: а) число возможных состояний этой цепи; б) вероятности состояний после двух шагов, если на нулевом шаге вероятности состояний одинаковы, а 1 1 1 2 3 6 1 1 1 2 3 6 1 1 1 2 3 6 Ответ: а) 3; б) р(2) = (1/2 1/3 1/6) .
5.11. Матрица переходных вероятностей однородной цепи Маркова имеет вид 0 0 1 0 0,3 0,7 0 0 0 1 0 0 0 0 0,6 0,4 Определите: а) состояния, из которых достигается состояние 5ы й = 1,4; б) состояния, которые достигаются из состояния 5„1 = 1,4. О т ве т: а) состояния 5ы й = 1,2,3, достигаются из любого состояния,а состояние 54 не достигается ни из одного состояния; б) из состояний 5ы й = 1,2,3, достигаются все состояния, кроме 54, а из состояния 54 достигаются все состояния.
5.12. Пусть в начальный момент времени 1 = 0 система с равной вероятностью находится в одном из возможных состояний, изображаемых точкой на оси Оач х = — 1 — состояние 51, я = 0 — состояние 52., х = 1 — состояние 53., х = 2 — состояние 54. В зависимости от случая точка может перемещаться вправо нли влево на единичное расстояние: вправо с вероятностью 189 Ваирасы и задачи 1/б, влево с вероятностью 5/б.
Из состояний 51 и 54 перемещения невозможны. Найдите матрицу переходных вероятностей и векторы вероятностей состояний на нулевом, первом и втором шагах. Ответ: 1 0 О 0 Р(0) = Р= Р(1) = Р(2) = 5.13. Граф состояний системы представлен на рис. 5.13. Запишите систему линейных алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний. "1г Ответ: Рис. 5.13 5.14. Размеченный граф состояний системы представлен на рис.
5.14. Определите: а) тип 2 1 3 процесса; б) предельные вероятности состояний, если они существуют. Рис. 5.14 0 — 0 5 1 6 6 0 — 0 6 6 О О 0 1 11 24 5 24 1 24 7 24 (Лгг + Лгз)рг — Лггрг — Лзгрз = О, Л1гР1 — (Лгз+ Лгд)рг = О, ЛгзР1 + Лгзрг — Лзгрз + Л4зР4 = 0 Лг4Рг — Л4зр4 —— О, Р1 +Рг+Рз+Р4 = 1 31 144 5 144 5 144 43 144 1 4 1 4 1 4 1 4 190 Н МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ЦЕПИ О т вет: а) процесс гибели — размножения; б) р1 — — 6/15, Рг = 4/15 Рз = 2/15 Р4 = 3/15. 5.15.
Граф состояний системы представлен на рис. 5.15. Определите предельные вероятности ее состояний. Ответ: л л Рг= —, Рз= л к' л к' 1 Р1 = к Рис. Б.15 л, л, где К=1+ — + —. Лгз Лз1 5.16. Вычислительный комплекс может находиться в следу- ющих состояниях: 51 — исправен, работает; Яг — неисправен, остановлен и ведется поиск неисправности; Яз — неисправность оказалась незначительной и устраняется местными средства- ми; 54 — неисправность оказалась значительной и устраняется специалистами; Яз — подготовка к пуску. Процесс перехода комплекса из одного состояния в другое марковский. Среднее время непрерывной работы комплекса 11, среднее время поиска неисправностей зг, среднее время ремонта местными средства- ми 1з, среднее время ремонта специалистами Г4, среднее время подготовки к пуску зз. Неисправность может быть устранена местными средствами с вероятностью Р и с вероятностью 1 — Р 1 требует вызова специалистов.
зз В, Определите предельные вероятности состояний, если они Я1 Яг Яв 1 существуют. 1-Р Яе 1 Т У к аз а н и е: воспользуи$2 4 тесь графом состояний, котоРис. В.16 рый изображен на рис. 5.16. Ответ: Р1 =ГЬ, Рг =зги, Рз=РззЬ, Р4=(1 — г-Г4~, Рз = Ь |Х, Ь = '111 + 1г + Р1з + (1 — Р) 14+ Ф~~ 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОРО ОБСЛУЖИВАНИЯ 6.1. Процессы массового обслуживания (основные понятия) При решении многих прикладных задач исследователи сталкиваются с процессами, для которых характерна следующая общая структура (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
