XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Одноканальная система обслуживания представляет собой телефонную линию. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока заявок 0,8 (вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора 1,5 минуты. Считая поток заявок простейшим, а время обслуживания распределенным по экспоненциальному закону, определим в стационарном режиме функционирования: 1) абсолютную пропускную способность канала связи Я; 2) относительную пропускную способность канала связи д; 3) вероятность отказа р, .
Имеем 1 2 Л= 0 8, р= — = —. 1,5 3 Таким образом, Лг' 0,8 2/3 0,3636. Л+ р 08+ 2/3 Относительная пропускная способность канала связи д = = — - 0,4545 14 Д Л+, Л есть вероятность того, что заявка будет обслужена, не получив отказа. Поэтому Л р, = 1 — д = 0,5454. Л+д Отметим, что номинальная пропускная способность рассматриваемого канала связи Я„,„, являясь величиной обратной по 206 в. элементы теОРии ЧАссОВОГО ОБслужиВАниЯ отношению к ~редней продолжительности времени разговора Я„,„= р = 2/3 и 0,66), почти вдвое больше его пропускной способности Я, определенной с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания. 6.5, Системы массового обслуживания с ожиданием При рассмотрении примера 6.2 мы уже столкнулись с необходимостью определения плотностей вероятностей переходов при разметке графа состояний простейшей одноканальной системы обслуживания.
В дальнейших рассуждениях в качестве объекта исследований будем использовать систему обслуживания с ожиданием, имеющую т идентичных каналов обслуживания и простейший поток с интенсивностью Л, предполагая что время обслуживания и время ожидания — случайные величины, распределенные по зкспоненциальному закону с параметрами р и и соответственно. Предположим, что в момент времени ~ рассматриваемая система находилась в состоянии з;.
Вероятность того, что за временной интервал бесконечно малой длительности Л1 она из состояния з', перейдет в „старшее" состояние з,+ы зависит лишь от потока заявок, каждая из которых либо поступает в канал обслуживания, либо становится в очередь. А так как поток заявок является простейшим с интенсивностью Л, то вероятность Р;л+1(1;Ь1) того, что за время Ь1 поступит одна заявка (вероятность перехода из состояния з'; в состояние 5;+,), согласно определению 6.1, равна Рь;+1(~; Ьг) = ЛЬ~+ о(Ы). Следовательно, Л,;+1(й) а 1пп "+' ' ) = Л. ы-~+а ЛГ 6.о. Системы массового обслужниания с ожиданием 207 Переход из ~остояния 5; в „младшее" состояние Я, 1 зависит лишь от о~вобождения каналов обслуживания.
Если р— иньченсивностпь обслуживания, то функция распределения времени обслуживания определяется по формуле (6.13). Поэтому 7а, 1(1; сас) = С(сас) = 1 — е а~~ =,иаэс+ о(Ы) и, следовательно, Таким образом, при наличии лишь одного каналаобслуживания плотность вероятности перехода в „младшее" состояние равна' р. Если занято г каналов и 1( т (ш — число каналов обслуживания), то в силу независимости их функционирования интенсивность обслуживания возрастает в1 раз, т.е. Л,; 1 — — гр.
При возникновении очереди каждое состояние рассматриваемой системы обслуживания характеризуется занятостью каналов обслуживания. Поэтому интенсивность освобождения каналов становится постоянной и равной тр. Как только ка; нал обслуживания освобождается, он немедленно приступает к обслуживанию следующей заявки из очереди и система переходит в „младшее" состояние. Такой переход может быть вызван также уходом из очереди одной заявки, если время ожидания превышает допустимое.
Закон распределения времени ожидания определяется интпенсиеностпью и ухода из очереди при наличии в ней одной заявки (см. равенства (6.14), (6.15)). В силу независимости поступления заявок (см. определение 6.1 для очереди длины г > 1) интенсивность, с которой заявки отказываются от обслуживания и уходят иэ очереди, равна гн. Таким образом, плотность вероятности перехода системы из состояния Я +„в состояние 5 +„1 равна сумме интенсивностей о~вобождения каналов обслуживания и отказа от обслуживания: йт+г,та+~ -1 — ~~9» + гн. 208 б.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Проведенные рассуждения позволяют построить размеченный граф состояний рассматриваемой системы обслуживания (рис. 6.4). Л Л Л Л Л Л Бо Б ~ Б и 2п 1тп-1)н тпп тпн+и тпн+2и Л Л Л Л 8 тсп 8 тпп+1т-1)и тпи~.ти тпн-мт+1)и т)ит1тт2)и Рнс. 6.4 Воспользовавшись этим графом и правилом построения систпемы уравнений Колмогорова, получаем Ро(е) — Лрв(1) + РР1 (1) р~(1) = Лр, 1(1) — (Л 4-1Р)р (1) + -)- (1+ 1)РР,41(1), 1= 1, т — 1, (6.17) р' +т Я = Лр ч т 1 (1) — ( Л + та + ти) р, +т (1) + + (тр+ (т+1)и)ртЬт41(1), т )~ О. О = (О, й>О, й~~, (6.18) Пример 6.4.
Построим матпематичесную модель одноканальной (тп = 1) системы обслуживания с ожиданием, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью Л = сопв1, если интенсивность обслуживания а = сопв1, количество мест в очереди ограничено числом Ф ( со, т.е. заявка, Если на длину очереди, т.е. на возможные значения т, не накладывают ограничений, то линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений (6.17) является бе~конечной. Если в начальный момент времени 1=0 рассматриваемая система обслуживания находилась в одном из своих возможных состояний Ят, то начальные условия для нее выглядят следующим образом: 6 6 Стационарный реинм системы обслуживания 209 поступившая в момент, когда в очереди уже находится Х заявок, покидает систему.
В рассматриваемом случае система обслуживания имеет следующие возможные состояния: Яо — канал свободен; Ят — канал занят, но очереди нет; от+ — канал занят н в очереди находится т заявок, 1 < т < Х. При этом единственной причиной отказа от обслуживания является отсутствие места в очереди, и, значит, интенсивность ухода иэ очереди равна и = О. Размеченный граф состояний исходной системы обслуживания, изображенный на рнс. б.б, позволяет записать систему уравнений Колмогорова на интервале 1 > О, если считать 1= 0 моментом начала функционирования системы ро(т) = — Лро(т) + ррт (с), р, '(1) = Лр, т (1) — (Л + 1т ) р (1) + ир +, (1), рот+ Я=ЛюЯ вЂ” ррах+ Я Для завершения построения математической модели достаточно задать начальные условия согласно (6.18).
Л Л он~~ Рис. В.б 6.6. Стационарный режим функционирования системы обслуживания (основные понятия и соотношения) В тиеарии массового обслуживания и ее приложениях основное внимание уделяется анализу сптаиионарных режимов функ'чионированил систнем обслуживания. Маптематпическая модель 210 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ стационарного режима функционирования любой системы обслуживания, в предположении его существования, формально является предельным (1-> оо) случаем ее общей математической модели.
При стандартных предположениях относительно исходного процесса массового обслуживания эта модель представляет собой задачу Коши для соответствующей системы уравнений Колмоворова и является частным случаем математической модели процессов гибели — размножения.
Базируясь на результатах анализа стационарных режимов процессов гибели — размножения (см. 5.4), проведем анализ стационарного режима функционирования системы обслуживания с ожиданием как наиболее общей. Согласно (6.16), (6.17), для стационарного режима функционирования имеем — Лр,+рр, =О, Лр, 1 — (Л + цз)р, + (1+ 1)рр<~1 = О, 1 = 1, т — 1, Лрьп+~-1 — (Л+ ™р+ ги)рвъч-г+ (6.19) + (тр+ (г+ Ци)р +,+1 = О, г > О, ",1 рь=1.
В стационарном режиме функционирования изучаемая система также меняет свое состояние случайным образом, но вероятности сосп1ояний уже не зависят от текущего времени. Каждая из них, являясь постоянной величиной, характеризует относительное время пребывания системы в данном состоянии. Из первого уравнения системы (6.19) находим Р| ='~ро, где величина (6.20) определяет среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за ~реднее время обслуживания одной заявки, 6.6.
Стационарный режим системы обслуживание 211 так как интенсивностпь Л простейшего потока определяет среднее число заявок, поступающих в систему обслуживания в единицу времени, а величина 1/а, обратная интенсивности обслуотсиванил а, численно равна среднему времени обслуживания одной заявки. Эту величину называют приведенной плотпностпью потпока заявок. Последовательно разрешив каждое из уравнений системы (6.19) относительно р;+1 и подставив в полученные равенства выражения р; = р (ро) и р; 1= р; 1(ро), находим О с р; = —.ро, т = 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
